Función lineal

La idea

Qué vas a aprender

• Qué es una función lineal y por qué su gráfico es una rectaconcepto

  Adoptamos esta nomenclatura: una función lineal en sentido estricto tiene forma $f(x)=mx$ y expresa una proporcionalidad directa; una función afín tiene forma $f(x)=mx+b$, con $m$ y $b$ reales. Toda lineal estricta es un caso particular de afín con $b=0$, pero si $b\neq0$ la función es afín y no proporcional. Por ejemplo, $f(x)=2x$ es lineal estricta; $g(x)=2x+3$ es afín. Las dos tienen una recta no vertical como gráfico. El título heredado de la lección se conserva, aunque algunos materiales escolares llamen 'lineal' a toda la familia afín.

  ¿Por qué aparece una recta? Porque para pasos iguales de $x$, el valor de $y$ cambia siempre la misma cantidad. En $g(x)=2x+3$, para $x=0,1,2,3$ se obtiene $3,5,7,9$: la diferencia es siempre $2$. Ese ritmo constante alinea los puntos.

  Dos parámetros describen la función afín: $m$, el ritmo de cambio, y $b$, el valor inicial. Si $b=0$, queda $f(x)=mx$, pasa por $(0,0)$ y el cociente $f(x)/x=m$ es constante para $x\neq0$: ese es el caso proporcional. Si $m=0$, queda la función afín constante $f(x)=b$, cuyo gráfico es horizontal.

• La pendiente $m$: el ritmo de cambioconcepto

  La pendiente $m$ te dice cuánto cambia $y$ cada vez que $x$ aumenta en $1$, tanto en una función lineal estricta como en una afín. En $f(x)=2x+3$, la pendiente es $2$: cada paso de $x$ aumenta $y$ en $2$. Si un remís cobra $\$300$ por kilómetro, la pendiente de su costo es $300$.

  El signo de $m$ indica el sentido. Si $m>0$, la función es creciente; si $m<0$, decreciente; si $m=0$, la afín $f(x)=b$ es constante y su recta es horizontal. Geométricamente, $|m|$ mide la inclinación: cuanto mayor es, más empinada resulta la recta.

• La ordenada al origen $b$: dónde arrancaconcepto

  La ordenada al origen $b$ es el valor de la función afín cuando $x=0$; en símbolos, $b=f(0)$. Es el valor inicial. En un remís, representa la bajada de bandera: lo que pagás con $0$ km recorridos.

  En el gráfico, $b$ marca el corte con el eje $y$, el punto $(0,b)$. En $f(x)=2x+3$, la ordenada es $3$ y la recta pasa por $(0,3)$. En una función lineal estricta $f(x)=mx$, $b=0$ y la recta pasa por el origen: por eso describe proporcionalidad. Ojo con no confundir el corte con el eje $y$ con el cero de la función, que se obtiene donde $f(x)=0$.

• Calcular la pendiente a partir de dos puntosmétodo

  Si conocés dos puntos distintos de la recta, $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$, con $x_1\neq x_2$, la pendiente se calcula como la variación de $y$ dividida por la variación de $x$:

  $$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

  La condición $x_1\neq x_2$ evita dividir por cero y corresponde a una recta no vertical, la única que puede ser gráfico de una función de $x$. Si pasa por $(1,5)$ y $(3,11)$, $m=\frac{11-5}{3-1}=3$. Conservá el mismo orden en ambas restas: si arriba hacés segundo menos primero, abajo también.

• Armar la fórmula de una situación y graficarlamétodo

  Para modelar una situación con $f(x)=mx+b$, identificás el valor inicial $b=f(0)$ y el ritmo constante $m$. Una cuenta que arranca en $\$500$ y suma $\$200$ por mes se modela con la función afín $f(x)=200x+500$. Si no hubiera valor inicial y la cantidad fuera directamente proporcional, quedaría la lineal estricta $f(x)=mx$.

  Si tenés un punto y la pendiente, despejás $b=y-m\cdot x$. Para graficar, marcás $(0,b)$ y usás la pendiente como movimiento: avanzar $1$ en $x$ cambia $m$ en $y$. Con $f(x)=200x+500$ obtenés $(0,500)$, $(1,700)$ y $(2,900)$. El contexto puede restringir el dominio —por ejemplo, a meses no negativos— aunque la fórmula afín esté definida para todos los reales.

Ejemplos resueltos

• REMÍS (armar una función afín, evaluarla e interpretarla). Un remís cobra $\$800$ de bajada de bandera y $\$300$ por kilómetro. Con $0$ km ya pagás $b=800$ y cada km suma $m=300$, así que $f(x)=300x+800$. Como $b\neq0$, es afín y no una función lineal estricta ni una proporcionalidad. Para $6$ km, $f(6)=300\cdot6+800=2600$. La pendiente es el costo por kilómetro y la ordenada, el cobro inicial.
• DOS PUNTOS (encontrar la fórmula). Una recta pasa por los puntos $(2, 7)$ y $(5, 16)$. Encontrá su fórmula $f(x) = mx + b$. Solución. Paso 1, la pendiente: $m = \frac{16 - 7}{5 - 2} = \frac{9}{3} = 3$. Paso 2, la ordenada al origen: uso uno de los puntos, por ejemplo $(2, 7)$, y reemplazo en $y = mx + b$: $7 = 3 \cdot 2 + b$, o sea $7 = 6 + b$, y despejando $b = 1$. Paso 3, escribo la fórmula: $f(x) = 3x + 1$. Verifico con el otro punto: $f(5) = 3 \cdot 5 + 1 = 16$. Da bien, así que la fórmula es correcta.
• SALDO QUE BAJA (función afín con pendiente negativa). Cargás $\$500$ en una tarjeta y cada viaje descuenta $\$50$. El valor inicial es $b=500$ y el ritmo $m=-50$, por lo que $f(x)=-50x+500$, una función afín. Después de $7$ viajes, $f(7)=150$. Para hallar cuándo el saldo llega a cero resolvemos $-50x+500=0$ y obtenemos $x=10$. El dominio del contexto son cantidades enteras de viajes mientras el saldo sea utilizable.

Errores comunes

• Al ver $f(x) = 2x + 3$, dice que la pendiente es $3$ y la ordenada al origen $2$.

  Invierte los roles de los parámetros de una función afín. En $f(x)=mx+b$, la pendiente $m$ multiplica a la $x$ y la ordenada $b$ es el término independiente. En $2x+3$, $m=2$ y $b=3$.

  Cómo corregirlo: Fijate quién está 'pegado' a la $x$: ese es la pendiente $m$ (el ritmo). El número suelto, sin $x$ al lado, es la ordenada $b$ (el arranque). Chequeo rápido: calculá $f(0)$; tiene que darte $b$, porque al reemplazar $x = 0$ desaparece el término de la pendiente.

• Para la pendiente entre dos puntos calcula $\frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}$ (da vuelta la fracción) o resta en orden cruzado, por ejemplo $\frac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}$.

  La pendiente es variación de $y$ dividida por variación de $x$, en ese orden. Si la das vuelta, estás calculando otra cosa. Y si restás cruzado (un punto primero arriba y el otro primero abajo), le cambiás el signo al resultado y obtenés una pendiente con el signo equivocado.

  Cómo corregirlo: Escribí siempre $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$: arriba la resta de las $y$, abajo la de las $x$, y las dos empezando por el mismo punto. Si arriba hacés 'segundo menos primero', abajo también hacé 'segundo menos primero'.

• En una situación donde la cantidad baja (un saldo que se gasta, un tanque que se vacía) escribe la función con $m$ positivo, como $f(x) = 50x + 500$.

  Si al aumentar $x$ la magnitud disminuye, el ritmo de cambio es negativo. Con $m$ positivo la función crecería, que es justo lo contrario: el saldo aumentaría en vez de gastarse.

  Cómo corregirlo: Preguntate si al avanzar (más viajes, más días) el valor sube o baja. Si baja, la pendiente va con signo menos: $f(x) = -50x + 500$. Verificá con un caso concreto: después de $1$ viaje deben quedar $\$450$, no $\$550$.

• Cree que la ordenada al origen $b$ es el punto donde la recta corta el eje horizontal (el eje $x$).

  La ordenada al origen es el valor de la función cuando $x = 0$, y eso ubica el corte con el eje $y$ (el vertical), en el punto $(0, b)$. El corte con el eje $x$ ocurre en otro lugar, donde $f(x) = 0$, que en general no coincide con $b$.

  Cómo corregirlo: Acordate de que $b = f(0)$: reemplazás $x$ por $0$. Como el eje $y$ está formado por todos los puntos con $x = 0$, ahí es donde $b$ marca el corte. En $f(x) = 2x + 3$, la recta corta el eje $y$ en $(0, 3)$.

En resumen