Ecuación de segundo grado

La idea

Qué vas a aprender

• Qué es una ecuación de segundo gradoconcepto

  Una ecuación de segundo grado (o cuadrática) es una igualdad que, ordenada e igualada a cero, se escribe $ax^2 + bx + c = 0$, donde $a$, $b$ y $c$ son números reales y —esto es clave— $a \neq 0$. Si $a$ fuera $0$ desaparecería el $x^2$ y quedaría una ecuación lineal $bx+c=0$, que sería de primer grado solo si $b\neq0$. Los nombres importan: $a$ es el coeficiente cuadrático (acompaña al $x^2$), $b$ el coeficiente lineal (acompaña al $x$) y $c$ el término independiente (va solo). Por ejemplo, en $3x^2 - 5x + 2 = 0$ es $a = 3$, $b = -5$ y $c = 2$: el signo viaja siempre con el número.

  Resolver $ax^2 + bx + c = 0$ es preguntarse para qué valores de $x$ la función cuadrática $y = ax^2 + bx + c$ vale $0$. Geométricamente, son los puntos donde la parábola corta el eje $x$: sus raíces o ceros. Como una parábola puede cortar el eje en dos puntos, tocarlo en uno o no tocarlo, una ecuación de segundo grado puede tener dos soluciones, una sola o ninguna (real). Una ecuación lineal puede tener una solución, ninguna o infinitas si la incógnita se cancela; lo característico de la cuadrática es que puede tener hasta dos soluciones reales distintas.

• Caso incompleto sin término independiente (c = 0)método

  Cuando falta el término independiente ($c = 0$), la ecuación queda $ax^2 + bx = 0$. Acá conviene sacar factor común $x$, porque el $x$ está en los dos términos: $x(ax + b) = 0$. Ahora usás una propiedad clave: si un producto de dos factores da $0$, entonces al menos uno de los factores es $0$. Así el problema se parte en dos ecuaciones fáciles: $x = 0$ o bien $ax + b = 0$. De esta última despejás $x = -\frac{b}{a}$.

  Ejemplo: $2x^2 - 6x = 0$. Factor común: $x(2x - 6) = 0$. Entonces $x = 0$ o $2x - 6 = 0$, y de la segunda $x = 3$. Las dos soluciones son $x = 0$ y $x = 3$. En este caso una solución siempre es $x = 0$; la otra sale de despejar el paréntesis. Importante: nunca dividas los dos lados por $x$ para "cancelarlo", porque estarías tirando justamente la solución $x = 0$.

• Caso incompleto sin término lineal (b = 0)método

  Cuando falta el término del medio ($b=0$), la ecuación queda $ax^2+c=0$. Despejás el cuadrado hasta obtener $x^2=-\frac{c}{a}$. La notación $\sqrt{k}$ designa la raíz cuadrada principal, no negativa; al resolver la ecuación $x^2=k$ con $k>0$ aparecen dos soluciones porque tanto $\sqrt{k}$ como $-\sqrt{k}$ tienen cuadrado $k$. Por eso se escribe $x=\pm\sqrt{k}$.

  Ejemplo: $3x^2-12=0$ da $x^2=4$ y luego $x=\pm\sqrt{4}=\pm2$. Si $k=0$, hay una sola solución, $x=0$; si $k<0$, no hay solución real. La expresión $\sqrt{k}$ no tiene dos valores: el signo $\pm$ aparece al resolver la ecuación.

• La fórmula resolventemétodo

  Un método general es completar cuadrados: transformar el miembro cuadrático en un cuadrado perfecto mediante operaciones equivalentes. Si $a\neq1$, primero se divide toda la ecuación por $a$. Después se pasa el término independiente al otro miembro y se suma a ambos lados el cuadrado de la mitad del coeficiente de $x$.

  Por ejemplo, en $x^2-6x+5=0$ se pasa el $5$: $x^2-6x=-5$. La mitad de $-6$ es $-3$ y su cuadrado es $9$, así que sumamos $9$ en los dos miembros: $x^2-6x+9=4$. El lado izquierdo es $(x-3)^2$, entonces $(x-3)^2=4$, $x-3=\pm2$ y las soluciones son $x=1$ y $x=5$. El método solo reescribe y resuelve la ecuación; el análisis de la forma canónica de una parábola pertenece a Función cuadrática.

  La fórmula resolvente, obtenida al completar cuadrados en el caso general, sirve para toda ecuación $ax^2+bx+c=0$: $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Primero se ordena e iguala a cero, luego se identifican $a$, $b$ y $c$ con sus signos y se reemplaza. Para $x^2-5x+6=0$, $a=1$, $b=-5$, $c=6$: $x=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}=\frac{5\pm1}{2}$, de donde $x=3$ o $x=2$. Como $b=-5$, el numerador empieza con $-b=-(-5)=5$.

• El discriminante: cuántas soluciones hayconcepto

  Dentro de la resolvente, la parte que está bajo la raíz, $b^2 - 4ac$, se llama discriminante y se anota con la letra griega $\Delta$ (delta). Ese número solito te dice cuántas soluciones reales tiene la ecuación, incluso antes de terminar de resolverla:

  · Si $\Delta > 0$: hay dos soluciones reales distintas (la parábola corta el eje $x$ en dos puntos). · Si $\Delta = 0$: hay una sola solución, llamada raíz doble (la parábola apenas toca el eje en su vértice). · Si $\Delta < 0$: no hay soluciones reales (la parábola no llega a cortar el eje $x$), porque quedaría la raíz cuadrada de un número negativo.

  Por ejemplo, en $x^2 - 4x + 4 = 0$ es $\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$: una raíz doble ($x = 2$). En $x^2 + x + 3 = 0$ es $\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11 < 0$: sin solución real. Calcular $\Delta$ primero te avisa qué esperar y te ahorra trabajo.

Ejemplos resueltos

• Resolvente completa. Resolver $2x^2 + 3x - 2 = 0$. Identifico $a = 2$, $b = 3$, $c = -2$. Primero calculo el discriminante: $\Delta = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$. Como $\Delta > 0$, va a haber dos soluciones. Reemplazo en la fórmula: $x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 5}{4}$. Con el $+$: $x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Con el $-$: $x = \frac{-8}{4} = -2$. Soluciones: $x = \frac{1}{2}$ y $x = -2$. Fijate que $-4 \cdot 2 \cdot (-2) = +16$: el producto de dos negativos dio positivo, por eso el discriminante creció.
• COMPLETAR CUADRADOS. Resolver $x^2-8x+7=0$. Paso el término independiente: $x^2-8x=-7$. La mitad de $-8$ es $-4$ y su cuadrado es $16$, así que sumo $16$ en los dos miembros: $x^2-8x+16=9$. El primer miembro es el cuadrado perfecto $(x-4)^2$, por lo que $(x-4)^2=9$. Al resolver aparece el $\pm$: $x-4=\pm3$. Entonces $x=7$ o $x=1$. Verificación: $49-56+7=0$ y $1-8+7=0$.
• Caso incompleto con $b = 0$. Resolver $2x^2 - 50 = 0$. Falta el término lineal. Despejo el cuadrado: $2x^2 = 50$, luego $x^2 = 25$, y aplico raíz con los dos signos: $x = \pm\sqrt{25} = \pm 5$. Soluciones: $x = 5$ y $x = -5$.
• Un problema con medidas. Un cantero rectangular tiene $3$ m más de largo que de ancho, y su superficie es de $40$ m$^2$. ¿Cuánto mide cada lado? Llamo $x$ al ancho; entonces el largo es $x + 3$. El área es largo por ancho: $x(x + 3) = 40$. Distribuyo y ordeno igualando a cero: $x^2 + 3x - 40 = 0$. Aplico la resolvente con $a = 1$, $b = 3$, $c = -40$: $\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169$, y $\sqrt{169} = 13$. Entonces $x = \frac{-3 \pm 13}{2}$: con el $+$, $x = \frac{10}{2} = 5$; con el $-$, $x = \frac{-16}{2} = -8$. Como un ancho no puede ser negativo, descarto $x = -8$. El ancho mide $5$ m y el largo $5 + 3 = 8$ m. Verifico: $5 \cdot 8 = 40$ m$^2$. Correcto. Moraleja: en un problema real, de las dos soluciones matemáticas te quedás con la que tiene sentido.

Errores comunes

• En una ecuación como $x^2 = 3x$, dividir los dos lados por $x$ y responder solo $x = 3$.

  Al dividir por $x$ estás suponiendo que $x \neq 0$, y justamente $x = 0$ es una de las soluciones. La perdés sin darte cuenta y te queda la mitad de la respuesta.

  Cómo corregirlo: Pasá todo a un lado para igualar a cero y sacá factor común en vez de dividir: $x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x - 3) = 0$, que da $x = 0$ o $x = 3$. En las incompletas con $c = 0$, una solución siempre es $x = 0$.

• En $x^2 = 9$ contestar solo $x = 3$, o en la resolvente usar únicamente el signo $+$.

  Al despejar en una ecuación, la raíz cuadrada tiene dos resultados: $3^2 = 9$ pero también $(-3)^2 = 9$. Quedarte con uno solo te hace perder una solución tan válida como la otra.

  Cómo corregirlo: Cada vez que sacás raíz para despejar, escribí el $\pm$: $x = \pm\sqrt{9} = \pm 3$. En la resolvente, resolvé siempre las dos ramas, la del $+$ y la del $-$, antes de dar por terminado el ejercicio.

• En la resolvente, con $b = -5$, escribir el numerador como $-5 \pm \dots$ en lugar de $+5 \pm \dots$.

  La fórmula empieza con $-b$, no con $b$. Si $b$ ya es negativo ($b = -5$), entonces $-b = -(-5) = +5$. Copiar $b$ tal cual invierte el signo y arruina las dos soluciones.

  Cómo corregirlo: Anotá $a$, $b$ y $c$ con su signo por separado y reemplazá usando paréntesis: $-b = -(-5) = 5$. Los paréntesis te obligan a respetar el doble signo y evitan el error casi solos.

• En $x^2 = 5x - 6$ tomar $a = 1$, $b = 5$, $c = -6$ y meter esos valores directo en la fórmula.

  La fórmula resolvente solo funciona con la ecuación ordenada e igualada a cero, $ax^2 + bx + c = 0$. Si leés los coeficientes con términos repartidos a ambos lados del igual, los signos de $b$ y $c$ te van a quedar mal.

  Cómo corregirlo: Primero pasá todo a un mismo lado para que quede $= 0$: $x^2 = 5x - 6$ se convierte en $x^2 - 5x + 6 = 0$. Recién ahí leés $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$ y aplicás la fórmula.

• Calcular $\Delta = b^2 - 4ac$, que da negativo, y pensar que la cuenta está mal, forzando una raíz igual.

  Un discriminante negativo no es un error de cuenta: es la respuesta. Significa que la ecuación no tiene soluciones reales, porque la parábola no corta el eje $x$ y la raíz cuadrada de un número negativo no existe en $\mathbb{R}$.

  Cómo corregirlo: Si $\Delta < 0$, la conclusión correcta es "no tiene soluciones reales". No inventes un resultado ni cambies un signo para que dé positivo: revisá la cuenta y, si está bien hecha, esa es la respuesta final.

En resumen