Factorización de polinomios

La idea

Qué vas a aprender

• Qué es factorizar (y para qué sirve)concepto

  Factorizar un polinomio es escribirlo como un producto de polinomios más simples. Es leer la propiedad distributiva al revés. Por ejemplo, $x^2+5x$ es una suma de dos términos y también puede escribirse como $x(x+5)$. Las dos expresiones son equivalentes porque al distribuir se recupera $x\cdot x+x\cdot5=x^2+5x$.

  La forma producto deja visibles factores que en la suma estaban escondidos y puede facilitar trabajos posteriores. En esta lección la meta es reconocer un caso, reescribir el polinomio y verificar la equivalencia por distribución. Usar esos factores para resolver una ecuación pertenece a Ecuación de segundo grado; acá no se pasa de la forma producto a un conjunto de soluciones.

• Sacar factor comúnmétodo

  Es el primer caso que tenés que probar SIEMPRE, antes que cualquier otro. Consiste en detectar un factor que esté presente en todos los términos y sacarlo afuera de un paréntesis. Ese factor puede ser un número, una o más variables, o ambos.

  El número que sacás es el máximo común divisor de los coeficientes, y de cada variable sacás la menor potencia que aparezca. Por ejemplo, en $6x^3-9x^2$: el MCD de $6$ y $9$ es $3$, y la menor potencia de $x$ es $x^2$. Entonces el factor común es $3x^2$ y queda $6x^3-9x^2=3x^2(2x-3)$.

  Para saber qué va adentro del paréntesis, dividís cada término por el factor común: $6x^3:3x^2=2x$ y $-9x^2:3x^2=-3$. Verificás distribuyendo: $3x^2\cdot 2x=6x^3$ y $3x^2\cdot(-3)=-9x^2$. Vuelve al original, así que está bien.

• Factor común por gruposmétodo

  Después de comprobar que no hay un factor común global, a veces se pueden agrupar términos para hacer aparecer un mismo factor polinómico. Agrupar de a dos es un patrón frecuente, pero tener una cantidad par de términos no garantiza que el método funcione. La condición útil es que, al extraer factor común en cada grupo, quede exactamente el mismo paréntesis.

  En $x^3+2x^2+3x+6$ agrupamos $(x^3+2x^2)+(3x+6)$. Del primer grupo sale $x^2(x+2)$ y del segundo $3(x+2)$. Como se repite $(x+2)$, se extrae: $(x+2)(x^2+3)$. Si los paréntesis no coinciden, revisá signos u otra agrupación; si ninguna produce un factor común, este método no se aplica y no se fuerza.

• Diferencia de cuadradosconcepto

  Es una identidad que conviene reconocer de memoria: $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$. Es decir, una resta de dos cuadrados perfectos se factoriza como la suma por la diferencia de sus bases.

  Por ejemplo, $x^2-9$ es $x^2-3^2$, así que $x^2-9=(x+3)(x-3)$. Otro: $4x^2-25=(2x)^2-5^2=(2x+5)(2x-5)$. Verificás distribuyendo: $(2x+5)(2x-5)=4x^2-10x+10x-25=4x^2-25$; los términos del medio se cancelan, y por eso funciona.

  Dos avisos importantes. Primero: tiene que ser una RESTA de cuadrados; la suma $a^2+b^2$ (por ejemplo $x^2+9$) no se factoriza con números reales. Segundo: cada término tiene que ser realmente un cuadrado perfecto (que la base sea exacta, como $9=3^2$ o $25=5^2$).

• Trinomio cuadrado perfectométodo

  Es el resultado de elevar un binomio al cuadrado, leído al revés: $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ y $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$. Para reconocerlo tenés que chequear TRES cosas: que dos de los términos sean cuadrados perfectos (esos te dan $a$ y $b$), y que el término restante sea exactamente el doble producto $2ab$.

  Tomemos $x^2+6x+9$. Dos términos son cuadrados: $x^2=(x)^2$ y $9=3^2$, así que $a=x$ y $b=3$. Ahora la prueba clave: ¿el término del medio es $2ab$? Calculo $2\cdot x\cdot 3=6x$. Sí, coincide. Entonces $x^2+6x+9=(x+3)^2$.

  Si el término del medio es negativo, el binomio va con resta: $x^2-10x+25=(x-5)^2$, porque $2\cdot x\cdot 5=10x$ y el signo del medio es menos. Siempre verificá el doble producto: es lo que distingue un cuadrado perfecto de un trinomio cualquiera.

Ejemplos resueltos

• Factorizar $12x^4-8x^3+4x^2$ por factor común. El MCD de los coeficientes $12$, $8$ y $4$ es $4$. La menor potencia de $x$ que aparece es $x^2$. Entonces el factor común es $4x^2$. Divido cada término: $12x^4:4x^2=3x^2$, $-8x^3:4x^2=-2x$, $4x^2:4x^2=1$. Queda $12x^4-8x^3+4x^2=4x^2(3x^2-2x+1)$. Verifico distribuyendo: $4x^2\cdot 3x^2=12x^4$, $4x^2\cdot(-2x)=-8x^3$, $4x^2\cdot 1=4x^2$. Vuelve al original.
• Factorizar $2x^3-18x$ completo. Primero, siempre, factor común: los dos términos comparten $2x$. Saco: $2x^3-18x=2x(x^2-9)$. Pero no termino ahí, porque $x^2-9$ todavía se puede factorizar: es una diferencia de cuadrados, $x^2-3^2=(x+3)(x-3)$. La factorización completa es $2x^3-18x=2x(x+3)(x-3)$. La moraleja: sacar factor común primero suele destrabar un segundo caso adentro del paréntesis.
• Factorizar $9x^2+12x+4$. Reviso si es trinomio cuadrado perfecto. Cuadrados: $9x^2=(3x)^2$ y $4=2^2$, así que $a=3x$ y $b=2$. Doble producto: $2\cdot 3x\cdot 2=12x$, que es justo el término del medio y con signo más. Cumple las tres condiciones, así que $9x^2+12x+4=(3x+2)^2$. Verifico: $(3x+2)^2=(3x)^2+2\cdot 3x\cdot 2+2^2=9x^2+12x+4$.
• Factorizar $x^3-5x^2+2x-10$ por grupos. Agrupo de a dos: $(x^3-5x^2)+(2x-10)$. Del primer grupo saco $x^2$: $x^2(x-5)$. Del segundo saco $2$: $2(x-5)$. Aparece el mismo paréntesis $(x-5)$, así que lo saco de factor común: $x^3-5x^2+2x-10=(x-5)(x^2+2)$. Verifico distribuyendo: $(x-5)(x^2+2)=x^3+2x-5x^2-10=x^3-5x^2+2x-10$.

Errores comunes

• Aplica diferencia de cuadrados o cuadrado perfecto sin haber sacado antes el factor común.

  Si no sacás el factor común primero, o no reconocés el caso o dejás la factorización incompleta. Por ejemplo, en $2x^3-18x$ no ves ninguna diferencia de cuadrados directa y te quedás trabado, cuando en realidad sacando $2x$ aparece $x^2-9$.

  Cómo corregirlo: Hacé del factor común el paso número uno, siempre. Recién cuando ya no hay más factor común a todos los términos mirás los otros casos, y volvés a revisar cada paréntesis por si adentro hay otra factorización.

• Escribe $x^2+9$ como $(x+3)(x-3)$ o como $(x+3)^2$.

  $(x+3)(x-3)=x^2-9$, que no es $x^2+9$ (le sobra el signo); y $(x+3)^2=x^2+6x+9$, que tampoco es $x^2+9$ (le sobra el $6x$). La suma de dos cuadrados no se factoriza con números reales.

  Cómo corregirlo: La diferencia de cuadrados necesita un signo MENOS entre los dos cuadrados. Si ves una suma de cuadrados sin término del medio, ese binomio simplemente no se factoriza en este nivel: se deja como está.

• Ve dos cuadrados perfectos, como en $x^2+5x+9$, y escribe directo $(x+3)^2$.

  Para ser cuadrado perfecto el término del medio tiene que ser exactamente el doble producto $2ab$. Acá $2\cdot x\cdot 3=6x$, que NO es $5x$. Entonces $x^2+5x+9$ no es un trinomio cuadrado perfecto y $(x+3)^2$ estaría mal.

  Cómo corregirlo: Chequeá siempre las tres condiciones: dos cuadrados perfectos y que el término del medio coincida con el doble producto. Si el doble producto no da, no es este caso.

• Al agrupar, saca mal el signo del segundo grupo y le quedan paréntesis distintos.

  En $x^3-2x^2-3x+6$, si del segundo grupo saca $3$ escribe $3(-x+2)$ o peor $3(x+2)$, y el paréntesis no coincide con el $(x-2)$ del primer grupo, así que no puede continuar. Al sacar un factor negativo hay que cambiar el signo de todos los términos del grupo.

  Cómo corregirlo: Elegí el signo del factor de cada grupo para que quede el MISMO paréntesis en los dos. Acá conviene sacar $-3$ del segundo grupo: $-3x+6=-3(x-2)$, y entonces $x^2(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x^2-3)$. Verificá cada grupo distribuyendo.

En resumen