Secundaria para Todos

Todavía sin progreso tuyo. Los estados que ves son el punto de partida de cualquiera, no una medición tuya. En cuanto practiques, esto pasa a mostrar tu dominio real.

La lección

Potenciación y radicación: multiplicar en atajo y la pregunta al revés

Cuando calculás cuántas baldosas entran en un patio cuadrado, cuánto material lleva una caja o cuánto rinde una plata que se va duplicando, estás usando potencias sin darte cuenta. Y cuando conocés el área de una cancha cuadrada y querés saber cuánto mide de lado, estás sacando una raíz.

La idea

Una potencia es un atajo para escribir una multiplicación del mismo número repetida muchas veces: en vez de $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ escribís $3^4$ . Sus leyes permiten combinar potencias sin desarrollar todos los factores y los exponentes negativos expresan recíprocos. La radicación plantea la pregunta inversa: busca qué número elevado a cierto índice produce el radicando. Esa inversión necesita condiciones: la raíz cuadrada $\sqrt{25}$ designa la raíz principal $5$ , aunque la ecuación $x^2=25$ tenga dos soluciones, $5$ y $-5$ .

Qué vas a aprender

Qué es una potencia: base y exponenteconcepto
Una potencia es una forma corta de escribir una multiplicación del mismo número muchas veces. En $a^n$ , $a$ es la base y, cuando $n$ es natural positivo, el exponente indica cuántas veces aparece la base como factor. Por ejemplo, $2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32$ . El exponente no se suma ni se multiplica con la base. Además, $a^1=a$ y, para $a\neq0$ , $a^0=1$ . La expresión $0^0$ no se define en este nivel.
Las leyes se entienden contando factores. Para la misma base, $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ y $a^m\div a^n=a^{m-n}$ , con $a\neq0$ en el cociente. Una potencia de potencia multiplica exponentes: $(a^m)^n=a^{mn}$ . La potencia se distribuye sobre un producto y un cociente: $(ab)^n=a^nb^n$ y $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$ , con $b\neq0$ . No se distribuye sobre una suma: en general, $(a+b)^n\neq a^n+b^n$ .
Estas leyes siguen valiendo para exponentes enteros siempre que todas las expresiones estén definidas. En particular, para $a\neq0$ y $n>0$ , $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ . Por ejemplo, $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac18$ . El signo menos del exponente no vuelve negativa la potencia: indica el recíproco.
El signo de una potencia con base negativamétodo
Cuando la base es negativa, el signo del resultado depende de si el exponente es par o impar. Mirá: $(-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4$ (positivo), pero $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$ (negativo). La regla es clara: base negativa con exponente par da positivo, y base negativa con exponente impar da negativo. Si la base es positiva, el resultado siempre es positivo.
Acá aparece un detalle que cambia todo: el paréntesis. No es lo mismo $(-3)^2$ que $-3^2$ . En $(-3)^2$ el paréntesis dice que se eleva TODO el $-3$ , entonces $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$ . En cambio, en $-3^2$ (sin paréntesis) el exponente afecta solo al $3$ , y el menos queda afuera: $-3^2 = -(3^2) = -9$ . Antes de resolver, fijate siempre si el signo está dentro o fuera del paréntesis.
Potencia de un número racional (fracción)método
Como ya trabajaste con números racionales, podés elevar una fracción a una potencia. Con $b\neq0$ , elevás por separado numerador y denominador: $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$ . Por ejemplo, $\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{3^2}{4^2}=\frac{9}{16}$ .
El signo funciona igual que con los enteros. Si la fracción es negativa, mirás la paridad del exponente: $\left(-\frac{2}{5}\right)^3=-\frac{8}{125}$ . El exponente cae sobre numerador y denominador, no solo sobre el de arriba.
Con exponente negativo también se toma el recíproco de toda la base: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n$ , siempre que $a$ y $b$ sean distintos de cero. Así, $\left(-\frac{2}{3}\right)^{-2}=\left(-\frac{3}{2}\right)^2=\frac94$ , mientras que $\left(-\frac{2}{3}\right)^{-3}=-\frac{27}{8}$ .
Radicación: la operación inversa de la potenciaconcepto
Radicar es preguntar al revés. En $\sqrt[n]{a}$ , $n$ es el índice y $a$ el radicando. Si el índice es par, en los números reales se exige $a\geq0$ y el símbolo designa la única raíz no negativa: $\sqrt{25}=5$ . Por eso $\sqrt{25}$ no es $\pm5$ ; en cambio, la ecuación $x^2=25$ sí tiene las soluciones $x=5$ y $x=-5$ . Si el índice es impar, cualquier radicando real admite una única raíz real, por ejemplo $\sqrt[3]{-8}=-2$ .
Las operaciones se deshacen con estas condiciones: $(\sqrt[n]{a})^n=a$ cuando la raíz está definida. En el otro orden, si $n$ es par, $\sqrt[n]{a^n}=|a|$ ; por ejemplo, $\sqrt{(-4)^2}=4$ , no $-4$ . Si $n$ es impar, $\sqrt[n]{a^n}=a$ . Esta diferencia evita perder el carácter principal y no negativo de las raíces de índice par.
Los radicales tienen propiedades útiles. Cuando las raíces reales involucradas están definidas, $\sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$ y $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ , con denominador distinto de cero. Para índices pares se trabaja con radicandos no negativos. Estas propiedades valen para productos y cocientes, no para sumas ni restas.
Calcular raíces exactas y su signométodo
Para resolver una raíz exacta, buscá el número que, elevado al índice, reconstruye el radicando. $\sqrt{49}=7$ porque $7^2=49$ , y $\sqrt[3]{125}=5$ porque $5^3=125$ . Las raíces de índice impar admiten radicandos negativos: $\sqrt[3]{-27}=-3$ . En cambio, una raíz de índice par y radicando negativo, como $\sqrt{-9}$ , no tiene resultado real. No toda raíz es exacta: $\sqrt{20}$ queda entre $4$ y $5$ .
Para simplificar un radical no exacto, descomponé el radicando y extraé las potencias perfectas: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2$ . Solo se suman radicales semejantes: $3\sqrt2+5\sqrt2=8\sqrt2$ ; $\sqrt2+\sqrt3$ no se reduce. La raíz tampoco se reparte en una suma: $\sqrt{9+16}=5$ , mientras que $\sqrt9+\sqrt{16}=7$ .
Si queda una raíz en el denominador, una racionalización básica elimina ese radical sin cambiar el valor. Por ejemplo, $\frac{3}{\sqrt5}\cdot\frac{\sqrt5}{\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{5}$ . Se multiplica numerador y denominador por el mismo radical y se usa $\sqrt5\cdot\sqrt5=5$ . Al terminar, distinguí siempre entre forma exacta, como $6\sqrt2$ , y aproximación decimal, como $6\sqrt2\approx8,49$ .

Ejemplos resueltos

Calculemos $(-3)^4$ y $-3^4$ para ver por qué el paréntesis lo cambia todo. Paso 1. En $(-3)^4$ el paréntesis indica que se eleva todo el $-3$ , cuatro veces: $(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3)$ . Paso 2. El exponente $4$ es par, así que el resultado será positivo. Multiplicamos de a pares: $(-3) \cdot (-3) = 9$ y después $9 \cdot 9 = 81$ . Entonces $(-3)^4 = 81$ . Paso 3. Ahora $-3^4$ NO tiene paréntesis, así que el exponente afecta solo al $3$ : primero $3^4 = 81$ y recién al final aplicamos el menos. Queda $-3^4 = -81$ . Mismos dígitos, distinto signo: el paréntesis fue el que decidió qué se elevaba.
Elevemos la fracción $\frac{2}{3}$ al cubo. Paso 1. Como es la potencia de un número racional, elevamos por separado el numerador y el denominador: $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3}$ . Paso 2. Resolvemos cada uno: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ y $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ . Paso 3. Juntamos: $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$ . Como la base era positiva, el resultado es positivo. Si hubiera sido $\left(-\frac{2}{3}\right)^3$ , al ser el exponente impar el resultado quedaría negativo: $-\frac{8}{27}$ .
Una cancha de fútbol 5 es cuadrada y su superficie es de $64\,m^2$ . ¿Cuánto mide de lado? Paso 1. En un cuadrado, el área se obtiene elevando el lado al cuadrado. Como conocemos el área y buscamos una longitud no negativa, usamos la raíz cuadrada principal. Paso 2. $\sqrt{64}=8$ , porque $8^2=64$ . Paso 3. Entonces el lado mide $8\,m$ . La ecuación abstracta $x^2=64$ también tiene la solución $-8$ , pero una longitud no puede ser negativa y el símbolo $\sqrt{64}$ ya representa la raíz principal positiva. Con un cajón cúbico, si el volumen es $27\,dm^3$ , la arista mide $\sqrt[3]{27}=3\,dm$ .
Apliquemos leyes sin desarrollar todos los factores: $2^5\cdot2^{-3}=2^{5+(-3)}=2^2=4$ . También puede comprobarse con el recíproco: $2^5\cdot\frac{1}{2^3}=\frac{32}{8}=4$ . En una potencia de potencia, $(3^2)^4=3^{2\cdot4}=3^8$ ; los exponentes se multiplican, no se suman.
Simplifiquemos y racionalicemos. En $\sqrt{72}$ separamos el cuadrado perfecto: $72=36\cdot2$ , entonces $\sqrt{72}=\sqrt{36}\sqrt2=6\sqrt2$ . Si aparece $\frac{1}{\sqrt2}$ , multiplicamos por $\frac{\sqrt2}{\sqrt2}$ y obtenemos $\frac{\sqrt2}{2}$ . Ambas son transformaciones exactas; usar un decimal sería recién una aproximación.

Errores comunes

Resolver $2^3$ como $2 \cdot 3 = 6$ .
El exponente no se multiplica con la base: indica cuántas veces se usa la base como factor. $2^3$ significa $2 \cdot 2 \cdot 2$ , no $2 \cdot 3$ .
Cómo corregirlo: Leé la potencia como una multiplicación repetida: escribí la base tantas veces como diga el exponente y recién ahí multiplicá. $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ .
Decir que $-2^2 = 4$ , tratándolo igual que $(-2)^2$ .
Sin paréntesis, el exponente afecta solo al $2$ y el menos queda afuera: $-2^2 = -(2^2) = -4$ . El paréntesis en $(-2)^2$ sí eleva todo el $-2$ y da $4$ .
Cómo corregirlo: Antes de resolver, mirá si el signo está dentro o fuera del paréntesis. Si está afuera, elevás primero el número y aplicás el menos al final.
Contestar que $5^0 = 0$ .
Todo número distinto de cero elevado a $0$ da $1$ , no $0$ . Es una convención que mantiene coherentes las demás reglas de potencias.
Cómo corregirlo: Grabate el caso especial: $a^0 = 1$ para cualquier $a \neq 0$ . Así $5^0 = 1$ y $100^0 = 1$ .
Calcular $\left(\frac{2}{3}\right)^2$ como $\frac{4}{3}$ , elevando solo el numerador.
El exponente cae sobre toda la fracción, o sea sobre el numerador y el denominador. Dejar el $3$ sin elevar da un resultado equivocado.
Cómo corregirlo: Aplicá $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ : elevá los dos. $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$ .
Resolver $\sqrt{9 + 16}$ como $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ .
La raíz no se reparte entre los términos de una suma. Primero se resuelve lo de adentro y después se saca la raíz del total.
Cómo corregirlo: Calculá primero la cuenta dentro de la raíz: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ , porque $5^2 = 25$ .
Calcula $(a^m)^n$ como $a^{m+n}$ .
La base $a$ aparece $m$ veces dentro de cada una de las $n$ repeticiones, por lo que hay $m\cdot n$ factores, no $m+n$ .
Cómo corregirlo: Usá $(a^m)^n=a^{mn}$ . Por ejemplo, $(5^2)^3=5^6$ .
Interpreta $2^{-3}$ como $-8$ .
El signo del exponente indica recíproco; no cambia por sí mismo el signo de la base.
Cómo corregirlo: Para base no nula, aplicá $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ : $2^{-3}=\frac18$ .
Escribe $\sqrt{25}=\pm5$ .
El símbolo de raíz cuadrada representa por definición la raíz principal no negativa. El signo $\pm$ aparece al resolver la ecuación $x^2=25$ , no al evaluar $\sqrt{25}$ .
Cómo corregirlo: Separá las dos preguntas: $\sqrt{25}=5$ ; en cambio, $x^2=25$ tiene $x=5$ o $x=-5$ .
Afirma que $\sqrt{a^2}=a$ para cualquier número real $a$ .
La raíz cuadrada principal nunca es negativa. Si $a=-4$ , entonces $\sqrt{a^2}=\sqrt{16}=4$ , no $-4$ .
Cómo corregirlo: Para todo real $a$ , usá $\sqrt{a^2}=|a|$ . En índices impares sí vale $\sqrt[n]{a^n}=a$ .

En resumen

Las leyes de potencias combinan factores: con igual base se suman o restan exponentes, en una potencia de potencia se multiplican y un exponente negativo indica el recíproco. La potencia se distribuye sobre productos y cocientes, no sobre sumas. En los reales, una raíz de índice par exige radicando no negativo y designa la raíz principal; por eso $\sqrt{a^2}=|a|$ . Los radicales admiten propiedades de producto y cociente bajo sus condiciones, extracción de potencias perfectas y racionalización, pero no se distribuyen sobre sumas. Forma exacta y aproximación decimal no son lo mismo.

Potenciación y radicación