Teorema de Pitágoras

La idea

Qué vas a aprender

• El triángulo rectángulo: catetos e hipotenusaconcepto

  Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de $90°$ (ese que se marca con un cuadradito). Como ya viste en ángulos y triángulos, los tres ángulos de un triángulo suman $180°$, así que si uno mide $90°$, los otros dos son agudos y no puede haber dos rectos en el mismo triángulo.

  Los lados tienen nombres propios según su posición. Los dos lados que forman el ángulo recto se llaman catetos. El lado que queda enfrentado al ángulo recto se llama hipotenusa, y siempre es el lado más largo de los tres. Esto último es clave y te va a servir de control: si en un problema la hipotenusa te queda más corta que un cateto, algo salió mal. La fórmula directa de Pitágoras se usa para calcular lados cuando el triángulo ya está identificado como rectángulo; no alcanza con que el dibujo lo parezca. Más adelante, el recíproco permitirá hacer el camino inverso: comprobar a partir de los tres lados si efectivamente hay un ángulo de $90°$.

• El enunciado: $a^2 + b^2 = c^2$concepto

  El teorema de Pitágoras dice que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Si llamamos $a$ y $b$ a los catetos y $c$ a la hipotenusa, se escribe así: $a^2+b^2=c^2$. Fijate que la hipotenusa ($c$) va siempre sola de un lado del igual, elevada al cuadrado: es la protagonista de la fórmula.

  ¿Por qué aparecen los cuadrados? Porque si construís un cuadrado apoyado sobre cada lado, el área del cuadrado grande (el de la hipotenusa) equivale a las áreas de los dos cuadrados de los catetos juntas. Esa imagen se puede justificar por reacomodo. Construí un cuadrado exterior de lado $a+b$ y ubicá dentro cuatro copias del triángulo rectángulo. El hueco central tiene cuatro lados de longitud $c$; además, cada ángulo interior mide $90^\circ$ porque los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios. Por lo tanto, el hueco es un cuadrado de lado $c$. El área total se puede calcular como $(a+b)^2$ o como cuatro triángulos más el cuadrado central: $4\cdot\frac{ab}{2}+c^2=2ab+c^2$. Al igualar y desarrollar, $a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$; al restar $2ab$ de ambos lados queda $a^2+b^2=c^2$. La fórmula no es una regla aislada: expresa una igualdad de áreas.

  El caso más famoso es el triángulo de lados $3$, $4$ y $5$: por un lado $3^2+4^2=9+16=25$, y por el otro $5^2=25$. Los dos lados de la igualdad dan $25$, así que se cumple y, por el recíproco del teorema, confirma que ese triángulo es rectángulo.

• Calcular la hipotenusa a partir de los dos catetosmétodo

  Cuando conocés los dos catetos y querés la hipotenusa, despejás $c$ de la fórmula. Como $c^2=a^2+b^2$, entonces $c=\sqrt{a^2+b^2}$. El procedimiento son tres pasos: elevá al cuadrado cada cateto, sumá los dos resultados y sacá la raíz cuadrada de esa suma.

  Por ejemplo, con catetos de $6$ y $8$: primero $6^2=36$ y $8^2=64$; después $36+64=100$; y por último $c=\sqrt{100}=10$. La hipotenusa mide $10$. No te saltees el paso final: la suma ($100$) es $c^2$, no $c$; el valor del lado aparece recién al sacar la raíz.

  Si la raíz no es exacta, conservá primero la forma exacta y aproximá solo cuando el contexto lo pida. Para $c=\sqrt{50}$, como $7^2=49<50<64=8^2$, sabés que $7<c<8$; con calculadora, $c\approx7{,}071$, o $7{,}07$ redondeado a centésimos. Redondeá al final para no acumular error. Dos controles de plausibilidad ayudan: la hipotenusa debe ser mayor que cada cateto y menor que la suma de ambos. Además, al elevar el valor aproximado al cuadrado tiene que quedar cerca de $a^2+b^2$.

• Calcular un cateto a partir de la hipotenusa y el otro catetométodo

  Cuando el dato es la hipotenusa junto con uno de los catetos, y lo que buscás es el otro cateto, también partís de $a^2+b^2=c^2$, pero ahora despejás un cateto. Pasás el cateto conocido restando: $b^2=c^2-a^2$, y entonces $b=\sqrt{c^2-a^2}$. Acá se resta, no se suma, y hay una razón concreta: la hipotenusa es el lado más grande, así que su cuadrado va primero y al cuadrado del cateto conocido lo restás.

  Por ejemplo, si la hipotenusa mide $13$ y un cateto mide $5$: $b^2=13^2-5^2=169-25=144$, y $b=\sqrt{144}=12$. El otro cateto mide $12$. Una forma de no equivocarte: el número más grande al cuadrado ($c^2$) siempre va adelante del menos. Si $c^2-a^2$ diera cero o un número negativo, los datos no formarían un triángulo rectángulo no degenerado. Si la raíz no es exacta, mantenela indicada, aproximá al final y controlá que el cateto obtenido sea positivo y menor que la hipotenusa.

• Usar el teorema al revés: verificar si un triángulo es rectángulométodo

  El teorema también funciona en el otro sentido, y a eso se lo llama su recíproco: si en un triángulo los tres lados cumplen $a^2+b^2=c^2$ (tomando como $c$ al lado más largo), entonces ese triángulo es rectángulo. Sirve para decidir, con solo medir los lados, si una esquina forma un ángulo recto, sin necesidad de transportador.

  Para aplicarlo, identificá el lado más largo, elevalo al cuadrado y comparalo con la suma de los cuadrados de los otros dos. Si dan lo mismo, es rectángulo; si no, no lo es. Con lados $9$, $12$ y $15$: $9^2+12^2=81+144=225$ y $15^2=225$, coinciden, así que es rectángulo. En cambio con lados $6$, $8$ y $11$: $6^2+8^2=36+64=100$ pero $11^2=121$, y como $100\neq121$, ese triángulo no es rectángulo. Esta idea es la base del truco del $3$-$4$-$5$ que usan los albañiles para levantar paredes en escuadra.

  Con datos matemáticos exactos se exige igualdad exacta. En una medición real, en cambio, las longitudes suelen venir redondeadas: una diferencia pequeña puede deberse al margen del instrumento. En ese caso se comparan los cuadrados teniendo en cuenta la precisión declarada, sin convertir automáticamente un valor aproximado en una igualdad exacta.

Ejemplos resueltos

• Calculemos la diagonal de un terreno rectangular de $80$ m de largo por $60$ m de ancho, o sea lo que camina alguien que lo cruza de esquina a esquina. Paso 1. La diagonal parte el rectángulo en dos triángulos rectángulos: los dos lados del terreno son los catetos y la diagonal es la hipotenusa (queda frente al ángulo recto de la esquina). Paso 2. Planteamos Pitágoras con $a = 80$ y $b = 60$: $c^2 = 80^2 + 60^2 = 6400 + 3600 = 10000$. Paso 3. Como buscamos $c$ y no $c^2$, sacamos la raíz: $c = \sqrt{10000} = 100$. La diagonal mide $100$ m. Notá que cruzar en diagonal ($100$ m) es bastante menos que bordear dos lados ($80 + 60 = 140$ m).
• Una escalera de $5$ m está apoyada contra una pared y su base quedó a $3$ m del pie de la pared. ¿A qué altura toca la pared? Paso 1. La escalera es la hipotenusa (el lado más largo, frente al ángulo recto que forman la pared y el piso). La distancia al pie ($3$ m) es un cateto y la altura buscada es el otro cateto. Paso 2. Como conocemos la hipotenusa y un cateto, despejamos el otro restando: $b^2 = c^2 - a^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$. Paso 3. Sacamos la raíz: $b = \sqrt{16} = 4$. La escalera llega a $4$ m de altura. Fijate que restamos porque la hipotenusa ($5$) es el lado más grande: su cuadrado va primero y al cuadrado del cateto conocido lo restamos.
• Un albañil quiere que la esquina de un contrapiso quede en ángulo recto y usa el truco del $3$-$4$-$5$. Marca $3$ m sobre una pared y $4$ m sobre la otra, y después mide la distancia entre las dos marcas. ¿Qué tiene que dar para que la esquina sea recta? Paso 1. Si la esquina fuera recta, esos dos tramos serían los catetos ($3$ y $4$) y la distancia entre las marcas sería la hipotenusa. Paso 2. Calculamos cuánto debería medir esa hipotenusa: $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Paso 3. En el modelo exacto, la distancia entre las marcas debe ser $5$ m. En la obra se compara la medición con esos $5$ m teniendo en cuenta la precisión de la cinta; una diferencia mayor que ese margen indica que hay que corregir la esquina. Esto es el teorema usado al revés (su recíproco): si los tres lados cumplen $a^2 + b^2 = c^2$, el triángulo es rectángulo. Por eso el $3$-$4$-$5$ es la regla de oro de cualquier obra.
• Un rectángulo mide $5\ \text{m}$ por $7\ \text{m}$. Su diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo: $d=\sqrt{5^2+7^2}=\sqrt{74}\ \text{m}$. Como $8^2=64<74<81=9^2$, la diagonal está entre $8$ y $9$ m; con calculadora, $d\approx8{,}60\ \text{m}$. Control: es mayor que el cateto más largo ($7$) y menor que $5+7=12$. Además, $8{,}60^2=73{,}96$, muy cerca de $74$; la pequeña diferencia viene del redondeo.

Errores comunes

• Usa la fórmula $a^2 + b^2 = c^2$ en un triángulo que no tiene ángulo recto.

  El teorema vale únicamente para triángulos rectángulos. En un triángulo sin ángulo de $90°$ la relación entre los cuadrados de los lados no se cumple, así que la cuenta arroja un número sin sentido geométrico.

  Cómo corregirlo: Antes de escribir la fórmula, confirmá que el triángulo tenga un ángulo recto (el cuadradito de $90°$). Si no lo tiene, Pitágoras no se aplica y hay que usar otra herramienta.

• Para hallar un cateto conociendo la hipotenusa, suma los cuadrados en lugar de restarlos: hace $\sqrt{c^2 + a^2}$.

  Sumar los cuadrados solo sirve para hallar la hipotenusa, que es el lado más grande. Si ya tenés la hipotenusa y buscás un cateto, el cateto es más chico que ella, así que hay que restar: $b^2 = c^2 - a^2$. Sumando obtendrías un lado más largo que la hipotenusa, algo imposible.

  Cómo corregirlo: Identificá primero la hipotenusa (el lado más largo, frente al ángulo recto). Si es un dato, despejás el cateto restando: $b = \sqrt{c^2 - a^2}$. Solo sumás cuando la incógnita es la hipotenusa.

• Contesta que la hipotenusa es $25$ cuando en realidad calculó $c^2 = 3^2 + 4^2 = 25$.

  El $25$ es el valor de $c^2$, no de $c$. La fórmula te da el cuadrado del lado; el lado en sí aparece recién al sacar la raíz. Confundir $c^2$ con $c$ deja el resultado enormemente inflado.

  Cómo corregirlo: Acordate del último paso: después de sumar (o restar) los cuadrados, siempre sacá la raíz. Acá $c = \sqrt{25} = 5$. Podés comprobarlo elevando: $5^2 = 25$.

• Resuelve $\sqrt{9 + 16}$ como $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.

  La raíz no se reparte entre los términos de una suma. Hay que resolver primero lo de adentro y después sacar la raíz del total; separarla da un resultado más grande y equivocado.

  Cómo corregirlo: Primero sumá lo que está dentro de la raíz y después radicá el total: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, no $7$.

• Redondea una raíz en pasos intermedios o acepta un decimal sin revisar si es compatible con los lados.

  Redondear antes de terminar acumula error, y un número de calculadora puede venir de un planteo equivocado. La hipotenusa debe ser el lado más largo y el cuadrado del valor aproximado debe quedar cerca de la suma calculada.

  Cómo corregirlo: Conservá la raíz exacta hasta el final, acotala entre cuadrados conocidos y redondeá a la precisión pedida. Después verificá tamaño y sustitución aproximada en $a^2+b^2=c^2$.

En resumen