Concepto de función

La idea

Qué vas a aprender

• Qué es una función: una cantidad que depende de otraconcepto

  Una función relaciona dos cantidades de manera que el valor de una queda determinado por el valor de la otra. A la que se toma como entrada la llamamos variable independiente (se la suele anotar $x$); a la que resulta, variable dependiente (se la suele anotar $y$). Cuando esto pasa decimos que "$y$ es función de $x$", o que "$y$ depende de $x$". La variable independiente no siempre se puede controlar —el tiempo, por ejemplo—, pero sí es la que se usa como entrada.

  Por ejemplo, en un kiosco cada empanada cuesta 500 pesos. Lo que pagás depende de cuántas compres: la cantidad de empanadas es la entrada $x$ y el precio total la salida $y$. La regla es $y=500\cdot x$. Si comprás $x=3$, pagás $y=1500$. En este contexto las entradas admitidas son cantidades enteras no negativas; esa restricción forma parte de la función, no es un detalle separado de la fórmula. Fijate que esta relación es de proporcionalidad directa, un primer ejemplo de función.

• La regla de oro: una sola salida por cada entradaconcepto

  No toda relación entre dos cantidades es una función. Primero se declara el dominio $D$, que es el conjunto de entradas admitidas. Para ser función, la relación debe asignar a cada $x\in D$ exactamente una salida: ni dejar una entrada del dominio sin salida ni darle dos salidas diferentes. Un valor fuera de $D$ no es una entrada que "falló"; simplemente no pertenece a la función que se definió.

  Mirá la diferencia. "A cada alumno del curso le asignamos su fecha de nacimiento" es una función: el dominio son esos alumnos y cada uno tiene una fecha. En cambio, asignarle a cada alumno todas las materias que cursa no da una única salida. Con números pasa igual: si en una tabla la entrada $x=2$ aparece una vez con $y=7$ y otra con $y=10$, no es función. Sí está permitido que entradas distintas compartan salida.

  La imagen de $f$ es el conjunto de salidas que efectivamente se obtienen al recorrer el dominio: $\operatorname{Im}(f)=\{f(x):x\in D\}$. Dominio e imagen responden preguntas distintas: qué valores pueden entrar y qué valores llegan a salir. Son conceptos generales; la forma concreta de esos conjuntos se estudia después para cada familia de funciones.

• Evaluar una función: reemplazar y calcular, con la notación $f(x)$método

  Cuando una función viene dada por una fórmula, evaluarla es calcular la salida que le corresponde a una entrada concreta del dominio. Se reemplaza la variable por el número y se resuelve la cuenta. Para nombrar la salida se usa mucho la notación $f(x)$, que se lee "$f$ de $x$": es el valor que la función $f$ le asigna a la entrada $x$. Así, escribir $y=f(x)$ es otra forma de decir que $y$ depende de $x$. Antes de calcular $f(x_0)$ hay que comprobar que $x_0\in D$; si no pertenece al dominio, esa evaluación no está definida.

  Por ejemplo, sea $f(x)=2x+3$ con dominio $D=\mathbb{R}$. Para $x=4$, $f(4)=2\cdot4+3=11$; para $x=0$, $f(0)=3$. Cuando la entrada es negativa conviene usar paréntesis: $f(-1)=2\cdot(-1)+3=1$. Respetá siempre el orden de las operaciones.

• Armar una tabla de valoresmétodo

  Una tabla de valores junta entradas del dominio con sus salidas: en una columna van los valores de $x$ y en la otra los de $y=f(x)$. Para armarla, elegís algunos $x\in D$, calculás cada salida y los anotás enfrentados. Cada fila es un par $(x,y)$.

  Tomemos $y=500\cdot x$ para una compra, con dominio de cantidades enteras no negativas. Elegimos $x=0,1,2,3,4$ y obtenemos $y=0,500,1000,1500,2000$. El par $(2,1000)$ se lee "2 empanadas cuestan 1000 pesos". La tabla es un retrato parcial salvo que enumere por completo un dominio finito: muestra algunas entradas e imágenes, pero no permite afirmar por sí sola que ya se recorrió toda la imagen.

• Leer e interpretar el gráfico de una funciónmétodo

  Una función también se dibuja en ejes cartesianos: el eje horizontal lleva la entrada $x$ y el vertical la salida $y$. Cada punto es un par $(x,y)$. Para encontrar $f(x_0)$, te ubicás en $x_0$, llegás hasta el gráfico y leés el valor vertical. Si $(3,20)$ está en el gráfico, entonces $f(3)=20$.

  El gráfico también permite reconocer los dos conjuntos generales. El dominio está formado por las coordenadas horizontales que alcanza el dibujo; la imagen, por las coordenadas verticales que alcanza. Esta lectura no dice todavía dónde están ceros, extremos o asíntotas de una familia particular: esos rasgos pertenecen a sus temas específicos.

  Para chequear si un dibujo representa una función se usa la prueba de la recta vertical: cualquier vertical puede cortarlo en un punto como máximo. Si una vertical lo corta en dos, una misma entrada tendría dos salidas.

Ejemplos resueltos

• Decidir si es función. En una cochera anotamos cuánto se paga según las horas: 1 h → 800 pesos, 2 h → 1500 pesos, 3 h → 2100 pesos y, más abajo, 2 h → 1900 pesos. ¿Es una función? Revisamos las entradas (las horas). La entrada $x = 2$ aparece dos veces: una da $y = 1500$ y otra da $y = 1900$. Una misma entrada con dos salidas distintas rompe la regla de unicidad, así que NO es una función. (Tiene sentido: 2 horas no pueden costar dos precios a la vez; seguramente hay un dato mal cargado.)
• Evaluar y tabular $f(x) = 3x - 2$ en $x = 0, 1, 2, 5$. Paso 1, reemplazamos y calculamos cada uno: $f(0) = 3 \cdot 0 - 2 = 0 - 2 = -2$. $f(1) = 3 \cdot 1 - 2 = 3 - 2 = 1$. $f(2) = 3 \cdot 2 - 2 = 6 - 2 = 4$. $f(5) = 3 \cdot 5 - 2 = 15 - 2 = 13$. Paso 2, armamos la tabla con los pares $(x, y)$: $(0, -2)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$ y $(5, 13)$. Cada uno es un punto que, si quisiéramos, podríamos marcar en el gráfico.
• Una impresora del cyber cobra 50 pesos por página. El costo es $f(x)=50\cdot x$. El dominio del contexto son las cantidades enteras no negativas de páginas que el local admite; la imagen son los múltiplos no negativos de 50 que pueden resultar. Para 12 páginas, $f(12)=600$ pesos. Una tabla parcial contiene $(0,0)$, $(1,50)$, $(2,100)$ y $(12,600)$: no enumera todo el dominio ni toda la imagen. En este tema usamos la regla para obtener y representar salidas; las propiedades particulares de una familia se estudian después.
• Leer un gráfico. En un gráfico está la temperatura de una ciudad (en °C) según la hora del día, y la curva pasa por los puntos $(0, 14)$, $(6, 12)$, $(12, 24)$ y $(18, 20)$. ¿Qué temperatura hubo a las 12 h? Buscamos la entrada $x = 12$ y leemos su salida: $y = 24$. O sea $f(12) = 24$: a mediodía hubo 24 °C. Además, como a cada hora le corresponde una sola temperatura, cualquier recta vertical toca la curva una única vez: el gráfico representa una función.

Errores comunes

• Toma como independiente a la variable que en realidad depende de la otra (las invierte).

  La independiente es la entrada con la que se organiza el modelo; no tiene que estar bajo control de una persona. La dependiente es la salida cuyo valor queda determinado a partir de esa entrada. Si las intercambiás, cambia la relación que se está describiendo.

  Cómo corregirlo: Preguntate: ¿cuál funciona como entrada y cuál queda determinada a partir de ella? La entrada es $x$ (independiente) y la salida es $y$ (dependiente). En "el precio depende de la cantidad", la cantidad es $x$ y el precio es $y$; en "la temperatura según la hora", la hora es $x$ aunque nadie la controle.

• Concluye que una relación no es función porque dos entradas distintas dan la misma salida.

  La condición prohíbe que una misma entrada tenga dos salidas, no que dos entradas diferentes compartan salida. Que dos personas midan 1,70 m no rompe ninguna regla.

  Cómo corregirlo: Fijate solo en las entradas repetidas. Hay problema únicamente si una misma entrada aparece con dos salidas distintas. Salidas iguales para entradas distintas están permitidas.

• Al evaluar la fórmula con un número negativo o al operar, pierde el signo o suma antes de multiplicar.

  Reemplazar la variable no cambia las reglas de siempre: primero se multiplica y después se suma, y el signo del número que entra se conserva. Saltearse eso da un resultado equivocado.

  Cómo corregirlo: Al reemplazar, poné el número entre paréntesis y respetá el orden de operaciones. En $f(x) = 2x + 3$: $f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1$, resolviendo la multiplicación antes que la suma.

• Al leer un punto del gráfico o de la tabla, anota $(y, x)$ en vez de $(x, y)$.

  Por convención el par se escribe siempre (entrada, salida), es decir (horizontal, vertical). Invertirlo hace que confundas la entrada con la salida y la respuesta queda cambiada.

  Cómo corregirlo: Respetá el orden: primero $x$ (lo horizontal, la entrada), después $y$ (lo vertical, la salida). El punto $(3, 20)$ significa entrada $3$ y salida $20$, nunca al revés.

En resumen