Función cuadrática

La idea

Qué vas a aprender

• Qué es una función cuadrática (y por qué su gráfico es una parábola)concepto

  Una función es cuadrática cuando se puede escribir como $f(x)=ax^2+bx+c$, con $a$, $b$ y $c$ reales y $a\neq0$. Al término $ax^2$ lo llamamos cuadrático, a $bx$ lineal y a $c$ término independiente. Si $a=0$, desaparece el $x^2$ y queda una función afín $f(x)=bx+c$ (lineal estricta solo si además $c=0$). Por ejemplo, $f(x)=x^2-4x+3$ tiene $a=1$, $b=-4$, $c=3$; en $g(x)=-2x^2+5$ es $a=-2$, $b=0$, $c=5$.

  ¿Por qué el gráfico deja de ser una recta? En una función afín, la pendiente es constante. El $x^2$ rompe eso: en la tabla de $y=x^2$, al pasar por $x=0,1,2,3$ las salidas son $0,1,4,9$ y las diferencias son $1,3,5$, no constantes. Ese cambio en el ritmo curva el gráfico y forma la parábola.

• La concavidad la decide el signo de $a$concepto

  El coeficiente principal $a$ (el que acompaña al $x^2$) decide para qué lado abre la parábola. Si $a > 0$, abre hacia arriba, con forma de U: tiene un punto más bajo, un mínimo. Si $a < 0$, abre hacia abajo, como una U dada vuelta: tiene un punto más alto, un máximo. Ni $b$ ni $c$ cambian esto: solo el signo de $a$. Además, el tamaño de $a$ (su valor absoluto $|a|$) regula qué tan angosta o ancha es: cuanto más grande $|a|$, más cerrada; cuanto más chico (entre $0$ y $1$), más abierta.

  El caso más simple es $y = ax^2$ (sin $b$ ni $c$), cuya parábola tiene el vértice justo en el origen $(0,0)$. Así, $y = x^2$ abre hacia arriba y $y = -x^2$ es su espejo, abriendo hacia abajo; $y = 2x^2$ es más cerrada que $y = x^2$, y $y = \frac{1}{2}x^2$ más abierta. Un caso concreto: en $h(t) = -5t^2 + 20t$, como $a = -5 < 0$, la parábola abre hacia abajo, así que la función tiene un máximo. Tiene todo el sentido si $h$ es la altura de una pelota: sube, llega a un punto máximo y baja.

• Encontrar el vértice y el eje de simetríamétodo

  El vértice es el punto donde la parábola cambia de dirección: el mínimo si abre hacia arriba, el máximo si abre hacia abajo. En la forma desarrollada $f(x)=ax^2+bx+c$, su coordenada horizontal es $x_v=-\frac{b}{2a}$ y la vertical sale con $y_v=f(x_v)$. Por el vértice pasa el eje de simetría $x=x_v$.

  La misma función puede aparecer en forma canónica $f(x)=a(x-h)^2+k$. En esa escritura el vértice se lee directamente: es $(h,k)$ y el eje es $x=h$; el signo de $a$ sigue decidiendo la concavidad. Por ejemplo, $f(x)=2(x-3)^2-5$ tiene vértice $(3,-5)$ y abre hacia arriba.

  Para $f(x)=x^2-4x+3$, $x_v=-\frac{-4}{2\cdot1}=2$ y $y_v=f(2)=-1$. El vértice es $(2,-1)$, el eje es $x=2$ y, como $a>0$, se trata de un mínimo.

• La ordenada al origen y cómo graficar con tabla y simetríamétodo

  La ordenada al origen es donde la parábola cruza el eje $y$, es decir, el valor cuando $x=0$. Como $f(0)=c$, ese punto es $(0,c)$: igual que en una función afín, coincide con el término independiente.

  Para graficar conviene: (1) hallar el vértice; (2) marcar el eje de simetría; (3) armar una tabla con valores a ambos lados; (4) usar que entradas a igual distancia del eje tienen la misma imagen; (5) unir con una curva suave. Para $f(x)=x^2-4x+3$, con vértice $(2,-1)$, se obtiene $f(0)=3$, $f(1)=0$, $f(2)=-1$, $f(3)=0$, $f(4)=3$. La tabla muestra la simetría respecto de $x=2$.

• Leer y hallar las raíces en casos simplesmétodo

  Las raíces o ceros de la función son las entradas donde $f(x)=0$; en el gráfico corresponden a las intersecciones $(x,0)$ con el eje $x$. En este tema se leen del gráfico o de una tabla y se verifican evaluando, como parte del análisis de la parábola. Para $f(x)=x^2-4x+3$, la tabla muestra $f(1)=0$ y $f(3)=0$, así que los cortes son $(1,0)$ y $(3,0)$.

  La simetría también ayuda a completar la lectura. Para $g(x)=2x^2-8$, el eje es $x=0$ y una tabla da $g(-2)=0$, $g(0)=-8$ y $g(2)=0$: los dos ceros observados son simétricos. Acá no despejamos la ecuación $g(x)=0$ ni aplicamos un método general. Resolver ecuaciones cuadráticas —también los casos incompletos— pertenece a Ecuación de segundo grado; este bloque se limita a identificar y comprobar intersecciones de la parábola.

Ejemplos resueltos

• ANÁLISIS COMPLETO de $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Paso 1, coeficientes: $a=1$, $b=-4$, $c=3$. Paso 2, concavidad: como $a = 1 > 0$, la parábola abre hacia arriba, así que su vértice será un mínimo. Paso 3, vértice: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$; y $y_v = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Vértice $(2, -1)$ y eje de simetría $x = 2$. Paso 4, ordenada al origen: $(0, c) = (0, 3)$. Paso 5, tabla usando la simetría alrededor de $x=2$: $f(0)=3$, $f(1)=0$, $f(2)=-1$, $f(3)=0$, $f(4)=3$. Paso 6, raíces: la tabla muestra $f(1)=0$ y $f(3)=0$, así que cruza el eje $x$ en $(1,0)$ y $(3,0)$. Con eso queda una U que baja desde $(0,3)$, toca el fondo en $(2,-1)$ y vuelve a subir hasta $(4,3)$, simétrica respecto de $x=2$.
• MÁXIMO de un tiro (vida real). Una pelota se lanza para arriba y su altura en metros a los $t$ segundos es $h(t) = -5t^2 + 20t$. ¿Qué altura máxima alcanza y en qué momento? Paso 1: $a=-5$, $b=20$, $c=0$. Paso 2, concavidad: $a = -5 < 0$, abre hacia abajo, así que el vértice es un máximo (perfecto, buscamos la altura más alta). Paso 3, momento del máximo: $t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = -\frac{20}{-10} = 2$ segundos. Paso 4, altura máxima: $h(2) = -5 \cdot 2^2 + 20 \cdot 2 = -5 \cdot 4 + 40 = -20 + 40 = 20$ metros. Respuesta: la pelota llega a $20$ m de altura a los $2$ segundos. Dato extra: $h(0) = 0$, o sea que sale desde el piso, como corresponde.
• LECTURA DE INTERSECCIONES de $g(x)=2x^2-8$. Como $a=2>0$, la parábola abre hacia arriba. Su eje de simetría es $x=0$ y el vértice es $(0,-8)$. Para localizar cortes con el eje $x$, evaluamos entradas simétricas en una tabla: $g(-2)=2\cdot(-2)^2-8=0$, $g(0)=-8$ y $g(2)=2\cdot2^2-8=0$. Por lo tanto el gráfico cruza el eje $x$ en $(-2,0)$ y $(2,0)$. Identificamos y verificamos los ceros desde la tabla y la simetría; la resolución algebraica de $2x^2-8=0$ se trabaja en Ecuación de segundo grado.

Errores comunes

• Calcula el vértice como $x_v = \frac{b}{2a}$, sin el signo menos.

  La fórmula es $x_v = -\frac{b}{2a}$: el menos forma parte de ella. Sin ese menos, el vértice queda del lado equivocado del eje y todo el gráfico sale corrido. Por ejemplo, en $f(x) = x^2 - 4x + 3$ daría $x_v = \frac{-4}{2} = -2$ en lugar del $2$ correcto.

  Cómo corregirlo: Escribí siempre el menos delante y prestá atención al signo de $b$. Si $b$ es negativo, el menos lo vuelve positivo: con $b=-4$ queda $x_v = -\frac{-4}{2a} = +\frac{4}{2a}$.

• Al armar la tabla, hace el cuadrado de un negativo como negativo (por ejemplo $(-3)^2 = -9$) o confunde $x^2$ con $2x$.

  $(-3)^2$ significa $(-3) \cdot (-3) = 9$, positivo, porque menos por menos da más. Y $x^2$ no es $2x$: para $x=3$, $x^2 = 9$ pero $2x = 6$. Con esos valores mal calculados, la parábola sale deformada o dada vuelta.

  Cómo corregirlo: Elevar al cuadrado es multiplicar el número por sí mismo, y el resultado nunca es negativo. Reemplazá siempre con paréntesis y resolvé primero la potencia: $f(-3) = (-3)^2 - \dots$, con $(-3)^2 = 9$.

• Decide para qué lado abre la parábola mirando $c$ (o $b$) en vez de $a$.

  La abertura la manda únicamente el coeficiente principal $a$, el que acompaña al $x^2$. Los coeficientes $b$ y $c$ mueven y ubican la parábola, pero no la dan vuelta. Por ejemplo, $y = x^2 - 100$ abre hacia arriba igual que $y = x^2$, aunque $c$ sea muy negativo.

  Cómo corregirlo: Mirá solo el signo de $a$: si $a > 0$ abre hacia arriba (mínimo), si $a < 0$ abre hacia abajo (máximo). Los demás coeficientes no cambian eso.

• Marca solo dos puntos y los une con una recta, o une los puntos de la tabla con segmentos rectos.

  Dos puntos definen una recta, pero la parábola es una curva: necesita al menos el vértice y puntos simétricos a los dos lados. Unir con segmentos da una línea quebrada, no la curva suave real, y encima esconde el vértice.

  Cómo corregirlo: Ubicá primero el vértice, después un par de puntos a cada lado usando la simetría, y unilos con una curva suave (nunca con reglita). El vértice es justo donde la curva cambia de dirección.

En resumen