Polinomios

La idea

Qué vas a aprender

• Qué es un polinomio y cómo se llaman sus partesconcepto

  Un polinomio en una variable $x$ es una suma de términos, donde cada término (o monomio) es un número multiplicado por una potencia natural de $x$. Por ejemplo, $P(x) = 3x^2 - 5x + 2$ tiene tres términos: $3x^2$, $-5x$ y $2$. En cada término, el número que multiplica se llama coeficiente (acá $3$, $-5$ y $2$) y el exponente de $x$ marca el grado de ese término.

  El grado del polinomio es el mayor exponente que aparece con coeficiente distinto de cero: $P(x) = 3x^2 - 5x + 2$ es de grado $2$. El coeficiente principal es el que acompaña a esa potencia más alta (acá $3$), y el término independiente es el que no tiene $x$ (acá $2$; podés pensarlo como $2x^0$, porque $x^0 = 1$).

  Un polinomio está ordenado cuando escribís sus términos de mayor a menor grado, y completo cuando no le falta ninguna potencia intermedia. Por ejemplo, $x^3 - 2x + 1$ está ordenado pero incompleto: le falta el término de grado $2$. Si te conviene, lo completás con un cero sin cambiar nada: $x^3 + 0x^2 - 2x + 1$. Esto es muy útil a la hora de sumar o restar acomodando en columna.

• Calcular el valor numérico (especialización)método

  Como la $x$ representa un número, si le das un valor concreto el polinomio se convierte en una cuenta con resultado. Eso es el valor numérico: reemplazás cada $x$ por el número y resolvés respetando el orden de las operaciones (primero las potencias, después las multiplicaciones, y al final sumas y restas).

  Por ejemplo, para $P(x) = 3x^2 - 5x + 2$, el valor en $x = 2$ es $P(2) = 3 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2 + 2 = 3 \cdot 4 - 10 + 2 = 12 - 10 + 2 = 4$.

  Ojo con los negativos: el número entra con su signo adentro de la potencia. Para $x = -1$: $P(-1) = 3 \cdot (-1)^2 - 5 \cdot (-1) + 2 = 3 \cdot 1 + 5 + 2 = 10$. Fijate que $(-1)^2 = 1$ (no $-1$) y que $-5 \cdot (-1) = +5$.

• Sumar y restar polinomiosmétodo

  Para sumar o restar, juntás únicamente los términos semejantes: los que tienen la misma potencia de $x$. Sumás (o restás) los coeficientes y la potencia queda igual, no se toca. Por ejemplo, $2x^2 + 3x^2 = 5x^2$ (nunca $5x^4$).

  Con $P(x) = 2x^2 + 3x - 1$ y $Q(x) = x^2 - 5x + 4$, la suma es $P(x) + Q(x) = (2+1)x^2 + (3-5)x + (-1+4) = 3x^2 - 2x + 3$.

  En la resta, el cuidado clave es el signo: el menos afecta a todos los términos del segundo polinomio, no a uno solo. $P(x) - Q(x) = (2x^2 + 3x - 1) - (x^2 - 5x + 4) = 2x^2 + 3x - 1 - x^2 + 5x - 4 = x^2 + 8x - 5$. Mirá cómo el $-5x$ pasó a $+5x$ y el $+4$ pasó a $-4$.

• Multiplicar polinomiosmétodo

  Multiplicar se apoya en la propiedad distributiva: cada término de un polinomio multiplica a cada término del otro. Al multiplicar potencias de la misma base, los exponentes se suman: $x^2\cdot x^3=x^5$.

  Un monomio por un polinomio: $3x(x^2-2x+4)=3x^3-6x^2+12x$. Para dos binomios, distribuís todos contra todos y después reducís semejantes: $(2x-1)(x+3)=2x^2+6x-x-3=2x^2+5x-3$.

  Como control, si los dos polinomios son no nulos, el grado del producto es la suma de sus grados; acá grado $1$ más grado $1$ da grado $2$. El polinomio cero es un caso aparte: no tiene un grado definido en esta convención.

• Raíces y teorema del resto: verificar un candidatoconcepto

  Una raíz de $P$ es un número $r$ que cumple $P(r)=0$. Para verificar un candidato no hace falta resolver toda una ecuación: se reemplaza y se calcula el valor numérico. Si da cero, es raíz; si no, no lo es.

  El teorema del resto conecta esa evaluación con la división: al dividir $P(x)$ por $(x-a)$, el resto es exactamente $P(a)$. Por eso $(x-a)$ es factor de $P$ si y solo si $P(a)=0$. Por ejemplo, para $P(x)=x^3-4x$, $P(2)=8-8=0$: el resto al dividir por $(x-2)$ es cero y 2 es raíz. En este tema verificamos candidatos y calculamos restos; encontrar todas las soluciones de una ecuación o factorizar por completo corresponde a los temas específicos.

Ejemplos resueltos

• Tomemos $P(x) = -2x^3 + 5x - 7$. Vamos a reconocer sus partes y a calcular $P(-2)$. Partes: es un polinomio de grado $3$ (el mayor exponente). Su coeficiente principal es $-2$ (el que acompaña a $x^3$) y su término independiente es $-7$. Está ordenado de mayor a menor, pero es incompleto: le falta el término de grado $2$. Completo se escribe $-2x^3 + 0x^2 + 5x - 7$. Valor numérico en $x = -2$: reemplazamos cada $x$ por $-2$. $P(-2) = -2 \cdot (-2)^3 + 5 \cdot (-2) - 7$. Primero la potencia: $(-2)^3 = -8$. $P(-2) = -2 \cdot (-8) + 5 \cdot (-2) - 7 = 16 - 10 - 7 = -1$. Entonces $P(-2) = -1$.
• Sean $A(x) = 4x^2 - x + 6$ y $B(x) = -x^2 + 3x - 10$. Calculemos $A(x) + B(x)$ y $A(x) - B(x)$. Suma (junto términos semejantes): $A(x) + B(x) = (4x^2 - x + 6) + (-x^2 + 3x - 10)$ $= (4 - 1)x^2 + (-1 + 3)x + (6 - 10)$ $= 3x^2 + 2x - 4$. Resta (el menos le cambia el signo a TODO $B$): $A(x) - B(x) = (4x^2 - x + 6) - (-x^2 + 3x - 10)$ $= 4x^2 - x + 6 + x^2 - 3x + 10$ $= (4 + 1)x^2 + (-1 - 3)x + (6 + 10)$ $= 5x^2 - 4x + 16$.
• Multipliquemos $(x - 3)(2x^2 + x - 5)$. Distribuimos cada término del primer factor contra todo el segundo: $x \cdot (2x^2 + x - 5) = 2x^3 + x^2 - 5x$. $-3 \cdot (2x^2 + x - 5) = -6x^2 - 3x + 15$. Sumamos los dos resultados y juntamos semejantes: $2x^3 + x^2 - 5x - 6x^2 - 3x + 15$ $= 2x^3 + (1 - 6)x^2 + (-5 - 3)x + 15$ $= 2x^3 - 5x^2 - 8x + 15$. Control: grado $1$ por grado $2$ debería dar grado $3$, y el producto quedó de grado $3$. Cierra.
• Usemos evaluación y teorema del resto con $P(x)=x^3+x^2-4x-4$. Para $a=2$: $P(2)=8+4-8-4=0$, así que 2 es raíz y el resto al dividir por $(x-2)$ es 0. Para $a=1$: $P(1)=1+1-4-4=-6$, así que 1 no es raíz y el resto al dividir por $(x-1)$ es $-6$. No resolvimos todas las raíces: solamente verificamos los candidatos pedidos.

Errores comunes

• Al restar dos polinomios, le cambia el signo solo al primer término del segundo.

  El menos de la resta multiplica a TODO el segundo polinomio, no a un término suelto. Si $Q(x) = x^2 - 5x + 4$, entonces $-Q(x) = -x^2 + 5x - 4$: cambian los tres signos, no uno.

  Cómo corregirlo: Antes de operar, escribí el opuesto completo del segundo polinomio cambiándole el signo a cada término, y recién ahí sumá. Mantener el paréntesis con el menos adelante hasta el último momento ayuda a no olvidarse ninguno.

• Al sumar términos semejantes, suma también los exponentes: escribe $2x^2 + 3x^2 = 5x^4$.

  Sumar es contar cuántos hay de la misma potencia. $2x^2 + 3x^2$ es 'dos $x^2$ más tres $x^2$', que da 'cinco $x^2$'. El exponente identifica el tipo de término y no cambia al sumar; solo se suman los coeficientes.

  Cómo corregirlo: Pensalo como objetos: $2$ manzanas más $3$ manzanas son $5$ manzanas, no $5$ manzanas al cuadrado. El exponente se toca solamente al multiplicar, nunca al sumar o restar.

• Al multiplicar potencias de la misma base, multiplica los exponentes: escribe $x^2 \cdot x^3 = x^6$.

  $x^2 \cdot x^3$ significa $(x \cdot x) \cdot (x \cdot x \cdot x)$, o sea cinco $x$ multiplicadas: $x^5$. Los exponentes se suman ($2 + 3 = 5$), no se multiplican.

  Cómo corregirlo: Recordá la regla $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$. Si dudás, escribí las $x$ una al lado de la otra y contá cuántas quedan multiplicándose.

• Al calcular el valor numérico en un negativo, eleva mal el signo: toma $(-2)^2 = -4$.

  Cuando reemplazás $x$ por un negativo, el número entra con su signo adentro de la potencia. $(-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4$ (positivo). Es distinto de $-2^2$, que significa $-(2^2) = -4$.

  Cómo corregirlo: Al reemplazar, poné el número negativo SIEMPRE entre paréntesis: $(-2)^2$, $(-2)^3$. Y acordate: un negativo elevado a exponente par da positivo, y a exponente impar, negativo.

En resumen