Secundaria para Todos

Todavía sin progreso tuyo. Los estados que ves son el punto de partida de cualquiera, no una medición tuya. En cuanto practiques, esto pasa a mostrar tu dominio real.

La lección

Probabilidad avanzada: sucesos, Bayes y valor esperado

Detrás del Quini 6, de los tests médicos, de los seguros y de cualquier apuesta hay una misma matemática: cómo se combinan las probabilidades cuando pedís que pasen varias cosas, o cuando ya sabés que una pasó. Este tema es el que te dice, con números, qué tan poco probable es de verdad ganar la lotería.

La idea

Ya sabés comparar casos favorables con posibles. Ahora vas a representar procesos con árboles, multiplicar probabilidades a lo largo de cada camino y sumar caminos incompatibles que cumplen el mismo suceso. La "o" descuenta lo compartido; un dato nuevo reduce el espacio de posibilidades; probabilidad total reúne las rutas y Bayes invierte la condición. En procesos repetidos se combinan recorridos equivalentes. El valor esperado permite comparar decisiones por su resultado promedio de largo plazo, sin convertir ese promedio en una garantía.

Qué vas a aprender

Contar para calcular: probabilidad con combinatoriaconcepto
La regla de Laplace no cambia: la probabilidad de un suceso sigue siendo $P(A)=\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$ . Lo nuevo es cómo contás esos casos cuando elegís varios elementos a la vez: ahí ya no alcanza con los dedos, y entran las herramientas de combinatoria que viste. Cuando el orden no importa (elegís un grupo, no una fila), se cuenta con combinaciones: $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}$ .
Ejemplo: de una baraja española de 40 cartas sacás 2 al azar; ¿probabilidad de que las dos sean de oro? Hay 10 oros. Los casos favorables son las formas de elegir 2 oros entre 10: $\binom{10}{2}=45$ . Los casos posibles son las formas de elegir 2 cartas cualesquiera entre 40: $\binom{40}{2}=780$ . Entonces $P=\frac{45}{780}=\frac{3}{52}\approx 0.058$ , algo menos del 6%.
Lo potente es que este método mide situaciones imposibles de enumerar una por una —como una lotería, donde hay millones de combinaciones—. Contar bien el numerador y el denominador es todo el trabajo; la división viene después.
Unión y complemento: la "o" y el cálculo por el contrarioconcepto
Cuando alcanza con que ocurra A o B, calculás la unión: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ . La intersección se resta porque, al sumar, los casos compartidos quedaron contados dos veces. Si los sucesos son incompatibles, $P(A\cap B)=0$ y se suman directamente.
El complemento $A^c$ es que A no ocurra y cumple $P(A^c)=1-P(A)$ . Es especialmente útil para "al menos uno": su contrario es "ninguno". Por ejemplo, con tres dados independientes, $P(\text{al menos un 6})=1-P(\text{ningún 6})=1-\left(\frac{5}{6}\right)^3=\frac{91}{216}$ .
Probabilidad condicional y teorema de Bayesconcepto
La probabilidad condicional $P(A\mid B)$ mide la probabilidad de A sabiendo que B ocurrió: $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ . El dato B achica el espacio muestral. El orden importa: $P(A\mid B)$ y $P(B\mid A)$ no suelen coincidir.
Bayes permite invertir la condición: $P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}$ . Si $A_1,A_2,\ldots,A_r$ forman una partición del espacio muestral —son incompatibles y exhaustivos—, el denominador se calcula con probabilidad total: $P(B)=\sum_i P(B\mid A_i)P(A_i)$ .
Un árbol de probabilidad organiza estas cuentas. Las ramas que salen de cada nodo suman 1; las probabilidades se multiplican a lo largo de un camino y se suman entre hojas incompatibles que cumplen el mismo suceso. Si A fabrica 60% de los tornillos y falla 2%, y B fabrica 40% y falla 5%, las hojas defectuosas valen $P(A\cap D)=0{,}60\cdot0{,}02=0{,}012$ y $P(B\cap D)=0{,}40\cdot0{,}05=0{,}020$ . Probabilidad total suma ambas rutas: $P(D)=0{,}032$ . Bayes compara la hoja de B con todas las hojas defectuosas: $P(B\mid D)=0{,}020/0{,}032=0{,}625$ .
La "y" se multiplica: regla del producto e independenciamétodo
Cuando querés que ocurran dos sucesos —A y B—, usás la regla del producto: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)$ . En un árbol es el producto de las ramas de un camino. Para obtener un suceso formado por varios caminos incompatibles, se suman los productos de sus hojas.
Si los sucesos son independientes, que uno ocurra no cambia la probabilidad del otro: $P(B\mid A)=P(B)$ y $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ . Con dos dados, la probabilidad de dos 6 es $1/6\cdot1/6=1/36$ . Si son dependientes, se actualiza cada rama. Sin reposición, dos ases seguidos tienen probabilidad $4/40\cdot3/39=1/130$ ; con reposición y nueva mezcla, las etapas son independientes y resulta $4/40\cdot4/40=1/100$ .
Un proceso de Bernoulli repite $n$ veces un ensayo con dos resultados, ensayos independientes y probabilidad de éxito constante $p$ . La distribución binomial da la probabilidad de exactamente $r$ éxitos: $P(X=r)=\binom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}$ . El producto mide un recorrido con $r$ éxitos y la combinación cuenta en qué posiciones pueden aparecer. Con 4 tiros libres independientes de probabilidad $0{,}7$ , exactamente 3 aciertos tiene probabilidad $\binom{4}{3}(0{,}7)^3(0{,}3)=0{,}4116$ .
La fórmula no corresponde si cambia $p$ , hay más de dos categorías relevantes o los ensayos dependen entre sí. Para «al menos» o «a lo sumo» se suman los valores de $r$ adecuados o se usa el complemento cuando simplifica.
Valor esperado: el promedio de largo plazométodo
Una variable aleatoria asigna un valor numérico a cada resultado. Si toma valores $x_1,x_2,\ldots,x_n$ con probabilidades $p_1,p_2,\ldots,p_n$ , su valor esperado es $E(X)=\sum_i x_ip_i$ . Es un promedio ponderado: los resultados más probables pesan más. En ganancias y pérdidas se trabaja con resultados netos, de modo que los costos y las pérdidas llevan signo negativo.
Si con probabilidad $0{,}3$ ganás 100 pesos y con probabilidad $0{,}7$ perdés 20, $E(X)=0{,}3\cdot100+0{,}7\cdot(-20)=16$ pesos por jugada. No significa que una jugada pague 16, sino que ese es el promedio de largo plazo bajo las mismas condiciones.
Para comparar decisiones se calculan sus valores esperados con el mismo horizonte, moneda y costos incluidos. En A, ganar 80 con probabilidad 0,6 y perder 20 con 0,4 da $E(A)=40$ ; en B, recibir 35 con certeza da $E(B)=35$ . Un criterio neutral al riesgo y orientado a muchas repeticiones prefiere A por su mayor valor esperado. Esa comparación no garantiza el resultado individual ni resume la dispersión, el peor caso, la liquidez o la tolerancia al riesgo; esos factores pueden justificar otra decisión.

Ejemplos resueltos

COMBINATORIA → PROBABILIDAD. De una baraja española de 40 cartas sacás 3 de una sola vez. ¿Probabilidad de que las tres sean espadas? Paso 1: identificá que el orden no importa (es un grupo de 3), así que se cuenta con combinaciones. Paso 2: casos favorables = elegir 3 espadas entre las 10 que hay: $\binom{10}{3}=120$ . Paso 3: casos posibles = elegir 3 cartas cualesquiera entre 40: $\binom{40}{3}=9880$ . Paso 4: $P=\frac{120}{9880}=\frac{3}{247}\approx 0.012$ . Respuesta: poco más del 1%.
ÁRBOL, PROBABILIDAD TOTAL Y BAYES. La máquina A fabrica 60% de los tornillos y falla 2%; B fabrica 40% y falla 5%. El árbol parte en A/B y luego en defecto/no defecto. Las hojas defectuosas son $0{,}60\cdot0{,}02=0{,}012$ y $0{,}40\cdot0{,}05=0{,}020$ . Probabilidad total: $P(D)=0{,}012+0{,}020=0{,}032$ . Bayes invierte la condición comparando la hoja buscada con todas las defectuosas: $P(B\mid D)=0{,}020/0{,}032=0{,}625$ .
PRODUCTO Y CONDICIONAL (dos representaciones, mismo resultado). Sacás 2 cartas seguidas de la baraja de 40, sin reponer. En el árbol, la rama «rey y rey» vale $4/40\cdot3/39=1/130$ porque la segunda probabilidad se actualiza. Con combinatoria, favorables $\binom{4}{2}=6$ y posibles $\binom{40}{2}=780$ , de modo que $P=6/780=1/130$ . Árbol y conteo describen el mismo proceso con dos representaciones.
AL MENOS UNO (complemento). Tirás 3 dados comunes. ¿Probabilidad de sacar al menos un 6? Calcular de frente obligaría a sumar los casos de exactamente un 6, exactamente dos y exactamente tres: un lío. El atajo es calcular lo contrario, "ningún 6". En cada dado, no sacar 6 tiene $P=\frac{5}{6}$ ; como los dados son independientes, ningún 6 en los tres es $\left(\frac{5}{6}\right)^3=\frac{125}{216}$ . Entonces $P(\text{al menos un }6)=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}\approx 0.42$ . Casi un 42%: bastante más probable de lo que parece a ojo.
COMPARAR DECISIONES POR VALOR ESPERADO. La opción A gana 100 pesos con probabilidad $0{,}3$ y pierde 20 con $0{,}7$ : $E(A)=0{,}3\cdot100+0{,}7\cdot(-20)=16$ . La opción B entrega 12 pesos con certeza: $E(B)=12$ . En muchas repeticiones y con criterio neutral al riesgo, A tiene mayor resultado promedio esperado. B evita la posibilidad de pérdida. El valor esperado ordena el promedio en la misma unidad y horizonte; no decide por sí solo cuánto riesgo puede asumir una persona.

Errores comunes

Para P(A o B) suma directo P(A)+P(B) aunque A y B compartan casos.
Los casos que están en A y en B a la vez quedan contados dos veces, así que la probabilidad sale inflada; a veces incluso pasa de 1, lo cual es imposible. En el ejemplo de la baraja, oro o figura daría $\frac{10}{40}+\frac{12}{40}=\frac{22}{40}$ , contando de más los oros que además son figura.
Cómo corregirlo: Usá siempre $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ y buscá cuántos casos están en los dos a la vez para restarlos. Solo si los sucesos son incompatibles (no pueden pasar juntos) la intersección vale 0 y podés sumar directo.
Calcula una ganancia esperada sumando una pérdida como si fuera positiva, por ejemplo $0{,}3\cdot100+0{,}7\cdot20$ .
El valor esperado pondera valores, no solo magnitudes. Perder 20 corresponde al resultado $-20$ ; tratarlo como $+20$ cambia el sentido económico y produce un promedio incorrecto.
Cómo corregirlo: Armá una tabla de resultados netos y probabilidades, con ganancias positivas, costos y pérdidas negativos. Calculá $E(X)=\sum x_ip_i$ para cada alternativa usando la misma unidad y horizonte; después compará sin confundir el promedio con una garantía ni con una medida de riesgo.
En extracciones sin reponer, usa los mismos números en la segunda (por ejemplo $\frac{4}{40}\cdot\frac{4}{40}$ para dos ases).
Al no devolver la primera carta, cambian tanto el total como los favorables: el segundo suceso depende del primero. Tratarlos como independientes da un resultado equivocado.
Cómo corregirlo: Aplicá $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)$ : después de sacar un as quedan 3 ases en 39 cartas, así que la segunda probabilidad es $\frac{3}{39}$ , no $\frac{4}{40}$ .
Confunde $P(B\mid D)$ con $P(D\mid B)$ o usa solo la tasa de defecto de B sin calcular la probabilidad total de defecto.
Conocer la tasa de fallas dentro de B no responde qué proporción de todos los defectuosos proviene de B. También influyen cuánto produce cada máquina y los defectos aportados por las demás fuentes.
Cómo corregirlo: Escribí qué está antes y después de la barra. En un árbol, multiplicá las ramas hasta cada hoja defectuosa, sumá todas esas hojas para obtener $P(D)$ y recién entonces invertí con $P(B\mid D)=\frac{P(D\mid B)P(B)}{P(D)}$ .
Calcula "al menos un 6 en 3 dados" como $\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$ .
Esa suma cuenta dos y tres veces los casos con más de un 6, así que da de más. Además, con suficientes dados superaría 1, lo cual es imposible para una probabilidad.
Cómo corregirlo: Usá el complemento: $P(\text{al menos uno})=1-P(\text{ninguno})$ . Acá $1-\left(\frac{5}{6}\right)^3=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}\approx 0.42$ .

En resumen

Los árboles multiplican probabilidades a lo largo de cada camino y suman hojas incompatibles. La "y" usa la regla del producto y actualiza ramas dependientes; la "o" resta la intersección; el complemento simplifica «al menos uno». En procesos de Bernoulli, la distribución binomial reúne recorridos repetidos con probabilidad constante. La probabilidad total suma las rutas hacia la evidencia y Bayes invierte la condición. El valor esperado $E(X)=\sum x_ip_i$ conserva ganancias, costos y pérdidas con signo y permite comparar promedios de largo plazo entre decisiones, sin garantizar resultados ni reemplazar el análisis de riesgo.