Sistemas de ecuaciones

La idea

Qué vas a aprender

• Qué es un sistema y qué es su soluciónconcepto

  Un sistema de ecuaciones son dos (o más) ecuaciones que tienen que cumplirse al mismo tiempo y que comparten las mismas incógnitas. En 3° trabajamos con dos ecuaciones lineales y dos incógnitas, que solemos llamar $x$ e $y$ (o letras con sentido, como $a$ para el precio del alfajor). Por ejemplo, el sistema formado por $2a + g = 2100$ y $a + 2g = 2400$.

  La solución de un sistema NO es un número suelto: es un par de valores, uno para cada incógnita, que hace verdaderas a las dos ecuaciones a la vez. Se escribe como par ordenado $(a, g)$. En el ejemplo, la solución es $a = 600$ y $g = 900$, o sea $(600, 900)$: reemplazando, $2 \cdot 600 + 900 = 2100$ y $600 + 2 \cdot 900 = 2400$, las dos dan bien. Un par que cumple una sola de las ecuaciones no sirve; tiene que cerrar en las dos. Resolver el sistema es, justamente, encontrar ese par.

• Método gráfico: cada ecuación es una rectamétodo

  Cada ecuación lineal con dos incógnitas representa una recta. Cuando el coeficiente de $y$ es distinto de cero, se puede despejar y escribir una función afín $y=mx+b$; si queda una recta vertical $x=k$, se la grafica directamente. Entonces un sistema de dos ecuaciones se representa con dos rectas en los mismos ejes, y cada punto común es un par $(x,y)$ que cumple las dos condiciones.

  El método: representás cada recta —despejando $y$ cuando sea posible— y leés el punto de corte. Para $x+y=5$ y $x-y=1$ obtenés $y=-x+5$ e $y=x-1$; se cruzan en $(3,2)$. El dibujo a mano da una lectura aproximada, así que conviene confirmar con un método algebraico y verificar el par en las dos ecuaciones.

• Método de sustituciónmétodo

  Sirve siempre, y es el más seguro cuando alguna incógnita tiene coeficiente $1$. Los pasos: (1) despejás una incógnita de una de las ecuaciones; (2) reemplazás esa expresión en la OTRA ecuación —nunca en la misma de la que despejaste—, así te queda una sola ecuación con una sola incógnita; (3) resolvés esa ecuación; (4) con el valor que obtuviste, volvés a la expresión despejada y calculás la otra incógnita.

  Ejemplo con $y = 3x - 2$ y $2x + y = 8$. Ya tengo $y$ despejada en la primera, así que la reemplazo en la segunda: $2x + (3x - 2) = 8$. Sumo términos semejantes: $5x - 2 = 8$, entonces $5x = 10$ y $x = 2$. Ahora vuelvo a la despejada: $y = 3 \cdot 2 - 2 = 4$. La solución es $(2, 4)$. Conviene verificar en la ecuación que no usaste para despejar: $2 \cdot 2 + 4 = 8$, correcto.

• Método de igualaciónmétodo

  La igualación es cómoda cuando podés despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones. Si ambas quedan expresadas como $y$, igualás las dos expresiones, resolvés la ecuación con una sola incógnita y después recuperás la otra. Con $y=2x-1$ e $y=-x+5$, igualar da $2x-1=-x+5$, de donde $x=2$ y luego $y=3$.

  Otro método fundamental es la reducción o eliminación. Se suman o restan las ecuaciones miembro a miembro para que una incógnita desaparezca. Si sus coeficientes no son opuestos, primero se puede multiplicar una ecuación completa —todos sus términos y ambos miembros— por un número no nulo. Por ejemplo, en $2x+y=7$ y $x-y=2$, los coeficientes de $y$ ya son opuestos. Al sumar las ecuaciones queda $3x=9$, entonces $x=3$; al reemplazar en $x-y=2$, resulta $y=1$.

  Si el sistema fuera $x+2y=8$ y $3x+y=9$, multiplicar la segunda ecuación por $-2$ daría $-6x-2y=-18$; al sumarla con la primera se elimina $y$. Multiplicar solo un término alteraría la condición: siempre se transforma la ecuación completa. Igualación y reducción conservan el sistema y deben terminar con la verificación del par en las dos ecuaciones originales.

• Tipos de sistema: una, ninguna o infinitas solucionesconcepto

  No todo sistema tiene una única solución. Como cada ecuación es una recta, hay tres situaciones posibles según cómo son esas dos rectas.

  1) Compatible determinado: las rectas son secantes, se cruzan en un punto y el sistema tiene una única solución (el caso más común). 2) Incompatible: las rectas son paralelas distintas, nunca se cruzan y el sistema no tiene solución; al resolver por cuentas aparece un absurdo. Por ejemplo, $y = 2x + 1$ e $y = 2x + 5$ lleva a $2x + 1 = 2x + 5$, o sea $1 = 5$, que es falso. 3) Compatible indeterminado: las dos ecuaciones representan la misma recta, tienen infinitos puntos en común y el sistema tiene infinitas soluciones; por ejemplo $x + y = 3$ y $2x + 2y = 6$ son la misma recta (la segunda es la primera multiplicada por $2$). Para rectas no verticales, estos casos se reconocen comparando pendiente y ordenada; la clasificación geométrica también incluye las rectas verticales. Regla práctica: si al resolver llegás a algo imposible como $1 = 5$, no hay solución; si llegás a algo siempre cierto como $0 = 0$, hay infinitas.

Ejemplos resueltos

• KIOSCO (reducción o eliminación). En un kiosco, 2 alfajores y 1 gaseosa cuestan $\$2100$; 1 alfajor y 2 gaseosas cuestan $\$2400$. El sistema es $2a+g=2100$ y $a+2g=2400$. Para eliminar $g$, multiplico completa la primera ecuación por $2$: $4a+2g=4200$. Ahora resto la segunda ecuación miembro a miembro: $(4a+2g)-(a+2g)=4200-2400$, de modo que $3a=1800$ y $a=600$. Reemplazo en $2a+g=2100$: $1200+g=2100$, así que $g=900$. Verificación: $2\cdot600+900=2100$ y $600+2\cdot900=2400$.
• IGUALACIÓN. Resolver el sistema $y = 2x - 1$ e $y = -x + 5$. Las dos ecuaciones ya tienen $y$ despejada y las dos valen $y$, así que las igualo: $2x - 1 = -x + 5$. Sumo $x$ a los dos lados y $1$ a los dos lados: $3x = 6$, entonces $x = 2$. Calculo $y$ reemplazando en la primera: $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$. Solución: $(2, 3)$. Verifico en la segunda: $-2 + 5 = 3$, correcto. En un gráfico, este par es justo el punto donde se cruzan las rectas $y = 2x - 1$ e $y = -x + 5$.
• MÉTODO GRÁFICO. Resolver $x + y = 4$ y $x - y = 2$ dibujando. Despejo $y$ en cada una: de la primera, $y = -x + 4$ (ordenada $4$, pendiente $-1$); de la segunda, $y = x - 2$ (ordenada $-2$, pendiente $1$). Marco cada recta por su ordenada al origen y su pendiente: la primera pasa por $(0, 4)$ y baja $1$ por cada paso a la derecha; la segunda pasa por $(0, -2)$ y sube $1$. Las dos se cruzan en $(3, 1)$. Confirmo con cuentas: $3 + 1 = 4$ y $3 - 1 = 2$, las dos dan bien. La solución es $(3, 1)$.
• CASO SIN SOLUCIÓN (rectas paralelas). Resolver $y = 3x + 2$ e $y = 3x - 4$. Igualo las dos expresiones de $y$: $3x + 2 = 3x - 4$. Resto $3x$ a los dos lados: $2 = -4$, que es falso. Eso significa que no existe ningún par $(x, y)$ que cumpla las dos a la vez: el sistema es incompatible, no tiene solución. Tiene todo el sentido: las dos rectas tienen la misma pendiente ($3$) pero distinta ordenada, así que son paralelas y nunca se cruzan.

Errores comunes

• Resuelve, encuentra $x = 2$ y contesta 'la solución es 2', sin dar el valor de la otra incógnita.

  Un sistema de dos incógnitas se resuelve con un par de valores, uno para cada una. Dar solo $x$ deja el problema a la mitad: falta $y$, que es parte imprescindible de la respuesta.

  Cómo corregirlo: Después de hallar una incógnita, siempre reemplazala en una de las ecuaciones para obtener la otra, y escribí la solución como par ordenado $(x, y)$. Regla: dos incógnitas, dos números en la respuesta.

• En el método de sustitución, despeja una incógnita de una ecuación y la reemplaza en ESA MISMA ecuación.

  Al volver a la ecuación de la que despejaste, todo se cancela y llegás a algo como $0 = 0$, que es siempre cierto pero no aporta ningún dato. Es como usar la misma pista dos veces: no agregás información nueva.

  Cómo corregirlo: Despejás de una ecuación y reemplazás en la OTRA. Así combinás las dos condiciones y te queda una ecuación con una sola incógnita, que sí se puede resolver.

• Al sustituir una expresión dentro de un paréntesis multiplicado, no distribuye o se olvida un signo: por ejemplo, de $a + 2(2100 - 2a)$ escribe $a + 4200 - 2a$.

  El factor que está afuera del paréntesis multiplica a TODOS los términos de adentro. Si $2$ multiplica a $-2a$, el resultado es $-4a$, no $-2a$. Saltear esa multiplicación (o el signo) cambia la ecuación y da un valor equivocado.

  Cómo corregirlo: Aplicá la propiedad distributiva con cuidado, término por término: $2(2100 - 2a) = 2 \cdot 2100 - 2 \cdot 2a = 4200 - 4a$. Recién después juntás los términos semejantes.

• Cuando al resolver aparece un absurdo como $1 = 5$, cree que se equivocó en las cuentas y sigue buscando un número, en vez de reconocer que no hay solución.

  Un absurdo del tipo $1 = 5$ no es un error de cuentas: es el resultado correcto de un sistema incompatible, cuyas rectas son paralelas y nunca se cruzan. No existe ningún par que lo cumpla, así que no hay número para encontrar.

  Cómo corregirlo: Si llegás a una igualdad falsa ($1 = 5$), la respuesta es 'el sistema no tiene solución'. Si llegás a una igualdad siempre cierta ($0 = 0$), tiene infinitas soluciones. Solo cuando podés despejar un valor concreto hay solución única.

En resumen