Intervalos en R

La idea

Qué vas a aprender

• Qué es un intervaloconcepto

  Un intervalo es un subconjunto de los números reales formado por todos los que están entre dos valores fijos, llamados extremos. Si los extremos son $a$ y $b$ (con $a < b$), el intervalo es el tramo de la recta que va de $a$ a $b$, sin saltos ni agujeros.

  Lo importante es que un intervalo tiene infinitos números, no solo los "redondos". Entre $2$ y $5$ no están únicamente el $3$ y el $4$: también están $2{,}5$, $3{,}14$, $\pi$, $4{,}99$ y muchísimos más. Por eso los intervalos son la forma natural de describir cantidades continuas —temperaturas, pesos, precios, longitudes—, donde entre dos valores posibles siempre hay otro en el medio.

• Cerrado, abierto y semiabierto: qué dicen los corchetesconcepto

  Lo único que cambia de un intervalo a otro es si cada extremo entra o no, y eso se marca con el tipo de signo. En el intervalo cerrado $[a,b]$ entran los dos extremos: el corchete "agarra" el número. En el intervalo abierto $(a,b)$ no entra ninguno de los dos: el paréntesis los "deja afuera". Y en los semiabiertos $[a,b)$ y $(a,b]$ entra uno y el otro no.

  Una regla para no dudar: corchete = cerrado = el extremo SÍ pertenece; paréntesis = abierto = el extremo NO pertenece. Por ejemplo, la temperatura recomendada para una heladera va de $2$ a $8$ grados, incluidos: es $[2,8]$. En cambio, "entre $2$ y $8$ pero sin llegar a esos valores" sería $(2,8)$.

  (Un detalle argentino: como acá la coma es el separador decimal, algunos libros separan los extremos con punto y coma, escribiendo $[2;8]$. Nosotros usamos la coma, pero teniendo claro que $[2,8]$ significa "del 2 al 8", no el número dos coma ocho.)

• Traducir entre desigualdad, intervalo y notación de conjuntométodo

  Un mismo intervalo se puede escribir de tres formas equivalentes, y conviene pasar de una a otra con soltura. La notación de conjunto lo dice explícito: $[a,b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}$, que se lee "todos los $x$ reales tales que $x$ está entre $a$ y $b$, incluidos".

  La clave para no equivocarse está en el tipo de desigualdad: los signos con rayita $\leq$ y $\geq$ ("menor o igual", "mayor o igual") incluyen el extremo, así que van con corchete; los signos estrictos $<$ y $>$ lo excluyen, así que van con paréntesis. La correspondencia completa es: $a \leq x \leq b$ es $[a,b]$; $a < x < b$ es $(a,b)$; $a \leq x < b$ es $[a,b)$; y $a < x \leq b$ es $(a,b]$.

  Por ejemplo, la condición $-3 \leq x < 4$ se escribe como intervalo $[-3,4)$, o en conjunto $\{x \in \mathbb{R} : -3 \leq x < 4\}$: el $-3$ entra (corchete) y el $4$ no (paréntesis).

• Intervalos infinitos: cuando no hay topeconcepto

  A veces una condición no tiene límite de un lado. "Ganar más de 50000 pesos" no tiene tope superior; "medir menos de $2$ metros" no tiene tope inferior útil. Para esos casos se usan los símbolos $+\infty$ (más infinito) y $-\infty$ (menos infinito), que representan "seguir sin fin" hacia la derecha o hacia la izquierda de la recta.

  Los intervalos infinitos se escriben así: $(a, +\infty)$ son todos los mayores que $a$, es decir $\{x \in \mathbb{R} : x > a\}$; $[a, +\infty)$ son los mayores o iguales que $a$; $(-\infty, b)$ son los menores que $b$; y $(-\infty, b]$ los menores o iguales que $b$. Y toda la recta es $\mathbb{R} = (-\infty, +\infty)$.

  Hay una regla que no se rompe nunca: el infinito NO es un número, no se puede alcanzar, así que jamás se incluye. Del lado del $+\infty$ o del $-\infty$ siempre va paréntesis, nunca corchete. Escribir $[3, +\infty]$ está mal; lo correcto es $[3, +\infty)$.

• Representar, medir y combinar intervalosmétodo

  Para dibujar un intervalo se marca cada extremo con una bolita: llena cuando pertenece y vacía cuando no. En $[2,5)$ hay bolita llena en 2, vacía en 5 y se pinta el tramo. Si el intervalo finito va de $a$ a $b$, su amplitud o largo es $b-a$; incluir o no los extremos no cambia esa distancia.

  Un intervalo real contiene infinitos números, pero puede preguntarse cuántos enteros pertenecen a él. Si el intervalo es acotado, primero decidí si cada extremo entra y buscá el primer y el último entero admitidos; si no aparece ninguno, la cantidad es $0$. En $(-1,4]$, los enteros son $0,1,2,3,4$, en total $5$. Una semirrecta no vacía contiene infinitos enteros porque se prolonga sin límite hacia uno de los lados. Este conteo describe solo el subconjunto de enteros, no todos los reales del intervalo.

  Como los intervalos son conjuntos, pueden combinarse. La intersección $I\cap J$ contiene los números que están en ambos; la unión $I\cup J$, los que están en al menos uno. El complemento en $\mathbb R$ contiene todo lo que queda afuera. Por ejemplo, $[1,6]\cap[4,9]=[4,6]$, mientras que el complemento de $[2,7)$ es $(-\infty,2)\cup[7,+\infty)$. En cada extremo se revisa nuevamente si pertenece.

Ejemplos resueltos

• El agua, a presión normal, se mantiene líquida para temperaturas mayores que $0$ °C y menores que $100$ °C (en $0$ se congela y en $100$ hierve). Escribamos ese conjunto de temperaturas de las tres formas. Paso 1 — Desigualdad: la temperatura $t$ cumple $0 < t < 100$. Paso 2 — ¿Entran los extremos? El enunciado dice "mayores que $0$" y "menores que $100$": ninguno de los dos entra. Los dos signos son estrictos ($<$), así que ambos extremos van con paréntesis. Paso 3 — Intervalo: $(0, 100)$. En notación de conjunto: $\{t \in \mathbb{R} : 0 < t < 100\}$. Paso 4 — Recta: bolita vacía en el $0$, bolita vacía en el $100$, y todo el tramo entre ambas pintado.
• Escribamos como intervalo y representemos la condición $-2 \leq x < 3$. Paso 1 — Extremo izquierdo: el $-2$ tiene el signo $\leq$ (con rayita), o sea que está incluido, así que le corresponde corchete. Paso 2 — Extremo derecho: el $3$ tiene el signo $<$ (estricto), o sea que no está incluido, así que le corresponde paréntesis. Paso 3 — Intervalo: $[-2, 3)$. En conjunto: $\{x \in \mathbb{R} : -2 \leq x < 3\}$. Paso 4 — Recta: bolita llena en el $-2$, bolita vacía en el $3$, y el tramo entre ambas pintado.
• Para anotarse en una carrera de calle, el reglamento exige tener $16$ años o más. Escribamos las edades admitidas. Paso 1 — Desigualdad: la edad $e$ cumple $e \geq 16$. Paso 2 — Extremo inferior: "$16$ o más" incluye al $16$, el signo es $\geq$, así que va corchete en el $16$. Paso 3 — Extremo superior: no hay tope, la edad puede crecer sin fin, así que usamos $+\infty$, y el infinito siempre va con paréntesis. Paso 4 — Intervalo: $[16, +\infty)$. En conjunto: $\{e \in \mathbb{R} : e \geq 16\}$. Paso 5 — Recta: bolita llena en el $16$ y una flecha pintada que se va hacia la derecha sin fin.
• Interpretemos qué números describe el intervalo $(-\infty, 4]$. Paso 1 — Lado izquierdo: arranca en $-\infty$ con paréntesis, o sea que no hay límite inferior: incluye números tan chicos como quieras. Paso 2 — Lado derecho: termina en $4$ con corchete, así que el $4$ SÍ entra. Paso 3 — En símbolos y en palabras: son todos los reales menores o iguales a $4$, es decir $x \leq 4$, o $\{x \in \mathbb{R} : x \leq 4\}$. Paso 4 — Recta: bolita llena en el $4$ y una flecha pintada hacia la izquierda sin fin.
• Operemos con $I=[-1,5]$ y $J=(3,8)$. La intersección toma lo común: empieza después de 3 y termina en 5 incluido, así que $I\cap J=(3,5]$. La unión reúne lo cubierto por cualquiera de los dos: $I\cup J=[-1,8)$.
• Busquemos el complemento de $[2,7)$. El 2 pertenece al intervalo original, así que queda afuera del complemento; el 7 no pertenece al original, así que sí entra. Resultado: $(-\infty,2)\cup[7,+\infty)$.
• Contemos los enteros de $[-3,2)$. El corchete incluye $-3$ y el paréntesis excluye $2$, así que el primer entero admitido es $-3$ y el último es $1$. La lista es $-3,-2,-1,0,1$: hay $5$ enteros. El intervalo, sin embargo, contiene infinitos números reales entre esos valores.

Errores comunes

• Poner corchete donde la desigualdad es estricta (o paréntesis donde es "o igual").

  El corchete significa que el extremo pertenece al intervalo, pero un signo estricto $<$ o $>$ justamente excluye ese valor. Traducir $2 < x \leq 7$ como $[2,7]$ es incorrecto: el $2$ no forma parte del conjunto.

  Cómo corregirlo: Fijate en la rayita: $\leq$ y $\geq$ (con rayita, "o igual") incluyen el extremo, van con corchete; $<$ y $>$ (sin rayita, estrictos) lo excluyen, van con paréntesis. Ese $2 < x \leq 7$ es $(2,7]$.

• Cerrar el intervalo del lado del infinito, escribiendo $[3,+\infty]$ o $[-\infty,5]$.

  El infinito no es un número, no se puede alcanzar ni incluir. Ponerle corchete afirma que "llegás" a un número infinito, que no existe.

  Cómo corregirlo: Del lado de $+\infty$ o de $-\infty$ va SIEMPRE paréntesis. Lo correcto es $[3, +\infty)$ y $(-\infty, 5]$.

• Creer que un intervalo tiene solo los enteros que quedan adentro (que $[2,5]$ es $2, 3, 4, 5$).

  Un intervalo en $\mathbb{R}$ contiene TODOS los reales del tramo, que son infinitos: entre $2$ y $5$ también están $2{,}5$, $\pi$, $\sqrt{20}$, $4{,}999$... La recta real no tiene huecos.

  Cómo corregirlo: Pensá el intervalo como un segmento continuo. Si preguntan por todos sus números reales, son infinitos; solo armá una lista finita cuando el enunciado pida explícitamente los enteros que pertenecen.

• Escribir el extremo mayor primero, como $[5,2]$ en lugar de $[2,5]$.

  La notación de intervalo va siempre del menor al mayor: el primer número es el extremo izquierdo de la recta y el segundo el derecho. $[5,2]$ no describe ningún tramo, porque no hay reales que sean a la vez $\geq 5$ y $\leq 2$.

  Cómo corregirlo: Ubicá primero cuál de los dos valores es más chico y ponelo a la izquierda: siempre $[a,b]$ con $a < b$.

• Toma como intersección todo lo cubierto por cualquiera de los intervalos, o como unión solamente la parte común.

  La intersección exige pertenecer a los dos conjuntos a la vez; la unión alcanza con pertenecer a uno de ellos.

  Cómo corregirlo: Para la intersección pintá solo la superposición. Para la unión reuní todas las zonas pintadas y revisá por separado la inclusión de cada extremo.

En resumen