Secundaria para Todos

Todavía sin progreso tuyo. Los estados que ves son el punto de partida de cualquiera, no una medición tuya. En cuanto practiques, esto pasa a mostrar tu dominio real.

La lección

Volumen: cuánto espacio ocupa un cuerpo

El volumen es lo que responde preguntas de todos los días: cuántos litros de agua entran en un tanque o en una pileta, cuánto cargás en un contenedor, cuánta nafta cabe en el tacho. Es la magnitud que mide el espacio que ocupa cualquier objeto del mundo real.

La idea

Pensá la escalera que ya venís subiendo. El perímetro medía un borde (una sola dimensión). El área medía la superficie que tapaba una figura plana (dos dimensiones). El volumen es el paso siguiente: mide cuánto espacio ocupa un cuerpo del mundo real, que tiene tres dimensiones —largo, ancho y alto—. La forma más honesta de imaginarlo: ¿cuántos cubitos de $1\ cm$ de lado necesitás para rellenar el cuerpo por completo, sin que sobre ni falte lugar? Ese número es el volumen. Por eso se mide en centímetros cúbicos ( $cm^3$ ): son cubitos, no cuadraditos.

Qué vas a aprender

Qué es el volumen (y en qué se diferencia del área)concepto
El volumen es la magnitud que mide cuánto espacio ocupa un cuerpo. Fijate la escalera de las dimensiones: el perímetro mide un borde (una sola dimensión, se anota en $cm$ ), el área mide la superficie que cubre una figura plana (dos dimensiones, se anota en $cm^2$ ) y el volumen mide el espacio que llena un cuerpo del mundo real, que tiene tres dimensiones —largo, ancho y alto— y por eso se anota en $cm^3$ .
La unidad natural es el cubo de $1\ cm$ de lado: un centímetro cúbico ( $1\ cm^3$ ). Medir el volumen de un cuerpo es, en el fondo, contar cuántos de esos cubitos entran adentro. El exponente $3$ de la unidad no es un adorno: te avisa que multiplicaste tres medidas. Si alguna vez un cálculo de volumen te queda en $cm^2$ , seguro te faltó una dimensión.
Volumen del prisma rectangular y del cubométodo
Un prisma rectangular (también llamado ortoedro, o simplemente 'caja') es el cuerpo con forma de caja de zapatos: seis caras rectangulares. Su volumen se calcula multiplicando sus tres medidas: $V = a \cdot b \cdot c$ , donde $a$ es el largo, $b$ el ancho y $c$ el alto. Por ejemplo, una caja de $4\ cm \times 3\ cm \times 2\ cm$ tiene $V = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\ cm^3$ .
¿Por qué se multiplican? Porque en el piso de la caja entra una capa de $4 \cdot 3 = 12$ cubitos, y como la caja tiene $2\ cm$ de alto, se apilan $2$ capas iguales: $12 \cdot 2 = 24$ cubitos. El cubo es el caso especial en que las tres medidas son iguales (la arista $a$ ): $V = a \cdot a \cdot a = a^3$ . Un cubo de arista $5\ cm$ tiene $V = 5^3 = 125\ cm^3$ .
La idea que ordena todo: área de la base por alturaconcepto
En prismas y cilindros, todas las secciones paralelas a la base conservan la misma forma y la misma área. Por eso se pueden pensar como capas iguales y su volumen es $V=A_{\text{base}}\cdot h$ . La caja es el caso más fácil: su base es un rectángulo de área $a\cdot b$ , así que $V=(a\cdot b)\cdot c$ . Si la base de un prisma es triangular, primero calculás $A_{\text{base}}=\frac{b\cdot h_b}{2}$ ; si es un cilindro de radio $r$ , $A_{\text{base}}=\pi r^2$ y $V=\pi r^2h$ .
Una pirámide y un cono no conservan capas iguales: tienen una sola base y se afinan hasta un ápice. Si tienen la misma área de base y la misma altura que un prisma o cilindro, ocupan exactamente la tercera parte. Por eso $V_{\text{pirámide}}=\frac{A_{\text{base}}\cdot h}{3}$ y $V_{\text{cono}}=\frac{\pi r^2h}{3}$ . En las cuatro fórmulas, $h$ es la distancia perpendicular entre las bases, o entre la base y el ápice; no es una arista inclinada ni la generatriz del cono.
La esfera es distinta: no tiene base ni ápice, de modo que no se calcula con $A_{\text{base}}\cdot h$ . Para una esfera de radio $r$ , $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ . Si te dan el diámetro $d$ , primero usás $r=d/2$ . Así quedan separados los modelos: prisma y cilindro multiplican por $1$ ; pirámide y cono, por $\frac{1}{3}$ ; la esfera usa una fórmula propia basada en el radio.
Unidades de volumen y de capacidadconcepto
Las unidades de volumen son cubos: $mm^3$ , $cm^3$ , $dm^3$ y $m^3$ . Lo importante —y donde casi todos se equivocan— es el factor entre una unidad y la siguiente: es $1000$ , no $10$ . La razón es que al agrandar el lado $10$ veces, el volumen crece $10^3=1000$ veces. Entonces $1\ m^3=1000\ dm^3=1.000.000\ cm^3$ . Antes de usar cualquier fórmula, todas las longitudes —base, altura, radio o diámetro— deben estar en la misma unidad. El producto de tres longitudes, incluso cuando aparece $\pi$ o el factor $\frac{1}{3}$ , termina siempre en una unidad cúbica.
La capacidad (cuánto líquido entra) se mide en litros y mililitros, y se conecta con el volumen por dos igualdades clave: $1\ dm^3=1$ litro y $1\ cm^3=1$ ml. De ahí sale que $1\ m^3=1000$ litros. Ese puente permite decir que un tanque de $200\ dm^3$ contiene $200$ litros de agua. Ancla útil: $1$ litro ocupa el mismo volumen que un cubo de $10\ cm$ de lado, porque $10^3=1000\ cm^3$ ; no significa que una botella real tenga forma de cubo.
De volumen a capacidad: el método en tres pasosmétodo
Para resolver un problema del tipo '¿cuántos litros entran?', seguí tres pasos. Primero, llevá todas las medidas a la misma unidad (suele convenir $cm$ o $dm$ ). Segundo, distinguí el modelo y elegí su fórmula: $A_{\text{base}}h$ para prisma o cilindro, $\frac{A_{\text{base}}h}{3}$ para pirámide o cono, y $\frac{4}{3}\pi r^3$ para esfera. Tercero, convertí el resultado cúbico a capacidad usando $1\ dm^3=1$ litro o $1\ cm^3=1$ ml.
Por ejemplo, un bidón con forma de caja de $20\ cm\times20\ cm\times25\ cm$ tiene $V=20\cdot20\cdot25=10.000\ cm^3$ . Como $1\ cm^3=1$ ml, son $10.000$ ml, es decir $10$ litros. Pensándolo en $dm^3$ llegás a lo mismo: $10.000\ cm^3\div1000=10\ dm^3=10$ litros. Como control final, la unidad debe ser cúbica antes de convertir y el resultado debe ser compatible con el tamaño del recipiente.

Ejemplos resueltos

Un contenedor con forma de caja mide $30\ cm$ de largo, $20\ cm$ de ancho y $15\ cm$ de alto. Queremos su volumen y cuántos litros de agua le entran. Volumen: multiplicamos las tres medidas, $V = 30 \cdot 20 \cdot 15 = 9000\ cm^3$ . Capacidad: como $1\ cm^3 = 1$ ml, tenemos $9000$ ml; y como $1000$ ml $= 1$ litro, dividimos por $1000$ : $9000 \div 1000 = 9$ litros. Respuesta: el contenedor tiene un volumen de $9000\ cm^3$ y le entran $9$ litros de agua.
Una barra de chocolate con forma de prisma triangular tiene como base un triángulo de $8\ cm$ de base y $5\ cm$ de altura, y el prisma mide $12\ cm$ de largo. Como no es una caja, usamos $V = A_{\text{base}} \cdot h$ . Primero el área del triángulo de la base: $A_{\text{base}} = \dfrac{8 \cdot 5}{2} = 20\ cm^2$ . Después multiplicamos por el largo del prisma: $V = 20 \cdot 12 = 240\ cm^3$ . Respuesta: el volumen es $240\ cm^3$ . Lo clave fue calcular primero el área de la base y recién después multiplicarla por la altura del cuerpo.
Un tanque de agua cilíndrico tiene $0{,}5\ m$ de radio y $1{,}2\ m$ de altura. ¿Cuántos litros contiene lleno? Usamos $V=\pi r^2h=\pi\cdot(0{,}5)^2\cdot1{,}2=0{,}3\pi\ m^3\approx0{,}942\ m^3$ . Para pasar a litros usamos que $1\ m^3=1000$ litros: $0{,}942\cdot1000\approx942$ litros. Respuesta: el tanque contiene alrededor de $942$ litros.
¿A cuántos litros equivalen $3\ m^3$ ? Entre unidades de volumen el factor es $1000$ : como $1\ m^3 = 1000\ dm^3$ , tenemos $3\ m^3 = 3 \cdot 1000 = 3000\ dm^3$ . Y como $1\ dm^3 = 1$ litro, son $3000$ litros. Si en cambio lo quisiéramos en $cm^3$ : $3\ m^3 = 3 \cdot 1.000.000 = 3.000.000\ cm^3$ . El error a evitar es multiplicar por $100$ o por $10$ : como el volumen tiene tres dimensiones, el factor de conversión va al cubo.
Una pirámide de base cuadrada tiene lado de base $6\ cm$ y altura perpendicular de $10\ cm$ . Primero, $A_{\text{base}}=6^2=36\ cm^2$ . Después, $V=\frac{36\cdot10}{3}=120\ cm^3$ . Un prisma con la misma base y altura tendría $36\cdot10=360\ cm^3$ : la pirámide ocupa exactamente la tercera parte.
Un cono tiene radio de base $3\ cm$ y altura perpendicular de $8\ cm$ . Su volumen es $V=\frac{\pi r^2h}{3}=\frac{\pi\cdot3^2\cdot8}{3}=24\pi\ cm^3\approx75{,}40\ cm^3$ . La medida que entra en la fórmula es la altura perpendicular, no el lado inclinado del cono.
Una esfera tiene diámetro de $12\ cm$ . Primero hallamos el radio: $r=12/2=6\ cm$ . Entonces $V=\frac{4}{3}\pi\cdot6^3=\frac{4}{3}\pi\cdot216=288\pi\ cm^3\approx904{,}78\ cm^3$ . No usamos área de base por altura porque una esfera no tiene base.

Errores comunes

Calcula el área de una cara (o suma las dimensiones en lugar de multiplicarlas) y anota el resultado en $cm^2$ .
El área mide superficie (dos dimensiones) y el volumen mide espacio (tres dimensiones). Para el volumen hacen falta las tres medidas multiplicadas, y la unidad tiene que llevar exponente $3$ .
Cómo corregirlo: Preguntate siempre '¿cuántos cubitos de $1\ cm$ entran adentro?'. Son tres factores multiplicados. Si el resultado te queda en $cm^2$ , algo falló: un volumen se anota en $cm^3$ .
Al pasar de $m^3$ a $cm^3$ multiplica por $100$ (o de $m^3$ a $dm^3$ por $10$ ), como si fuera una longitud.
Es cierto que $1\ m = 100\ cm$ , pero el volumen usa las tres dimensiones, así que el factor va al cubo: $100^3 = 1.000.000$ . Entre unidades cúbicas consecutivas el factor es $1000$ , no $10$ .
Cómo corregirlo: Grabate que cada escalón de volumen multiplica o divide por $1000$ : $1\ m^3 = 1000\ dm^3 = 1.000.000\ cm^3$ .
Multiplica dimensiones que están en unidades distintas, por ejemplo $2\ m \times 30\ cm \times 50\ cm$ , sin pasarlas todas a la misma unidad.
Mezclar metros con centímetros da un número que no representa ningún volumen real; las tres medidas tienen que estar en la misma unidad para que el producto tenga sentido.
Cómo corregirlo: Antes de multiplicar, llevá todo a la misma unidad. En el ejemplo, $2\ m = 200\ cm$ , así que $V = 200 \cdot 30 \cdot 50 = 300.000\ cm^3$ (que son $300\ dm^3 = 300$ litros).
Cree que $1$ litro $= 1\ cm^3$ (o que $1$ ml $= 1\ dm^3$ ).
Las equivalencias correctas son $1$ litro $= 1\ dm^3 = 1000\ cm^3$ y $1$ ml $= 1\ cm^3$ . Confundirlas cambia el resultado por un factor de $1000$ .
Cómo corregirlo: Fijá dos anclas: el mililitro es chiquito, $1$ ml $= 1\ cm^3$ ; el litro es grande, $1$ litro $= 1\ dm^3$ . Un litro ocupa el mismo volumen que un cubo de $10\ cm$ de lado, porque $10^3=1000\ cm^3$ .
Calcula una pirámide o un cono como $A_{\text{base}}\cdot h$ , igual que un prisma o un cilindro.
La pirámide y el cono se afinan hasta un ápice. Con la misma base y altura ocupan solo la tercera parte del prisma o cilindro correspondiente.
Cómo corregirlo: Después de calcular $A_{\text{base}}\cdot h$ , dividí por $3$ : $V=\frac{A_{\text{base}}h}{3}$ . Compará con el prisma o cilindro de referencia que tenga la misma base y altura para controlar que el resultado sea menor.
Usa una arista lateral de una pirámide o la generatriz de un cono como si fuera la altura.
La altura de las fórmulas es la distancia mínima y perpendicular desde el ápice al plano de la base. Una medida inclinada suele ser más larga y produce un volumen exagerado.
Cómo corregirlo: Buscá el segmento que forma $90^\circ$ con la base. Solo esa medida es $h$ en $\frac{A_{\text{base}}h}{3}$ . Si el problema da únicamente una medida inclinada, primero hay que obtener la altura perpendicular.
Reemplaza el diámetro en el lugar del radio al usar $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ .
El diámetro es el doble del radio. Como la medida aparece al cubo, usar $d$ en vez de $r$ multiplica el resultado por $2^3=8$ .
Cómo corregirlo: Si te dan el diámetro, calculá primero $r=d/2$ . Recién después elevá el radio al cubo y aplicá $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ .

En resumen

El volumen mide espacio en unidades cúbicas. Prismas y cilindros usan $V=A_{\text{base}}h$ ; pirámides y conos con la misma base y altura usan la tercera parte, $V=\frac{A_{\text{base}}h}{3}$ ; una esfera usa $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ . La altura siempre es perpendicular y, si aparece un diámetro, primero se obtiene el radio. Antes de calcular se unifican las unidades; entre unidades cúbicas consecutivas el factor es $1000$ . El puente con capacidad es $1\ dm^3=1$ litro y $1\ cm^3=1$ ml.