Función exponencial

La idea

Qué vas a aprender

• Qué es una función exponencial: la variable en el exponenteconcepto

  En esta lección llamamos función exponencial básica a $f(x)=a\cdot b^x$ bajo tres condiciones: $a>0$, $b>0$ y $b\neq1$. El factor $a$ es el valor inicial, porque $f(0)=a$; $b$ es la base fija y la variable $x$ está en el exponente. Compará $2^x$ con $x^2$: en la cuadrática la variable es la base y el exponente es fijo; en la exponencial ocurre al revés.

  La condición $b>0$ permite definir $b^x$ como número real para todo exponente real; con una base negativa, exponentes como $\frac12$ no darían un valor real. Si $b=1$, queda la función constante $f(x)=a$, que se excluye de esta familia. Exigir además $a>0$ garantiza que los valores sean positivos y que el crecimiento o decrecimiento dependa solo de $b$. Un factor inicial negativo produciría otra curva con imagen negativa y sentido de variación invertido; ese caso queda fuera de la definición adoptada acá. Si $a=1$, resulta $f(x)=b^x$.

• Crecimiento y decrecimiento: lo decide la baseconcepto

  Bajo las condiciones $a>0$, $b>0$ y $b\neq1$, la base decide el sentido de variación. Si $b>1$, la función es estrictamente creciente: cada paso de una unidad multiplica el valor por un número mayor que $1$. Por ejemplo, $2^x$ da $1,2,4,8,16,\dots$.

  Si $0<b<1$, la función es estrictamente decreciente: cada paso multiplica por una fracción positiva. Por ejemplo, $\left(\frac12\right)^x$ da $1,\frac12,\frac14,\frac18,\dots$ para $x=0,1,2,3,\dots$. En ambos casos los valores permanecen positivos. El crecimiento modela interés compuesto o poblaciones; el decrecimiento, cantidades que conservan en cada período una fracción de lo anterior.

• Reconocer una relación exponencial: razón constante, no diferencia constantemétodo

  Frente a una tabla cuyos valores de $x$ están separados por pasos iguales, una relación afín tiene diferencia constante entre salidas; una exponencial tiene razón constante. Para pasos de una unidad, esa razón es la base $b$.

  En la sucesión $5,10,20,40$ las diferencias cambian, pero las razones son $10/5=2$, $20/10=2$ y $40/20=2$: corresponde a $f(x)=5\cdot2^x$ si el primer valor se ubica en $x=0$. La división entre términos consecutivos solo se usa cuando el anterior no es cero; bajo $a>0$ y $b>0$, las salidas exponenciales siempre son positivas.

• Armar la fórmula desde un porcentaje: el factor de crecimientométodo

  Un porcentaje por período se traduce a la base $b$, que es el factor de multiplicación, no el porcentaje aislado. Para un aumento de $p\%$ con $p>0$, $b=1+\frac{p}{100}>1$. Un aumento del $8\%$ usa $b=1{,}08$, no $0{,}08$.

  Para una disminución con $0<p<100$, $b=1-\frac{p}{100}$ queda entre $0$ y $1$. Una baja del $25\%$ conserva el $75\%$ y usa $b=0{,}75$. Una baja del $100\%$ daría base $0$ y no pertenece a la familia exponencial real definida en esta lección. Con $a>0$, la fórmula es $f(x)=a\cdot b^x$. Por ejemplo, un capital inicial de $50000$ que aumenta $6\%$ mensual se modela con $C(x)=50000\cdot1{,}06^x$.

• Cómo se comporta el gráfico: dominio, imagen y asíntotaconcepto

  Como $b>0$, la potencia $b^x$ está definida para todo $x\in\mathbb{R}$: ese es el dominio. Como además $a>0$, se cumple $a\cdot b^x>0$ para toda entrada, y la imagen es $(0,+\infty)$. Estas conclusiones dependen de las condiciones declaradas; no valdrían igual con $a<0$.

  La curva pasa por $(0,a)$ porque $f(0)=a\cdot b^0=a$. La recta $y=0$ es una asíntota horizontal: los valores se acercan a cero sin alcanzarlo. Si $b>1$, ocurre cuando $x\to-\infty$; si $0<b<1$, cuando $x\to+\infty$. Como la imagen es positiva, la función no tiene raíces. Estas propiedades —positividad, sentido de variación y asíntota— quedan así respaldadas por $a>0$, $b>0$ y $b\neq1$.

Ejemplos resueltos

• Nos dan dos tablas y tenemos que decidir cuál es afín y cuál exponencial. Para $x=0,1,2,3$, la tabla A da $y=5,8,11,14$ y la B da $y=5,10,20,40$. En A las diferencias son siempre $+3$: es afín y su fórmula es $y=3x+5$ (no lineal estricta porque el valor inicial no es cero). En B las razones son siempre $2$: es exponencial de base $2$ y fórmula $y=5\cdot2^x$. Para $x=3$, $5\cdot2^3=40$, como indica la tabla.
• Ponés $50000$ pesos en un plazo fijo que rinde $6\%$ por mes, con interés compuesto (los intereses se suman al capital y también generan intereses). ¿Cuánto tenés después de $3$ meses? Paso 1. El $6\%$ mensual significa que cada mes multiplicás por $1{,}06$ (el $100\%$ que ya tenías más el $6\%$). La base es $1{,}06$ y el valor inicial es $50000$. La fórmula es $C(x) = 50000 \cdot 1{,}06^x$, con $x$ en meses. Paso 2. Queremos $C(3)$. Vamos mes a mes: mes $1$: $50000 \cdot 1{,}06 = 53000$. Mes $2$: $53000 \cdot 1{,}06 = 56180$. Mes $3$: $56180 \cdot 1{,}06 = 59550{,}8$. Paso 3. Después de $3$ meses tenés $59550{,}80$ pesos. Ojo con la trampa: si lo hubieras calculado como interés simple, $6\% \cdot 3 = 18\%$, te daría $50000 \cdot 1{,}18 = 59000$. El compuesto rinde más ($59550{,}80$) porque en cada paso los intereses también ganan intereses. Esa aceleración es la firma de lo exponencial.
• Un paciente recibe una dosis de $200$ mg de un medicamento. Cada hora, el cuerpo elimina el $25\%$ de lo que hay en sangre. Queda el $75\%$, así que la base es $0{,}75$ y el valor inicial $200$: $M(x)=200\cdot0{,}75^x$. Después de una hora quedan $150$ mg y después de dos, $112{,}5$ mg. Como $0<0{,}75<1$, la función decrece y se acerca a la recta $y=0$ sin alcanzarla; esa recta es la asíntota horizontal.

Errores comunes

• Tratar $2^x$ como si fuera $x^2$, o creer que crecen parecido.

  En $x^2$ la variable es la base y el exponente es fijo (es cuadrática); en $2^x$ la base es fija y la variable está en el exponente (es exponencial). No son la misma función ni crecen igual: en $x = 10$, $x^2 = 100$ pero $2^x = 1024$. La exponencial termina superando a cualquier potencia.

  Cómo corregirlo: Fijate dónde está la $x$. Si está en la base, es una potencia (cuadrática); si está en el exponente, es exponencial. Esa sola pregunta te dice de qué función se trata.

• Para un aumento del $8\%$, usar la base $0{,}08$ y multiplicar por ese número.

  Multiplicar por $0{,}08$ deja el número en un $8\%$ de lo que era, o sea lo achica muchísimo, en vez de aumentarlo un $8\%$. Un aumento del $8\%$ deja el $108\%$: hay que multiplicar por $1{,}08$.

  Cómo corregirlo: Para un aumento del $p\%$, la base es $1 + \frac{p}{100}$; para una baja del $p\%$, es $1 - \frac{p}{100}$. Un $8\%$ de aumento da base $1{,}08$; un $8\%$ de baja da base $0{,}92$.

• Calcular un crecimiento de varios períodos sumando el porcentaje, por ejemplo $6\%$ por mes durante $3$ meses igual a $18\%$.

  Eso es interés simple, no exponencial. En un proceso exponencial cada período multiplica sobre el resultado anterior, no sobre el valor inicial; por eso aparece la potencia $b^x$ y no una multiplicación $b \cdot x$.

  Cómo corregirlo: Multiplicá por la base tantas veces como períodos haya: usá $1{,}06^3$, no $1{,}06 \cdot 3$. La cantidad de veces que multiplicás va en el exponente.

• Pensar que la función exponencial corta el eje $x$ o que en algún momento vale cero.

  Una potencia de base positiva nunca da cero ni un número negativo. La curva se acerca al eje $x$ (asíntota $y = 0$) pero no lo toca; por eso la exponencial no tiene raíces.

  Cómo corregirlo: Recordá que la imagen son solo los valores positivos ($y > 0$). La curva se arrima al eje $x$ sin cruzarlo y corta el eje $y$ en el punto $(0,\ a)$.

• Escribir la fórmula como $f(x) = b^x$ olvidando el valor inicial $a$, o creer que toda exponencial pasa por $(0,\ 1)$.

  $b^x$ pasa por $(0,\ 1)$, pero si el proceso arranca en otro valor (un capital de $50000$, una dosis de $200$ mg), ese número es $a$ y la curva pasa por $(0,\ a)$. Olvidarlo te da un resultado enormemente más chico.

  Cómo corregirlo: Identificá siempre el valor inicial (lo que hay en $x = 0$) y ponelo como factor: $f(x) = a \cdot b^x$. Comprobá que $f(0) = a$.

En resumen