Secundaria para Todos

Todavía sin progreso tuyo. Los estados que ves son el punto de partida de cualquiera, no una medición tuya. En cuanto practiques, esto pasa a mostrar tu dominio real.

La lección

Lenguaje algebraico: escribir con letras y hallar el valor de una expresión

Toda fórmula que vas a usar de acá en adelante —el perímetro de una figura, el precio de un plan de celular, el costo de un remis— está escrita con letras. El lenguaje algebraico es esa forma de escribir una regla una sola vez para que sirva con cualquier número.

La idea

Hasta ahora la matemática trabajaba con números concretos: $3$ , $-8$ , $\frac{1}{2}$ . El lenguaje algebraico agrega una idea potente: usar una letra para representar un número que todavía no conocés o que puede cambiar. Pensá la letra como una cajita donde después vas a meter un número. Si el kilo de pan cuesta $\$1200$ y comprás $x$ kilos, gastás $1200x$ : no sabés cuántos kilos vas a comprar, pero con una sola expresión cubrís todos los casos. Esa es la magia del álgebra —dejar de resolver un problema a la vez y escribir la regla general—. Y como una letra es un número disfrazado, todo lo que ya sabés de operar con enteros sigue valiendo: la jerarquía, los signos y la propiedad distributiva permiten transformar una expresión en otra equivalente sin cambiar su valor.

Qué vas a aprender

Qué es una letra: variable e incógnitaconcepto
En aritmética trabajás con números concretos; en álgebra aparece un ingrediente nuevo: la letra. Una letra (se usan mucho $x$ , $n$ , $a$ , $l$ ) representa un número. Puede ser una variable, un número que cambia según el caso (los $x$ kilos de pan que comprás hoy o mañana), o una incógnita, un número fijo que todavía no conocés y querés averiguar.
Cuando combinás números, letras y operaciones formás una expresión algebraica: por ejemplo $2x+3$ , $4l$ o $1500+200k$ . Por ahora tu trabajo es aprender a escribir y leer estas expresiones (más adelante vas a averiguar el valor de la incógnita). Una idea para fijar desde el arranque: como la letra es un número disfrazado, todo lo que ya sabés de operar va a seguir funcionando igual —solo que ahora una parte del número está escrita con una letra.
Traducir del lenguaje coloquial al algebraicométodo
Traducir es pasar una frase en castellano a una expresión con símbolos. La clave está en reconocer las palabras que indican cada operación. Elegís una letra para 'un número cualquiera' (usemos $x$ ) y armás la expresión:
- 'el doble' → $2x$ · 'el triple' → $3x$ · 'la mitad' → $\frac{x}{2}$
- 'aumentado en 5' / 'la suma con 5' → $x+5$
- 'disminuido en 4' / '4 menos' → $x-4$
- 'el siguiente' (o consecutivo) → $x+1$ · 'el anterior' → $x-1$
- 'el cuadrado' → $x^2$ · 'el cubo' → $x^3$
Por ejemplo, 'la mitad de un número, aumentada en 6' se escribe $\frac{x}{2}+6$ , y 'el siguiente de un número' es $x+1$ . Leé toda la frase antes de escribir: el orden de las palabras y las comas te dicen qué operación se hace primero.
Escribir las expresiones con las convenciones correctasmétodo
El álgebra tiene una forma prolija de escribir que conviene respetar desde el principio:
- El signo de multiplicar entre un número y una letra se omite: $2\cdot x$ se escribe $2x$ . Se entiende que están multiplicados.
- El número va adelante: se escribe $2x$ , no $x2$ .
- **El $1$ no se escribe:** $1\cdot x$ es simplemente $x$ .
- Multiplicar una letra por sí misma es una potencia: $x\cdot x=x^2$ y $x\cdot x\cdot x=x^3$ .
Los sumandos de una expresión se llaman términos. En $3x^2-5x+7$ , los términos son $3x^2$ , $-5x$ y $7$ ; el signo forma parte de cada término. En $3x^2$ , el $3$ es el coeficiente y $x^2$ es la parte literal. Dos términos son semejantes cuando tienen exactamente la misma parte literal, con los mismos exponentes. Solo esos se pueden reducir sumando sus coeficientes: $3x+2x=(3+2)x=5x$ y $4x^2-x^2=3x^2$ . En cambio, $3x+2x^2$ no se reduce porque $x$ y $x^2$ no son la misma parte literal.
Ojo con no confundir dos escrituras parecidas: $2x$ significa $2\cdot x$ (el doble), mientras que $x^2$ significa $x\cdot x$ (el cuadrado). Son cosas distintas: para $x=3$ , $2x=6$ pero $x^2=9$ .
El paréntesis: cuándo agruparmétodo
Frases muy parecidas pueden significar cosas distintas según qué se agrupe, y el paréntesis es lo que marca esa agrupación. Compará:
- 'El doble de un número, más 3' → primero el doble del número, y al final se suma 3: $2x+3$ .
- 'El doble de la suma entre un número y 3' → primero se arma la suma $x+3$ , y recién después se duplica todo: $2(x+3)$ .
El paréntesis indica que 'el doble' actúa sobre toda la suma, no solo sobre el número. Que no te engañe el parecido: $2x+3$ y $2(x+3)$ no valen lo mismo. Para $x=5$ , la primera da $2\cdot 5+3=13$ y la segunda $2\cdot(5+3)=16$ . Antes de escribir, preguntate: la operación de afuera, ¿se aplica a un solo término o a toda una suma?
Para quitar un paréntesis se usa la propiedad distributiva: $a(b+c)=ab+ac$ y $a(b-c)=ab-ac$ . El factor de afuera multiplica a cada término de adentro; por ejemplo, $2(3x-4)=6x-8$ . Las escrituras $2(3x-4)$ y $6x-8$ son equivalentes porque tienen el mismo valor para cada valor permitido de $x$ . Una transformación algebraica válida reemplaza una expresión por otra equivalente: distribuir o reducir términos semejantes conserva el valor. Así, $3(2x-1)+4x=6x-3+4x=10x-3$ . Cada signo igual conecta expresiones equivalentes; no autoriza a borrar términos ni a combinar los que no son semejantes. La lectura inversa y los métodos para reescribir una expresión como producto se desarrollan en Factorización.
Calcular el valor numérico de una expresiónmétodo
El valor numérico de una expresión es el número que obtenés al reemplazar la letra por un número concreto y hacer la cuenta. La misma expresión da distintos valores según el número que pongas.
El método: reemplazá la letra por el número (conviene ponerlo entre paréntesis, sobre todo si es negativo) y resolvé respetando la jerarquía de operaciones —primero potencias y multiplicaciones, después sumas y restas—. Por ejemplo, en $2x+3$ : si $x=5$ , es $2\cdot 5+3=10+3=13$ ; si $x=-4$ , es $2\cdot(-4)+3=-8+3=-5$ .
El valor numérico sirve para controlar una transformación: $2(x+3)$ y $2x+6$ dan lo mismo al probar cualquier valor porque son equivalentes por distributiva. Probar un solo valor puede detectar un error, aunque no alcanza por sí solo para demostrar equivalencia para todos los valores; esa garantía la da la propiedad aplicada correctamente.
Un detalle donde muchos tropiezan: reemplazar $x$ por $5$ en $2x$ da $2\cdot 5=10$ , no ' $25$ '. El número ocupa el lugar de la letra, pero la multiplicación que estaba escondida sigue ahí.

Ejemplos resueltos

Cómo el paréntesis cambia todo. Traduzcamos dos frases parecidas llamando $x$ al número. (a) 'El triple de un número, más 5': primero el triple, $3x$ , y al final se suma $5$ , así que queda $3x+5$ . (b) 'El triple de la suma entre un número y 5': primero se arma la suma $x+5$ y recién después se triplica todo, o sea $3(x+5)$ . Para ver que son distintas, probamos con $x=2$ : la primera da $3\cdot 2+5=11$ ; la segunda da $3\cdot(2+5)=21$ . Al distribuir, $3(x+5)=3x+15$ : esas dos escrituras sí son equivalentes entre sí, pero ninguna permite convertir $3x+5$ en $3x+15$ .
Una fórmula general con una letra (perímetro). El lado de un cuadrado mide $l$ . Como el cuadrado tiene $4$ lados iguales, su perímetro es $l+l+l+l=4l$ : redujimos cuatro términos semejantes sumando sus coeficientes, $1+1+1+1=4$ . Esta única expresión sirve para cualquier cuadrado: si el lado mide $l=7$ , el perímetro es $4\cdot 7=28$ ; si mide $l=20$ , es $4\cdot 20=80$ . Escribiste una regla general, la transformaste en una equivalente y después le pusiste un número.
Modelar una situación con plata (remis). Un remis cobra $\$1500$ de bajada de bandera (fijo) más $\$200$ por cada kilómetro. Si el viaje es de $k$ kilómetros, el costo total es la parte fija más $200$ por cada kilómetro: $1500+200k$ . Calculemos un viaje de $6$ km reemplazando $k=6$ y respetando la jerarquía (primero multiplicar): $1500+200\cdot 6=1500+1200=2700$ . El viaje sale $\$2700$ .
Valor numérico con un número negativo. Hallemos el valor de $5-2x$ cuando $x=-3$ . Reemplazamos la letra por $-3$ , con cuidado y entre paréntesis: $5-2\cdot(-3)$ . Primero la multiplicación: $2\cdot(-3)=-6$ , así que queda $5-(-6)$ . Y restar un negativo es sumar: $5+6=11$ . Entonces, para $x=-3$ , la expresión vale $11$ . Fijate que acá usamos tal cual las reglas de operar con enteros.

Errores comunes

Escribe 'el doble de un número' como $x^2$ (o 'el cuadrado' como $2x$ ).
El doble es multiplicar por $2$ : $2x$ . El cuadrado es multiplicar el número por sí mismo: $x^2=x\cdot x$ . No son lo mismo: para $x=5$ , el doble es $10$ y el cuadrado es $25$ .
Cómo corregirlo: Doble/triple → un número adelante ( $2x$ , $3x$ ). Cuadrado/cubo → exponente ( $x^2$ , $x^3$ ). Si dudás, probá con un número concreto: ' $5$ al doble' es $10$ , ' $5$ al cuadrado' es $25$ .
Traduce 'el doble de un número, más 3' como $2(x+3)$ .
En esa frase 'el doble' se aplica solo al número, y el $3$ se suma después: $2x+3$ . Poner el paréntesis $2(x+3)$ significaría duplicar también el $3$ . Para $x=4$ : $2x+3=11$ , pero $2(x+3)=14$ . Son expresiones distintas.
Cómo corregirlo: Preguntate a qué se aplica 'el doble': si es solo al número, va $2x+3$ ; si es a toda una suma ('el doble de la suma entre un número y 3'), recién ahí va $2(x+3)$ .
Traduce 'un número disminuido en 7' (o '7 menos que un número') como $7-x$ .
Se le resta $7$ al número, no al revés: $x-7$ . La resta no es conmutativa, así que $7-x$ y $x-7$ dan distinto (para $x=10$ : una da $-3$ y la otra $3$ ).
Cómo corregirlo: Identificá de qué partís y qué se le saca: arrancás del número $x$ y le quitás $7$ , entonces $x-7$ . 'Disminuido en 7' siempre empieza por el número.
Al calcular el valor de $2x$ con $x=5$ , escribe ' $25$ '.
$2x$ significa $2\cdot x$ , o sea $2$ multiplicado por el número. Al reemplazar, la multiplicación sigue ahí: $2\cdot 5=10$ , no las cifras $2$ y $5$ pegadas. Pegarlas cambia por completo el valor.
Cómo corregirlo: Cuando reemplaces, volvé a poner el signo $\cdot$ que estaba escondido: $2x=2\cdot x=2\cdot 5=10$ . La letra se cambia por el número, pero la operación no desaparece.

En resumen

El lenguaje algebraico usa letras para representar números que no conocés o que pueden cambiar, y así escribir una regla general. Los términos semejantes comparten la misma parte literal y se reducen sumando coeficientes; la distributiva permite desarrollar expresiones con paréntesis. Esas transformaciones producen expresiones equivalentes, con el mismo valor para cada entrada permitida. Traducir, agrupar con paréntesis y calcular valores numéricos completa la base que necesitan ecuaciones, polinomios y factorización; los métodos para reescribir como producto quedan en Factorización.

Lenguaje algebraico