Secundaria para Todos

Todavía sin progreso tuyo. Los estados que ves son el punto de partida de cualquiera, no una medición tuya. En cuanto practiques, esto pasa a mostrar tu dominio real.

La lección

Geometría analítica: puntos, rectas y circunferencias

Cada vez que un GPS calcula qué tan lejos estás de un lugar, o que una pantalla ubica dónde tocaste, hay geometría analítica funcionando: geometría resuelta con números en vez de regla y transportador.

La idea

La idea central, que se le ocurrió a René Descartes, es poner una cuadrícula sobre el plano para que cada punto tenga una dirección $(x,y)$ . Así, medir distancias, encontrar el centro de un segmento, cruzar dos rectas o describir una circunferencia deja de depender solo del dibujo: se resuelve con ecuaciones. La geometría analítica es el puente en el que las figuras se vuelven cuentas y las ecuaciones vuelven a dibujar figuras.

Qué vas a aprender

Puntos, distancia y punto medioconcepto
Los ejes perpendiculares $x$ e $y$ se cruzan en el origen $(0,0)$ y permiten ubicar cada punto con un par ordenado $(x,y)$ . El orden importa: $(3,-2)$ no es el mismo punto que $(-2,3)$ .
Entre $A(x_1,y_1)$ y $B(x_2,y_2)$ , las diferencias horizontal y vertical forman los catetos de un triángulo rectángulo. Por Pitágoras, $d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ . El punto medio se obtiene promediando coordenadas: $M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$ . Por ejemplo, entre $(0,0)$ y $(3,4)$ la distancia es 5; entre $(2,3)$ y $(8,7)$ el punto medio es $(5,5)$ .
La recta: pendiente y ecuaciónmétodo
Una recta no vertical puede escribirse como $y=mx+b$ : $m$ es la pendiente, o cambio vertical por cada unidad horizontal, y $b$ es la ordenada al origen. Si pasa por $A(x_1,y_1)$ y $B(x_2,y_2)$ , $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ ; las restas deben conservar el mismo orden. Después se reemplaza un punto en $y=mx+b$ para hallar $b$ .
Por ejemplo, para $(1,3)$ y $(4,9)$ : $m=\frac{9-3}{4-1}=2$ . Al reemplazar $(1,3)$ , $3=2\cdot1+b$ , de modo que $b=1$ y la recta es $y=2x+1$ . También es útil la forma general $Ax+By+C=0$ , sobre todo para intersecciones y distancias.
La circunferencia en coordenadasmétodo
Una circunferencia es el conjunto de puntos que están a una distancia fija $r$ de un centro $C(h,k)$ . Al aplicar la fórmula de distancia y elevar al cuadrado se obtiene su ecuación canónica: $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ .
Para leerla, prestá atención a los signos dentro de los paréntesis y a que el término derecho es el radio al cuadrado. En $(x-3)^2+(y+2)^2=25$ , el centro es $(3,-2)$ y el radio es $\sqrt{25}=5$ . Si el centro es el origen, la ecuación se simplifica a $x^2+y^2=r^2$ .
Intersecciones y distancia de un punto a una rectamétodo
El punto de intersección de dos rectas debe satisfacer ambas ecuaciones a la vez; por eso se encuentra resolviendo el sistema. Para $y=2x+1$ e $y=-x+7$ , igualamos: $2x+1=-x+7$ , de donde $x=2$ ; al reemplazar, $y=5$ . Se cruzan en $(2,5)$ . Si el sistema no tiene solución, las rectas son paralelas; si tiene infinitas, coinciden.
La distancia perpendicular desde $P(x_0,y_0)$ hasta la recta $Ax+By+C=0$ es $d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ . El valor absoluto asegura una distancia no negativa y el denominador normaliza los coeficientes de la recta. Desde el origen a $3x+4y-12=0$ : $d=\frac{|-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{12}{5}=2,4$ .
Rectas paralelas y perpendicularesconcepto
Dos rectas no verticales distintas son paralelas cuando tienen la misma pendiente y distinta ordenada al origen: $m_1=m_2$ y $b_1\neq b_2$ . Por ejemplo, $y=2x+1$ y $y=2x-5$ nunca se cruzan, porque suben exactamente igual pero cortan al eje $y$ en lugares distintos. Si también coinciden las ordenadas al origen, las dos ecuaciones representan la misma recta, no dos paralelas distintas. Las rectas verticales $x=k_1$ y $x=k_2$ también son paralelas cuando $k_1\neq k_2$ , aunque su pendiente no está definida.
Dos rectas no verticales son perpendiculares (se cortan formando un ángulo de $90°$ ) cuando el producto de sus pendientes es $-1$ : $m_1\cdot m_2=-1$ . En la práctica, eso significa que la pendiente de una es la inversa opuesta de la otra: das vuelta la fracción y le cambiás el signo. Si $m_1=2=\frac{2}{1}$ , entonces $m_2=-\frac{1}{2}$ , porque $2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$ . El caso especial es el par formado por una recta horizontal y una vertical: son perpendiculares, pero la vertical no tiene pendiente definida.

Ejemplos resueltos

Pensá el plano de una ciudad como una cuadrícula donde cada unidad es una cuadra de 100 m. Tu casa está en $A(2, 1)$ y la escuela en $B(8, 9)$ . Queremos la distancia en línea recta y el punto que queda justo a mitad de camino. Distancia: armo el triángulo rectángulo. El cateto horizontal mide $8 - 2 = 6$ y el vertical $9 - 1 = 8$ . Entonces $d = \sqrt{(8-2)^2 + (9-1)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ . Son 10 cuadras en línea recta, o sea unos 1000 m. Punto medio: promedio cada coordenada. $M = \left( \frac{2+8}{2}, \frac{1+9}{2} \right) = \left( \frac{10}{2}, \frac{10}{2} \right) = (5, 5)$ . El punto medio del recorrido cae en la esquina $(5, 5)$ .
Busco la ecuación de la recta que pasa por $P(-2, 1)$ y $Q(2, 9)$ . Paso 1 — pendiente. Restando en el mismo orden arriba y abajo (tomo $Q$ como punto 2 y $P$ como punto 1): $m = \frac{9 - 1}{2 - (-2)} = \frac{8}{4} = 2$ . Ojo con el $2 - (-2) = 4$ del denominador: restar un negativo suma. Paso 2 — ordenada al origen. Reemplazo un punto en $y = 2x + b$ . Uso $P(-2, 1)$ : $1 = 2 \cdot (-2) + b = -4 + b$ , así que $b = 5$ . Paso 3 — resultado y verificación. La recta es $y = 2x + 5$ . Compruebo con $Q$ : $2 \cdot 2 + 5 = 9$ , que es la $y$ de $Q$ . Correcto.
Tengo la recta $r: y = 3x - 4$ y quiero dos cosas: una recta paralela a $r$ que pase por $(0, 1)$ , y decidir si la recta $s: x + 3y = 6$ es perpendicular a $r$ . Paralela: tiene que tener la misma pendiente que $r$ , o sea $m = 3$ . Como además pasa por $(0, 1)$ , su ordenada al origen es $b = 1$ . La recta paralela es $y = 3x + 1$ . ¿ $s$ es perpendicular a $r$ ? Primero despejo $y$ en $s$ para leer su pendiente: $x + 3y = 6 \Rightarrow 3y = -x + 6 \Rightarrow y = -\frac{1}{3}x + 2$ . Su pendiente es $-\frac{1}{3}$ . Ahora multiplico las pendientes: $3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -1$ . Como el producto da $-1$ , sí: $r$ y $s$ son perpendiculares.
La ecuación $(x-3)^2+(y+2)^2=25$ tiene la forma $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ . Entonces $h=3$ , $k=-2$ y $r=\sqrt{25}=5$ : es una circunferencia de centro $(3,-2)$ y radio 5.
Para cruzar $y=2x+1$ con $y=-x+7$ , igualo sus expresiones: $2x+1=-x+7$ , así que $3x=6$ y $x=2$ ; luego $y=5$ . La intersección es $(2,5)$ . Para medir desde el origen hasta $3x+4y-12=0$ , uso $d=\frac{|3\cdot0+4\cdot0-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{12}{5}=2,4$ .

Errores comunes

Calcula la pendiente restando las coordenadas en un orden arriba y en el orden opuesto abajo.
Si hacés $m = \frac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}$ (mezclando quién va primero), el denominador te queda con el signo cambiado y la pendiente da la opuesta: en vez de $2$ te da $-2$ , y la recta "apunta" para el otro lado.
Cómo corregirlo: Elegí cuál punto es el 1 y cuál el 2, y respetá ese mismo orden arriba y abajo: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ . Si restás $y_2 - y_1$ , abajo va $x_2 - x_1$ .
Para la recta perpendicular usa $m_2 = -m_1$ (solo le cambia el signo a la pendiente).
La condición de perpendicularidad es $m_1 \cdot m_2 = -1$ , no $m_2 = -m_1$ . Con $m_1 = 2$ , poner $m_2 = -2$ da un producto de $-4$ , no $-1$ : esas rectas no forman $90°$ .
Cómo corregirlo: Tomá la inversa opuesta: dá vuelta la fracción y cambiale el signo. Con $m_1 = 2 = \frac{2}{1}$ , la perpendicular tiene $m_2 = -\frac{1}{2}$ , porque $2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$ .
Calcula la distancia como $d = (x_2 - x_1) + (y_2 - y_1)$ , sumando los catetos y sin sacar la raíz.
La distancia es la hipotenusa del triángulo, no la suma de los catetos. Con catetos 6 y 8 la suma daría 14, pero la hipotenusa real es $\sqrt{6^2+8^2}=10$ . Sumar los catetos siempre exagera la distancia.
Cómo corregirlo: Seguí siempre los tres pasos de Pitágoras: cuadrados, suma y recién ahí la raíz. $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ .
Calcula la distancia a $Ax+By+C=0$ usando solo $|Ax_0+By_0+C|$ y olvida dividir por $\sqrt{A^2+B^2}$ .
Multiplicar toda la ecuación de una recta por un número no cambia la recta, pero sí cambia ese numerador. Sin el denominador, dos ecuaciones equivalentes darían distancias diferentes.
Cómo corregirlo: Usá la fórmula completa $d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ . El valor absoluto evita signos negativos y el denominador hace que el resultado no dependa de cómo esté escalada la ecuación.
En $(x-3)^2+(y+2)^2=25$ toma el centro como $(-3,2)$ o el radio como 25.
La forma es $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ : los signos del centro se leen al resolver cada paréntesis igual a cero, y el término derecho es el cuadrado del radio.
Cómo corregirlo: Compará término por término: $x-3=x-h$ da $h=3$ ; $y+2=y-(-2)$ da $k=-2$ ; y $r=\sqrt{25}=5$ . Verificá que el centro haga cero ambos cuadrados.

En resumen

La geometría analítica traduce figuras a ecuaciones. Con coordenadas calculás distancia y punto medio; con pendiente y ecuaciones describís rectas, distinguís paralelas de coincidentes, analizás perpendicularidad y hallás intersecciones. La forma $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ identifica una circunferencia de centro $(h,k)$ y radio $r$ . Para medir desde $P(x_0,y_0)$ hasta $Ax+By+C=0$ , usás $d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ .