Secundaria para Todos

El estado que ves acá es de demostración. Cuando completes tu diagnóstico va a reflejar tu dominio real.

La lección

Operar con enteros: sumar, restar, multiplicar y dividir con signos

Cada vez que mirás el saldo de la SUBE, calculás cuánta plata te queda si debés fiado en el kiosco, o pensás la diferencia entre los $6°$ del mediodía y los $-3°$ de la madrugada, estás operando con enteros. Es la matemática de tener y deber, subir y bajar, a favor y en contra.

La idea

La clave para no marearte con los signos es pensar en plata. Los números positivos son plata que tenés; los negativos, plata que debés. Sumar es juntar todo lo que tenés y todo lo que debés para ver cómo quedás. Si tenés $500$ y debés $800$ , terminás debiendo $300$ : por eso $500 + (-800) = -300$ . Restar un número es lo mismo que sumar su opuesto (que te saquen una deuda de $300$ te deja igual que si te regalaran $300$ ). Y ojo con algo importante: la famosa regla de "menos por menos es más" es SOLO para multiplicar y dividir, nunca para sumar. Cada operación tiene su propia lógica, y este es el tema donde aprendés a no confundirlas.

Qué vas a aprender

Sumar enteros (mismo signo y distinto signo)método
Para sumar dos enteros mirá primero si tienen el mismo signo o signos distintos, porque se hace distinto en cada caso.
Mismo signo: sumás los valores absolutos y conservás ese signo común. Es como juntar dos deudas o dos ganancias. Por ejemplo, $(-3) + (-5) = -8$ y $(+4) + (+6) = +10$ .
Distinto signo: comparás los valores absolutos. Si son diferentes, restás el menor del mayor y le ponés al resultado el signo del término de mayor valor absoluto. Por ejemplo, en $(-8) + (+3)$ la diferencia es $5$ y domina el negativo, por eso queda $-5$ ; en $(+7) + (-2)$ queda $+5$ . Si los valores absolutos son iguales, se cancelan por completo: $(-6)+(+6)=0$ . En ese caso no hay un signo que domine.
Restar enteros: restar es sumar el opuestométodo
La resta de enteros no es una regla nueva: toda resta se transforma en una suma. Restar un número es lo mismo que sumar su opuesto. En símbolos: $a - b = a + (-b)$ .
El opuesto de un número es el mismo número con el signo cambiado: el opuesto de $+7$ es $-7$ , y el opuesto de $-7$ es $+7$ . Entonces, cuando veas una resta, cambiala por una suma del opuesto y aplicá las reglas de la suma que ya sabés. Por ejemplo $5 - 8 = 5 + (-8) = -3$ , y $(-4) - (-7) = (-4) + (+7) = +3$ .
De acá sale el dato que más se confunde: restar un número negativo termina sumando. $-(-7) = +7$ , así que $(-4) - (-7)$ se vuelve $(-4) + 7$ . Pensalo con plata: si te sacan una deuda de $7$ , es como si ganaras $7$ .
Sacar paréntesis según el signo de adelantemétodo
Muchas cuentas vienen con paréntesis. Podés resolver primero lo que está adentro, empezando por el paréntesis más interno, o quitar un paréntesis que agrupa sumas y restas mirando el signo de adelante.
Si delante del paréntesis hay un $+$ , cada término de adentro conserva su signo: $8 + (-3 + 2) = 8 - 3 + 2$ . Si delante hay un $-$ , se invierten TODOS los signos de adentro, uno por uno: $8 - (-3 + 2) = 8 + 3 - 2$ . Ese menos equivale a multiplicar todo el paréntesis por $-1$ ; no afecta solo al primer término.
Mirá un caso completo: $10 - (4 - 9)$ . Al quitar el paréntesis queda $10 - 4 + 9 = 15$ . Podés comprobarlo resolviendo primero adentro: $4 - 9 = -5$ , y $10 - (-5) = 15$ . Los dos caminos coinciden. Si el paréntesis está multiplicado, como en $-2\cdot(5-9)$ , primero resolvés $5-9=-4$ y después multiplicás.
La regla de los signos para multiplicar y dividirconcepto
Para multiplicar o dividir enteros, resolvés la cuenta con los valores absolutos y después decidís el signo: signos iguales dan positivo y signos distintos dan negativo. Por ejemplo, $(-6)\cdot(-4)=+24$ , $(-6)\cdot(+4)=-24$ , $(-20)\div(+5)=-4$ y $(-20)\div(-4)=+5$ . Si un factor es $0$ , el producto es $0$ ; además, $0\div a=0$ para $a\neq0$ . Dividir por $0$ no está definido. Esta regla de signos vale SOLO para multiplicar y dividir: $(-3)+(-5)=-8$ , no $+8$ .
En un cálculo combinado no se resuelve todo simplemente de izquierda a derecha. La jerarquía es: 1) agrupaciones, desde las más internas; 2) potencias y raíces, cuando aparezcan; 3) multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha; 4) sumas y restas, también de izquierda a derecha.
Por ejemplo, en $-5+3\cdot(-4)$ primero va la multiplicación: $3\cdot(-4)=-12$ ; después $-5+(-12)=-17$ . En $-3\cdot(4-8)+2$ , primero el paréntesis da $-4$ , luego el producto da $12$ y al final $12+2=14$ . Para verificar, anotá una operación por línea, controlá el signo y estimá si el tamaño del resultado es compatible con los términos.

Ejemplos resueltos

Suma de distinto signo (plata en el kiosco). En tu billetera tenías $500$ pesos, pero pediste fiado por $800$ . ¿Cómo quedás? Lo escribimos como $500 + (-800)$ . Los signos son distintos, así que restamos el menor del mayor: $800 - 500 = 300$ . Como el número más grande ( $800$ ) era negativo, el resultado es negativo: $500 + (-800) = -300$ . Quedaste debiendo $300$ pesos.
Resta con un negativo (amplitud térmica). Un día en Bariloche hubo $6°$ al mediodía y $-3°$ en la madrugada. ¿Cuántos grados de diferencia hay? Se calcula restando: $6 - (-3)$ . Como restar es sumar el opuesto, y el opuesto de $-3$ es $+3$ , la cuenta se transforma en $6 + 3 = 9$ . La diferencia fue de $9°$ . Fijate que restar el negativo hizo crecer el resultado, no achicarlo.
Sacar paréntesis paso a paso. Resolvamos $10 - (4 - 9)$ . Delante del paréntesis hay un signo $-$ , así que al sacarlo se invierten todos los signos de adentro: el $4$ pasa a $-4$ y el $-9$ pasa a $+9$ . Queda $10 - 4 + 9$ . Ahora operamos de izquierda a derecha: $10 - 4 = 6$ , y $6 + 9 = 15$ . Resultado: $15$ . (Verificación: adentro $4 - 9 = -5$ , y $10 - (-5) = 10 + 5 = 15$ . Coincide.)
Multiplicación y división con la regla de los signos. Primero $(-6)\cdot(-4)$ : multiplicamos $6 \cdot 4 = 24$ , y como los dos signos son iguales (ambos negativos), el resultado es positivo: $+24$ . Ahora $(-20)\div(+5)$ : dividimos $20 \div 5 = 4$ , y como los signos son distintos (uno negativo y uno positivo), el resultado es negativo: $-4$ .
Cálculo combinado y control. Resolvamos $20-4\cdot(-3)+(-6)$ . La multiplicación tiene prioridad: $4\cdot(-3)=-12$ . La expresión queda $20-(-12)+(-6)=20+12-6$ . Sumas y restas tienen igual prioridad, así que avanzamos de izquierda a derecha: $32-6=26$ . El resultado debe ser positivo porque quitar una deuda de $12$ aumenta $20$ y luego solo se restan $6$ ; ese control de signo es coherente con $26$ .
Agrupación antes que producto. En $-4\cdot(2-7)+1$ , primero se resuelve el paréntesis: $2-7=-5$ . Después se multiplica: $(-4)\cdot(-5)=20$ . Por último se suma: $20+1=21$ . Resolver $-4\cdot2$ antes del paréntesis cambiaría la expresión original.

Errores comunes

Aplica "menos por menos es más" al sumar, y da $(-3) + (-5) = +8$ .
La regla de los signos (iguales dan $+$ , distintos dan $-$ ) sirve únicamente para multiplicar y dividir. En una suma no se multiplican signos: dos números negativos que se suman dan un negativo más grande, no un positivo. $(-3) + (-5) = -8$ .
Cómo corregirlo: Antes de tocar los signos, fijate qué operación es. Si es suma o resta, pensá en plata: dos deudas se juntan y siguen siendo deuda. Solo cuando la operación es $\cdot$ o $\div$ usás la regla de los signos.
Al sumar dos enteros de distinto signo, suma los valores en vez de restarlos: hace $(-8) + (+3) = -11$ .
Cuando los signos son distintos, una parte cancela a la otra, así que el resultado tiene que ser más chico que los números, no más grande. Sumarlos ignora esa cancelación. Lo correcto es $(-8) + (+3) = -5$ .
Cómo corregirlo: Con signos distintos, restá el número chico del grande (sin mirar el signo) y ponele el signo del que era más grande. Acá $8 - 3 = 5$ y gana el negativo, así que queda $-5$ .
Con un $-$ delante del paréntesis, solo le cambia el signo al primer término: hace $10 - (4 - 9) = 10 - 4 - 9$ .
El signo $-$ de adelante afecta a TODO lo que está dentro del paréntesis, no solo al primer número. Al dejar el $-9$ sin invertir, la cuenta da $-3$ en vez del correcto $15$ .
Cómo corregirlo: Cambiá el signo de cada término de adentro, uno por uno: $4$ pasa a $-4$ y $-9$ pasa a $+9$ , quedando $10 - 4 + 9 = 15$ . Si dudás, resolvé primero lo de adentro del paréntesis.
Interpreta $5 - (-3)$ como $5 - 3 = 2$ .
Restar es sumar el opuesto, y el opuesto de $-3$ es $+3$ . Los dos signos menos juntos, $-(-3)$ , equivalen a $+3$ . Por eso el resultado crece: $5 - (-3) = 8$ , no $2$ .
Cómo corregirlo: Cuando veas dos signos menos seguidos, convertilos en un más: $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$ . Pensalo como que te sacan una deuda de $3$ : terminás con más plata, no con menos.
Resuelve $-5+3\cdot(-4)$ empezando por la suma porque aparece primero.
La multiplicación tiene prioridad sobre la suma. Empezar por $-3+4$ modifica la agrupación definida por la jerarquía y produce otro resultado.
Cómo corregirlo: Marcá primero agrupaciones, luego potencias o raíces, después productos y cocientes y al final sumas y restas. Acá $3\cdot(-4)=-12$ y recién entonces $-5+(-12)=-17$ .
En una suma de opuestos como $-6+6$ , conserva uno de los signos y responde $-0$ o $+0$ .
Los opuestos tienen igual valor absoluto y se cancelan exactamente. El resultado es $0$ , que no es positivo ni negativo.
Cómo corregirlo: Si los signos son distintos y los valores absolutos iguales, escribí directamente $a+(-a)=0$ .
Trata una expresión como $8\div0$ como si tuviera un resultado numérico.
No existe un número que multiplicado por $0$ reconstruya $8$ ; por eso la división por cero no está definida.
Cómo corregirlo: Comprobá el divisor antes de dividir. Cero puede ser dividendo, como $0\div4=0$ , pero nunca divisor.

En resumen

En la suma de enteros, los signos iguales acumulan y los distintos se compensan; si los valores absolutos empatan, el resultado es $0$ . La resta se transforma en suma del opuesto y un menos delante de un paréntesis cambia todos sus términos. En productos y cocientes, signos iguales dan positivo y distintos negativo, con división por cero prohibida. En cálculos combinados se respetan agrupaciones, potencias o raíces, multiplicaciones o divisiones y, por último, sumas o restas; productos y cocientes de igual prioridad se resuelven de izquierda a derecha, al igual que sumas y restas. Al final se controlan signo y magnitud.

Operaciones con enteros