Notación científica

La idea

Qué vas a aprender

• Las potencias de 10concepto

  Toda la notación científica se apoya en las potencias de 10, así que empecemos por ahí. Cuando el exponente es positivo, cuenta los ceros: $10^1 = 10$, $10^2 = 100$, $10^3 = 1\,000$, y en general $10^n$ es un 1 seguido de $n$ ceros. Además, $10^0 = 1$.

  Cuando el exponente es negativo, la potencia da un número chiquito, entre 0 y 1: $10^{-1} = 0,1$, $10^{-2} = 0,01$, $10^{-3} = 0,001$. La regla es $10^{-n} = \frac{1}{10^n}$, y el número del exponente te dice en qué lugar después de la coma cae el 1. Por ejemplo, $10^{-4} = 0,0001$: el 1 está en el cuarto lugar. Ojo con esto desde ya: un exponente negativo NO hace negativo al número, lo hace chico.

• Qué es la notación científicaconcepto

  Un número no nulo está en notación científica normalizada cuando se escribe como $a\cdot10^n$, donde $n$ es entero y el coeficiente cumple $1\leq|a|<10$: tiene un único dígito distinto de cero antes de la coma y conserva el signo del número. Por ejemplo, $5\,000=5\cdot10^3$, $0,0007=7\cdot10^{-4}$ y $-20\,000=-2\cdot10^4$. El cero se representa como $0$; expresiones como $0\cdot10^n$ valen cero pero no dan una forma normalizada única.

  Para un número positivo normalizado, si $n>0$ su valor es al menos $10$; si $n=0$, queda entre $1$ y $10$; y si $n<0$, queda entre $0$ y $1$. En un número negativo, el exponente controla del mismo modo el valor absoluto, mientras el signo lo aporta $a$.

  La condición sobre $|a|$ da una escritura única. $50\cdot10^2$ vale $5\,000$, pero no está normalizado porque $|50|$ no es menor que $10$; la forma correcta es $5\cdot10^3$.

• Pasar un número común a notación científicamétodo

  El método es siempre el mismo: conservá aparte el signo, corré la coma del valor absoluto hasta que quede un solo dígito distinto de cero delante de ella y contá cuántos lugares la moviste. Ese conteo determina el exponente.

  Si moviste la coma hacia la izquierda, el exponente es positivo. En $6\,300\,000$ obtenés $6,3$ tras moverla $6$ lugares, así que $6\,300\,000=6,3\cdot10^6$. Si el número es negativo, el signo se conserva: $-6\,300\,000=-6,3\cdot10^6$.

  Si el valor absoluto está entre $0$ y $1$ y moviste la coma hacia la derecha, el exponente es negativo. En $0,00042$ obtenés $4,2$ tras $4$ lugares, así que $0,00042=4,2\cdot10^{-4}$. Para $0$ no se cuenta ningún lugar: se escribe $0$.

• Volver de notación científica a número comúnmétodo

  Es el camino inverso, mirando el signo del exponente. Si el exponente es positivo, corré la coma esa cantidad de lugares hacia la derecha, agregando ceros si te quedás sin cifras. Ejemplo: $2,5 \cdot 10^5 = 250\,000$ (moví la coma 5 lugares a la derecha).

  Si el exponente es negativo, corré la coma esa cantidad de lugares hacia la izquierda, completando con ceros adelante. Ejemplo: $9 \cdot 10^{-3} = 0,009$ (moví la coma 3 lugares a la izquierda).

• Comparar y operar en notación científicamétodo

  Para comparar números positivos, primero mirá los exponentes: es mayor el que tiene el exponente más grande. Por ejemplo, $3 \cdot 10^8 > 9,9 \cdot 10^5$. Si los exponentes coinciden, compará los coeficientes: $4,5 \cdot 10^6 > 4,2 \cdot 10^6$.

  Para multiplicar, multiplicá los coeficientes y sumá los exponentes: $(a \cdot 10^m)(b \cdot 10^n)=ab \cdot 10^{m+n}$. Para dividir, dividí los coeficientes y restá los exponentes: $\frac{a \cdot 10^m}{b \cdot 10^n}=\frac{a}{b}\cdot 10^{m-n}$, con $b\neq0$. Al final, normalizá el coeficiente si su valor absoluto quedó fuera de $[1,10)$; por ejemplo, $12 \cdot 10^7=1,2 \cdot 10^8$ y $-12\cdot10^7=-1,2\cdot10^8$.

  Para sumar o restar, en cambio, los exponentes tienen que ser iguales antes de operar los coeficientes. Por ejemplo, $4 \cdot 10^5+3 \cdot 10^4=4 \cdot 10^5+0,3 \cdot 10^5=4,3 \cdot 10^5$. No se suman los exponentes en una suma: esa regla pertenece a la multiplicación.

Ejemplos resueltos

• Pasar la distancia de la Tierra al Sol, unos $150\,000\,000$ km, a notación científica: la coma está al final ($150\,000\,000,0$). La corro hasta dejar un solo dígito adelante, después del 1, y obtengo $1,5$. Conté 8 lugares hacia la izquierda, y como es un número grande el exponente es positivo. Resultado: $1,5 \cdot 10^8$ km.
• Pasar el tamaño aproximado de un virus, $0,0000001$ m, a notación científica: corro la coma hacia la derecha hasta pasar el primer dígito distinto de cero (el 1) y cuento 7 lugares. Como es un número chico, menor que 1, el exponente es negativo. Resultado: $1 \cdot 10^{-7}$ m.
• Volver la población aproximada de Argentina, escrita como $4,6 \cdot 10^7$, a número común: el exponente $+7$ me dice que corra la coma 7 lugares a la derecha desde $4,6$, o sea $4,6 \to 46\,000\,000$. Son 46 millones de habitantes.
• Comparar la capacidad de un pendrive de $8 \cdot 10^9$ bytes con la de un disco de $5 \cdot 10^{11}$ bytes: comparo los exponentes, $9$ contra $11$. Como $11 > 9$, el disco ($5 \cdot 10^{11}$ bytes) guarda más, aunque su coeficiente ($5$) sea menor que el del pendrive ($8$).
• Operar y normalizar: $(3 \cdot 10^4)(2 \cdot 10^3)=6 \cdot 10^{4+3}=6 \cdot 10^7$. Para sumar $4 \cdot 10^5+3 \cdot 10^4$, primero igualo exponentes: $3 \cdot 10^4=0,3 \cdot 10^5$; entonces $(4+0,3) \cdot 10^5=4,3 \cdot 10^5=430\,000$.

Errores comunes

• Dejar el coeficiente con más de un dígito antes de la coma, o menor que 1, como $63 \cdot 10^5$ o $0,5 \cdot 10^3$.

  Aunque la cuenta dé el valor correcto, no está en notación científica normalizada: para un número no nulo el coeficiente debe cumplir $1\leq|a|<10$, es decir, un único dígito distinto de cero antes de la coma, además de su posible signo.

  Cómo corregirlo: Seguí moviendo la coma y ajustá el exponente hasta que quede un solo dígito adelante. Por ejemplo, $63 \cdot 10^5 = 6,3 \cdot 10^6$ y $0,5 \cdot 10^3 = 5 \cdot 10^2$.

• Poner exponente positivo en un número chico (o negativo en uno grande), por ejemplo escribir $0,003 = 3 \cdot 10^3$.

  En una escritura positiva normalizada, un exponente positivo produce un valor al menos $10$ y uno negativo un valor entre $0$ y $1$. $3\cdot10^3$ es $3\,000$, no $0,003$.

  Cómo corregirlo: Mirá hacia dónde moviste la coma para normalizar: hacia la izquierda da exponente positivo y hacia la derecha, negativo. Si no se mueve, el exponente es $0$. Así, $0,003=3\cdot10^{-3}$.

• Interpretar que un número con exponente negativo es un número negativo, por ejemplo leer $2 \cdot 10^{-4}$ como algo negativo.

  El exponente negativo hace que el número sea chico, pero sigue siendo positivo: $2 \cdot 10^{-4} = 0,0002$. Para que el número sea negativo, el signo tiene que estar en el coeficiente, no en el exponente.

  Cómo corregirlo: Leé el exponente negativo como 'muy chiquito, entre 0 y 1', no como 'negativo'. Un número negativo se escribe con el signo adelante, como $-2 \cdot 10^4 = -20\,000$.

• Contar mal los lugares que se movió la coma (equivocarse por uno), por ejemplo escribir $0,0005 = 5 \cdot 10^{-3}$.

  Al contar de más o de menos, el exponente queda mal y el número cambia de valor: $5 \cdot 10^{-3} = 0,005$, diez veces más grande que $0,0005$.

  Cómo corregirlo: Contá los lugares que efectivamente se mueve la coma, o fijate en qué posición decimal cae el primer dígito distinto de cero. En $0,0005$ el 5 está en el cuarto lugar, así que es $5 \cdot 10^{-4}$.

• Aplica la regla de sumar exponentes también en una suma, por ejemplo $(4 \cdot 10^5)+(3 \cdot 10^4)=7 \cdot 10^9$.

  Los exponentes se suman al multiplicar potencias de la misma base, no al sumar cantidades. En una suma hay que expresar ambos términos con la misma potencia de 10 y recién entonces sumar o restar sus coeficientes.

  Cómo corregirlo: Primero igualá los exponentes: $3 \cdot 10^4=0,3 \cdot 10^5$. Después sumá los coeficientes: $(4+0,3) \cdot 10^5=4,3 \cdot 10^5$. Reservá $10^{m+n}$ para productos y $10^{m-n}$ para cocientes.

En resumen