Función logarítmica

La idea

Qué vas a aprender

• Qué es la función logarítmica y por qué solo vive en los positivosconcepto

  La función logarítmica de base $b$ es $f(x)=\log_b x$, donde la base cumple $b>0$ y $b\neq 1$. Recordá que $\log_b x$ es "el exponente al que hay que elevar $b$ para obtener $x$". Por ejemplo, con base 2: $\log_2 8 = 3$ porque $2^3=8$, y $\log_2\left(\frac{1}{2}\right)=-1$ porque $2^{-1}=\frac{1}{2}$.

  El dominio es solo los reales positivos: $x>0$. ¿Por qué? Porque cualquier potencia de una base positiva da un resultado positivo: no existe ningún exponente que haga que $2^{?}$ sea 0 o negativo. Entonces $\log_2 0$ y $\log_2(-4)$ no existen. En cambio, la imagen (los valores que la función devuelve) es todo $\mathbb{R}$: el resultado puede ser positivo, cero o negativo.

• Es la inversa de la exponencial (y por eso es su espejo)concepto

  La función logarítmica y la exponencial son inversas: escribir $y=\log_bx$ equivale a $x=b^y$. La exponencial recibe un exponente y devuelve la potencia; la logarítmica recibe la potencia y devuelve el exponente.

  Sus gráficos son reflejos respecto de $y=x$. La logarítmica pasa por $(1,0)$ porque $\log_b1=0$, y por $(b,1)$ porque $\log_bb=1$. Tiene una asíntota vertical en $x=0$: nunca toca el eje $y$. Si $b>1$, cuando $x\to0^+$ se cumple $f(x)\to-\infty$; si $0<b<1$, se cumple $f(x)\to+\infty$. Los dos comportamientos son consistentes con la base permitida y con la inversión de la exponencial correspondiente.

• Reconocer si crece o decrece según la base, y armar el gráficométodo

  Todo depende de la base. Si $b>1$, la función es creciente: es negativa para $0<x<1$, vale cero en $x=1$ y es positiva para $x>1$. Si $0<b<1$, es decreciente y los signos se invierten: es positiva para $0<x<1$, cero en $1$ y negativa para $x>1$. En ambos casos el dominio es $x>0$, la imagen es $\mathbb{R}$, hay asíntota vertical en $x=0$ y la curva pasa por $(1,0)$.

  Para que la salida cambie en una unidad, la entrada se multiplica por la base. En $\log_2x$, pasar de $y=1$ a $y=2$ lleva $x$ de $2$ a $4$. Para graficar conviene usar potencias enteras de la base, incluidas las de exponente negativo, porque producen valores exactos de $y$.

• Leer imágenes, preimágenes e interseccionesmétodo

  Una imagen es el valor de salida para una entrada del dominio. En $f(x)=\log_3 x$, $f(81)=4$ porque el punto $(81,4)$ pertenece al gráfico. Una preimagen invierte la pregunta: si $f(x)=4$, entonces $x=3^4=81$. Este lenguaje conecta la expresión, una tabla y los puntos del gráfico.

  El corte con el eje $x$ se obtiene imponiendo $f(x)=0$: $\log_b x=0$ da $x=b^0=1$. La función básica no corta el eje $y$, porque $x=0$ queda fuera del dominio. Resolver ecuaciones logarítmicas con propiedades pertenece al tema Logaritmos; acá esas cuentas se usan solo para leer rasgos de la función.

• Encontrar el dominio cuando adentro del logaritmo hay una expresión con xmétodo

  Cuando dentro del logaritmo hay una expresión con $x$ (por ejemplo $\log_2(x-3)$), la regla del dominio sigue siendo la misma: lo que está adentro del logaritmo tiene que ser positivo. Solo que ahora hay que plantear una inecuación. Para $g(x)=\log_2(x-3)$ pedimos $x-3>0$, o sea $x>3$; el dominio es el intervalo $(3,+\infty)$.

  Esto también corre la asíntota vertical: ya no está en $x=0$ sino en $x=3$, justo donde el argumento se hace 0. En general, la gráfica de $\log_b(x-a)$ es la de $\log_b x$ desplazada $a$ unidades hacia la derecha.

Ejemplos resueltos

• Queremos graficar $f(x)=\log_2 x$. Armamos una tabla eligiendo valores de $x$ que sean potencias de 2, para que las cuentas den prolijas: $x=\frac{1}{4}\Rightarrow y=\log_2\frac{1}{4}=-2$ (porque $2^{-2}=\frac{1}{4}$); $x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=-1$; $x=1\Rightarrow y=0$; $x=2\Rightarrow y=1$; $x=4\Rightarrow y=2$; $x=8\Rightarrow y=3$. Ubicamos los puntos $\left(\frac{1}{4},-2\right)$, $\left(\frac{1}{2},-1\right)$, $(1,0)$, $(2,1)$, $(4,2)$, $(8,3)$ y los unimos con una curva suave. La curva sube de izquierda a derecha (creciente, porque la base $2>1$), corta el eje $x$ en $(1,0)$ y se pega al eje $y$ sin tocarlo: cuando $x\to 0^+$, $y\to-\infty$ (asíntota vertical en $x=0$). Fijate que sube lento: para pasar de $y=2$ a $y=3$, $x$ tuvo que ir de 4 a 8.
• Sea $f(x)=\log_3 x$. (a) Imagen de 9: $f(9)=\log_3 9=2$, porque $3^2=9$. (b) Imagen de $\frac{1}{27}$: $f\left(\frac{1}{27}\right)=\log_3\frac{1}{27}=-3$, porque $3^{-3}=\frac{1}{27}$. (c) Preimagen: ¿para qué $x$ vale $f(x)=4$? Planteamos $\log_3 x = 4$ y pasamos a forma exponencial: $x=3^4=81$. Verificamos: $\log_3 81 = 4$, correcto. (d) ¿Dónde corta el eje $x$? Donde $f(x)=0$: $\log_3 x=0\Rightarrow x=3^0=1$. Corta en $(1,0)$.
• Sea $g(x)=\log_2(x-3)$. Primero el dominio: el argumento debe ser positivo, así que $x-3>0\Rightarrow x>3$. El dominio es $(3,+\infty)$. Ahora calculamos algunas imágenes, eligiendo valores de $x$ que hagan el argumento potencia de 2: $g(4)=\log_2(4-3)=\log_2 1=0$; $g(5)=\log_2 2=1$; $g(7)=\log_2 4=2$; $g(11)=\log_2 8=3$. La curva es la de $\log_2 x$ corrida 3 lugares a la derecha: pasa por $(4,0)$ en lugar de $(1,0)$, y su asíntota vertical está en $x=3$ (no en $x=0$), justo donde el argumento se anula.
• Comparar una exponencial y su inversa. Si $g(x)=2^x$, entonces $g(4)=16$ y el punto $(4,16)$ está en su gráfico. La inversa es $f(x)=\log_2 x$: intercambia entrada y salida, de modo que $f(16)=4$ y contiene el punto $(16,4)$. Los puntos aparecen reflejados respecto de $y=x$; esa simetría permite construir una gráfica a partir de la otra.

Errores comunes

• Calcula el logaritmo de 0 o de números negativos, o escribe el dominio como todos los reales.

  No existe ningún exponente que haga que una base positiva dé 0 o un número negativo: $2^y$ siempre es positivo. Por eso $\log_b 0$ y $\log_b(\text{negativo})$ no están definidos.

  Cómo corregirlo: Antes de cualquier cuenta, recordá que la función logarítmica solo vive en $x>0$. Si aparece un cero o un negativo como argumento, ese valor queda afuera del dominio.

• Cree que la logarítmica crece rápido, igual que la exponencial.

  La logarítmica es la inversa de la exponencial, no una copia. Si $b>1$, $\log_b x$ crece cada vez más lento; si $0<b<1$, es decreciente.

  Cómo corregirlo: En el caso creciente, pensá que para que $y$ suba de a uno hay que multiplicar $x$ por la base. En $\log_2 x$, ir de $y=1$ a $y=10$ lleva $x$ de 2 a 1024: crecimiento lentísimo. Para $0<b<1$, la función recorre esos niveles en sentido decreciente.

• Piensa que $\log_b 1 = 1$, o que $\log_b b = 0$.

  Es al revés: $\log_b 1 = 0$ siempre, porque $b^0=1$; y $\log_b b = 1$, porque $b^1=b$.

  Cómo corregirlo: Traducí a exponente: '¿a qué elevo $b$ para que dé 1?' → a 0; '¿para que dé $b$?' → a 1. Por eso toda logarítmica corta el eje $x$ en $x=1$.

• Para el dominio de $\log_b(x-a)$ escribe $x>0$ en vez de mirar lo que está adentro del logaritmo.

  La condición es que el argumento (lo de adentro del log) sea positivo, no la $x$ sola. En $\log_2(x-3)$ hay que pedir $x-3>0$, no $x>0$.

  Cómo corregirlo: Planteá siempre la inecuación 'argumento $>0$' y resolvéla. Para $\log_2(x-3)$: $x-3>0\Rightarrow x>3$, o sea dominio $(3,+\infty)$.

• Para resolver $\log_b x=k$ calcula $x=k^b$ o $x=\frac{b}{k}$ en vez de $x=b^k$.

  La definición dice $\log_b x = k \iff x = b^k$: la base se queda como base y $k$ es el exponente. Invertirlos cambia por completo el resultado.

  Cómo corregirlo: Pasá siempre a la forma exponencial usando la definición: la base va abajo y el resultado del logaritmo es el exponente. $\log_5 x=3\Rightarrow x=5^3=125$.

En resumen