Logaritmos

La idea

Qué vas a aprender

• Qué es un logaritmoconcepto

  Ya sabés que una potencia como $2^3$ significa multiplicar el $2$ tres veces: $2^3 = 8$. El logaritmo hace la pregunta al revés: dado el resultado, cuál era el exponente. Es decir, a qué número tengo que elevar la base para obtener este resultado. La respuesta a esa pregunta es el logaritmo.

  Formalmente: $\log_b a = c$ significa exactamente lo mismo que $b^c = a$. El número $b$ de abajo es la base, $a$ es el argumento (lo que está adentro) y $c$ es el logaritmo, que no es otra cosa que el exponente. Por eso conviene grabarse una sola frase: el logaritmo ES el exponente. Por ejemplo, $\log_2 8 = 3$ porque $2^3 = 8$, y $\log_{10} 1000 = 3$ porque $10^3 = 1000$.

  Para que todo esto tenga sentido hay condiciones: la base tiene que ser positiva y distinta de $1$ ($b > 0$, $b \neq 1$), y el argumento tiene que ser positivo ($a > 0$). En seguida vas a ver por qué no existe el logaritmo de un número negativo ni de cero.

• Calcular logaritmos exactos de memoriamétodo

  Cuando el argumento es una potencia redonda de la base, el logaritmo sale sin calculadora: solo tenés que preguntarte a qué exponente elevar la base. Por ejemplo, $\log_5 25 = 2$ porque $5^2 = 25$; $\log_2 16 = 4$ porque $2^4 = 16$; $\log_{10} 100000 = 5$ porque $10^5 = 100000$.

  Dos casos salen siempre igual y conviene tenerlos de memoria: $\log_b 1 = 0$ (porque cualquier base elevada a $0$ da $1$) y $\log_b b = 1$ (porque la base elevada a $1$ es ella misma). Así, $\log_7 1 = 0$ y $\log_7 7 = 1$, sin importar la base.

  También pueden dar negativos, cuando el argumento es menor que $1$. Ahí entran las potencias de exponente negativo que viste en función exponencial: $\log_3 \frac{1}{9} = -2$ porque $3^{-2} = \frac{1}{9}$, y $\log_{10} 0,01 = -2$ porque $10^{-2} = 0,01$. Ojo: un logaritmo negativo no significa que el argumento sea negativo; el argumento sigue siendo positivo (una fracción chica), lo negativo es el exponente.

• Logaritmo decimal y logaritmo naturalconcepto

  En la práctica hay dos bases que aparecen todo el tiempo y tienen nombre y notación propios. El logaritmo decimal es el de base $10$ y se escribe sin poner la base: $\log a$ quiere decir $\log_{10}a$. Es la tecla $\log$ de la calculadora; por ejemplo, $\log100=2$.

  El logaritmo natural usa como base la constante matemática $e\approx2{,}718$ y se escribe $\ln a$, abreviatura de $\log_ea$. Está en la tecla $\ln$ y aparece en modelos de crecimiento o decrecimiento continuo. No hace falta haber estudiado antes una función exponencial de base $e$ para usar esta definición.

  Con estas dos teclas se calcula el logaritmo de cualquier argumento positivo, aunque no sea una potencia exacta. Por ejemplo, $\log2\approx0{,}301$ significa que $10^{0{,}301}\approx2$.

• Las tres propiedades de los logaritmosmétodo

  Los logaritmos convierten cada operación en otra más simple. Estas son sus tres propiedades centrales (valen para cualquier base, siempre con argumentos positivos):

  Producto: el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos. $\log_b(x \cdot y) = \log_b x + \log_b y$. Por ejemplo, $\log_2(8 \cdot 4) = \log_2 8 + \log_2 4 = 3 + 2 = 5$ (y efectivamente $8 \cdot 4 = 32 = 2^5$).

  Cociente: el logaritmo de una división es la resta de los logaritmos. $\log_b \frac{x}{y} = \log_b x - \log_b y$. Por ejemplo, $\log_2 \frac{32}{4} = 5 - 2 = 3$.

  Potencia: el exponente del argumento baja multiplicando. $\log_b(x^n) = n \cdot \log_b x$. Por ejemplo, $\log_2(8^2) = 2 \cdot \log_2 8 = 2 \cdot 3 = 6$.

  De dónde salen: son las reglas de las potencias miradas al revés. Como el logaritmo es un exponente, multiplicar potencias (que suma exponentes) se traduce en sumar logaritmos, y así con las demás. La más útil en la práctica es la de la potencia, porque permite bajar una incógnita que está en el exponente, que es justo lo que hace falta para resolver ecuaciones exponenciales.

• Resolver ecuaciones exponenciales y cambio de basemétodo

  El logaritmo es la herramienta para despejar una incógnita atrapada en el exponente, algo que con la función exponencial no podías hacer directamente. Si tenés $b^x = a$, por la definición misma de logaritmo la solución es $x = \log_b a$. Por ejemplo, $2^x = 8$ da $x = \log_2 8 = 3$.

  El problema aparece cuando el resultado no es redondo: $2^x = 10$ da $x = \log_2 10$, pero la calculadora solo trae $\log$ (base $10$) y $\ln$ (base $e$), no base $2$. Para eso está la fórmula de cambio de base: $\log_b a = \frac{\log a}{\log b}$ (podés usar $\log$ o $\ln$ arriba y abajo, mientras sea la misma en los dos). Entonces $\log_2 10 = \frac{\log 10}{\log 2} = \frac{1}{0,301} \approx 3,32$.

  En resumen, para resolver $b^x = a$: escribís $x = \log_b a$ y, si hace falta, lo calculás con cambio de base. Conviene verificar reemplazando: $2^{3,32} \approx 10$.

Ejemplos resueltos

• Calcular $\log_2 64$ de memoria. Me pregunto: $2$ elevado a qué me da $64$. Voy probando exponentes: $2^5 = 32$, todavía poco; $2^6 = 64$, justo. Entonces $\log_2 64 = 6$. Reglita de control: el logaritmo es el exponente que buscabas, así que verificar es elevar la base a ese número y ver si da el argumento: $2^6 = 64$, correcto.
• Comparar la fuerza de dos terremotos con la escala de Richter, que es logarítmica: la magnitud se define como $M = \log_{10} \frac{A}{A_0}$, donde $A$ es la amplitud del movimiento del suelo y $A_0$ una amplitud de referencia. El terremoto que destruyó San Juan en 1944 tuvo una magnitud de alrededor de $7$. Cuántas veces más movió el suelo que un temblor de magnitud $5$, de esos que casi no se sienten. Resto las magnitudes usando la propiedad del cociente: $7 - 5 = \log_{10} \frac{A_1}{A_0} - \log_{10} \frac{A_2}{A_0} = \log_{10} \frac{A_1}{A_2}$. Entonces $\log_{10} \frac{A_1}{A_2} = 2$, y volviendo a la definición $\frac{A_1}{A_2} = 10^2 = 100$. O sea que el suelo se movió $100$ veces más en San Juan. Esa es la gracia de una escala logarítmica: pasar de $5$ a $7$ no es un poco más, es cien veces más.
• Calcular $\log_3(9 \cdot 27)$ usando las propiedades. Por la propiedad del producto, $\log_3(9 \cdot 27) = \log_3 9 + \log_3 27$. Ahora cada término sale de memoria: $\log_3 9 = 2$ porque $3^2 = 9$, y $\log_3 27 = 3$ porque $3^3 = 27$. Sumo: $2 + 3 = 5$. Se puede verificar sin propiedades: $9 \cdot 27 = 243 = 3^5$, así que $\log_3 243 = 5$, el mismo resultado.
• En cuántos meses se duplica una plata que rinde $5\%$ por mes. Si cada mes el capital crece un $5\%$, después de $x$ meses quedó multiplicado por $1,05^x$. Que se duplique significa $1,05^x = 2$. Despejo la incógnita del exponente con logaritmo: $x = \log_{1,05} 2$. Como la calculadora no tiene base $1,05$, uso cambio de base: $x = \frac{\log 2}{\log 1,05} = \frac{0,301}{0,0212} \approx 14,2$. Conclusión: recién pasando el mes $15$ la plata quedó más que duplicada.

Errores comunes

• Separar el logaritmo de una suma, escribiendo $\log(x + y) = \log x + \log y$.

  La propiedad dice que el logaritmo de un PRODUCTO es la suma de logaritmos, no el de una suma. $\log(x + y)$ no se puede repartir. Por ejemplo, $\log(2 + 8) = \log 10 = 1$, mientras que $\log 2 + \log 8 = 0,301 + 0,903 = 1,204$: dan distinto.

  Cómo corregirlo: Antes de aplicar la propiedad, fijate qué operación hay adentro del logaritmo. Solo el producto ($\log(x \cdot y)$) y el cociente se reparten; si adentro hay una suma o una resta, primero resolvés lo de adentro y recién ahí tomás el logaritmo.

• Calcular el logaritmo de un número negativo o de cero, como $\log(-8)$ o $\log 0$.

  El logaritmo es el exponente al que hay que elevar la base (positiva) para llegar al argumento. Una base positiva elevada a cualquier exponente siempre da un resultado positivo, nunca cero ni un negativo. Por eso $\log(-8)$ y $\log 0$ no existen: el argumento tiene que cumplir $a > 0$.

  Cómo corregirlo: Antes de calcular, revisá que el argumento sea positivo. Y no confundas $\log(-8)$ con $-\log 8$: el primero no existe, pero el segundo sí (vale $-0,903$), porque ahí el signo menos está afuera del logaritmo, no adentro.

• Leer la definición al revés: tomar $\log_b a = c$ como si fuera $a^c = b$, o confundir $\log_2 8$ con $\log_8 2$.

  La base del logaritmo es la base de la potencia. $\log_b a = c$ significa $b^c = a$: la base elevada al logaritmo da el argumento. Por eso $\log_2 8 = 3$ (ya que $2^3 = 8$), pero $\log_8 2 = \frac{1}{3}$ (ya que $8^{1/3} = 2$). No son lo mismo.

  Cómo corregirlo: Traducí siempre el logaritmo a su potencia con la frase la base elevada al resultado da el argumento. La base de abajo del log es la misma base de abajo de la potencia; no la intercambies con el argumento.

• Mezclar $n \cdot \log x$ con $(\log x)^n$, pensando que $\log(x^n)$ es lo mismo que $(\log x)^n$.

  La propiedad de la potencia dice que el exponente DEL ARGUMENTO baja multiplicando: $\log_b(x^n) = n \cdot \log_b x$. Elevar todo el logaritmo a $n$ es otra cosa. Por ejemplo, $\log_2(8^2) = 2 \cdot \log_2 8 = 6$, mientras que $(\log_2 8)^2 = 3^2 = 9$.

  Cómo corregirlo: La propiedad se aplica solo cuando el exponente está adentro, sobre el argumento: ahí lo bajás como factor, $\log_b(x^n) = n \log_b x$. Si el exponente está sobre todo el logaritmo, eso es elevar el resultado ya calculado y no se toca.

En resumen