Inecuaciones

La idea

Qué vas a aprender

• Qué es una inecuación y qué significa resolverlaconcepto

  Una inecuación es una desigualdad con incógnita y usa $<$, $>$, $\leq$ o $\geq$. Resolverla significa hallar, dentro del conjunto de trabajo declarado, todos los valores que la hacen verdadera.

  Por ejemplo, $2x+1>7$ equivale a $x>3$, de modo que en $\mathbb{R}$ su conjunto solución es el intervalo $(3,+\infty)$. Con $x=4$ la desigualdad es verdadera y con $x=2$, falsa. En el caso no degenerado de primer grado suele quedar un semieje, pero también puede resultar todo el universo o el conjunto vacío si la variable se cancela. Por eso la respuesta siempre se expresa como conjunto, no como un único número.

• Operaciones que conservan el sentido de la desigualdadmétodo

  Para despejar la $x$ usás casi las mismas herramientas que en una ecuación, y hay dos movimientos que nunca cambian el sentido de la desigualdad.

  El primero: sumar o restar el mismo número a los dos lados. De $x + 4 < 10$, restando $4$ en ambos lados, queda $x < 6$; el signo $<$ sigue igual. El segundo: multiplicar o dividir los dos lados por un número positivo. De $3x \leq 12$, dividiendo por $3$ (que es positivo), queda $x \leq 4$; de nuevo, el signo se mantiene.

  Mientras trabajes solo con estos movimientos, la desigualdad viaja intacta de un paso al siguiente.

• La regla de oro: dividir o multiplicar por un negativo da vuelta el signoconcepto

  Hay una única operación que obliga a dar vuelta el signo: multiplicar o dividir los dos lados por un número negativo.

  Mirá por qué. Arrancá de algo verdadero: $2 < 5$. Si multiplicás los dos lados por $-1$, obtenés $-2$ y $-5$. ¿Es cierto que $-2 < -5$? No: en la recta, $-2$ está a la derecha de $-5$, así que $-2 > -5$. El orden se dio vuelta. Por eso, al multiplicar (o dividir) por un negativo, tenés que invertir el signo: $<$ se vuelve $>$, y $\leq$ se vuelve $\geq$ (y al revés).

  En la práctica: de $-x < 3$, multiplicando por $-1$, queda $x > -3$. De $-2x \geq 8$, dividiendo por $-2$, queda $x \leq -4$. Esta es la regla que más se olvida, y la que más errores causa en todo el tema.

• Resolver una inecuación de primer grado paso a pasométodo

  El método es el de las ecuaciones, con un cuidado extra. Llevá los términos con $x$ a un lado y los números al otro hasta obtener algo como $ax\leq b$. Si $a>0$, dividís sin cambiar el signo; si $a<0$, dividís e invertís la desigualdad.

  Para $5x-3\leq2x+9$, queda $3x\leq12$ y luego $x\leq4$. Si la variable se cancela, no se divide por cero: se decide si la desigualdad numérica final es siempre verdadera o falsa. $2(x+1)<2x+5$ se reduce a $2<5$, así que todo el conjunto de trabajo es solución. En cambio, $3(x-1)\geq3x+2$ se reduce a $-3\geq2$, que es falso, y la solución es $\varnothing$.

• Expresar la solución: intervalo y recta numéricamétodo

  El resultado se escribe como intervalo y se dibuja en la recta numérica. Lo único que hay que decidir es si el valor del extremo entra o no.

  Si el signo es $\leq$ o $\geq$, el extremo está incluido: usás corchete y punto lleno. Por ejemplo, $x \leq 4$ es el intervalo $(-\infty, 4]$, con un punto lleno sobre el $4$ y una flecha hacia la izquierda. Si el signo es $<$ o $>$, el extremo no entra: usás paréntesis y punto vacío. Así, $x < 4$ es $(-\infty, 4)$, con un punto vacío sobre el $4$.

  El infinito lleva siempre paréntesis, porque nunca es un número que se alcance. Un truco para no equivocarte: probá el valor del extremo en la inecuación original; si la hace verdadera, va incluido.

Ejemplos resueltos

• Resolvamos $5x - 3 \leq 2x + 9$ y expresemos la solución. Paso 1: restamos $2x$ en los dos lados para juntar las $x$: $5x - 2x - 3 \leq 9$, o sea $3x - 3 \leq 9$. Paso 2: sumamos $3$ en los dos lados: $3x \leq 12$. Paso 3: dividimos por $3$; como $3$ es positivo, el signo se mantiene: $x \leq 4$. Como intervalo: $(-\infty, 4]$. En la recta: punto lleno en $4$ (porque el $4$ entra) y flecha hacia la izquierda. Verificación: con $x = 4$, $5\cdot 4 - 3 = 17$ y $2\cdot 4 + 9 = 17$, y $17 \leq 17$ es verdadero. Con $x = 5$, $22 \leq 19$ es falso, y efectivamente $5$ no está en la solución.
• Resolvamos $4 - 3x < 19$, que tiene un coeficiente negativo. Paso 1: restamos $4$ en los dos lados: $-3x < 15$. Paso 2: dividimos por $-3$. Ojo: como $-3$ es negativo, invertimos el signo: $x > -5$. Como intervalo: $(-5, +\infty)$. En la recta: punto vacío en $-5$ (no entra, porque el signo es $>$) y flecha hacia la derecha. Verificación: con $x = 0$, $4 - 0 = 4 < 19$ es verdadero, y $0 > -5$. Con $x = -6$, $4 - 3\cdot(-6) = 4 + 18 = 22$, y $22 < 19$ es falso; efectivamente $-6$ no está en la solución porque $-6 < -5$.
• Un problema real. Tenés $\$10000$ y querés comprar un cuaderno de $\$2500$ y algunas lapiceras de $\$1200$ cada una. ¿Cuántas lapiceras podés llevar como máximo? Si $x$ es la cantidad de lapiceras, el gasto es $2500 + 1200x$, y tiene que alcanzar con lo que tenés: $2500 + 1200x \leq 10000$. Paso 1: restamos $2500$: $1200x \leq 7500$. Paso 2: dividimos por $1200$ (positivo): $x \leq 6{,}25$. La inecuación da $x \leq 6{,}25$, pero las lapiceras se cuentan de a una, así que el máximo entero posible es $6$. Comprobación: $2500 + 1200\cdot 6 = 9700 \leq 10000$, mientras que con $7$ daría $2500 + 1200\cdot 7 = 10900$, que se pasa.

Errores comunes

• Divide o multiplica por un número negativo y deja el signo de la desigualdad como estaba.

  Multiplicar o dividir por un negativo da vuelta el orden de los números (así como $2 < 5$ pasa a $-2 > -5$). Si no invertís el signo, la solución queda al revés: te da el intervalo opuesto al correcto.

  Cómo corregirlo: Cada vez que dividas o multipliques los dos lados por un número negativo, invertí el signo ($<$ pasa a $>$, $\leq$ pasa a $\geq$, y al revés). Por ejemplo, de $-3x < 15$ se llega a $x > -5$, no a $x < -5$. Verificá siempre con un valor del intervalo.

• Da como respuesta un único valor, como si fuera una ecuación (por ejemplo, $x = 4$).

  Una inecuación casi nunca se cumple para un solo número, sino para todo un tramo. Responder $x = 4$ deja afuera infinitas soluciones válidas, como $x = 3$ o $x = 0$.

  Cómo corregirlo: La respuesta a una desigualdad es un conjunto: escribí $x \leq 4$ o el intervalo $(-\infty, 4]$, no $x = 4$. Pensá siempre en 'todos los valores tales que...'.

• Usa corchete o punto lleno cuando el signo es $<$ o $>$ (o paréntesis cuando es $\leq$ o $\geq$).

  Los signos $<$ y $>$ no incluyen el valor del extremo, y $\leq$, $\geq$ sí lo incluyen. Confundirlos cambia el conjunto solución justo en ese punto de borde.

  Cómo corregirlo: Regla: $\leq$ y $\geq$ significan que el extremo entra (corchete, punto lleno); $<$ y $>$ que no entra (paréntesis, punto vacío). El infinito lleva siempre paréntesis. Ante la duda, probá el valor del extremo en la inecuación original.

• Invierte el signo de la desigualdad al pasar un término sumando o restando.

  Sumar o restar el mismo número a los dos lados nunca cambia el orden; solo multiplicar o dividir por un negativo lo hace. Invertir de más lleva a un resultado equivocado.

  Cómo corregirlo: Separá los dos movimientos: pasar términos de un lado a otro (sumar o restar) deja el signo intacto; solo se invierte cuando dividís o multiplicás por un negativo. De $x + 5 < 3$ se obtiene $x < -2$, con el mismo signo.

En resumen