Perímetro y área

La idea

Qué vas a aprender

• Perímetro: la longitud del contornoconcepto

  El perímetro de una figura es la longitud total de su contorno. En un polígono se obtiene sumando las longitudes de todos sus lados. Como es una longitud, se mide en metros, centímetros, kilómetros u otra unidad lineal. Por ejemplo, un rectángulo de $5\ \text{m}$ de largo y $3\ \text{m}$ de ancho tiene perímetro $5+3+5+3=16\ \text{m}$.

  Como en un rectángulo los lados opuestos son iguales, la cuenta se puede abreviar: $P=2\cdot(5+3)=16\ \text{m}$. En un cuadrado los cuatro lados miden lo mismo, así que si el lado mide $l$, entonces $P=4\cdot l$; por ejemplo, un cuadrado de lado $7\ \text{cm}$ tiene $P=4\cdot 7=28\ \text{cm}$. Estas fórmulas también se pueden invertir: si conocés $P$ y un lado $a$ de un rectángulo, el otro es $b=\frac{P}{2}-a$; si conocés el perímetro de un cuadrado, su lado es $l=\frac{P}{4}$.

  Cuando el borde es curvo no hay lados para sumar. La circunferencia es el borde del círculo y su longitud es $C=2\pi r=\pi d$, donde $r$ es el radio y $d=2r$ es el diámetro. Esa longitud es el perímetro del círculo; sigue expresándose en unidades lineales.

• Área: la superficie que ocupa, en unidades cuadradasconcepto

  El área mide la superficie encerrada por la figura: cuánto lugar ocupa por dentro. Se calcula contando cuántos cuadrados unidad entran adentro. Un cuadrado unidad es un cuadrado de $1$ de lado: si el lado es $1\ \text{cm}$, ese cuadradito tiene un área de $1\ \text{cm}^2$ (un centímetro cuadrado). Un $\text{m}^2$ es la superficie de un cuadrado de $1\ \text{m}$ de lado.

  Por eso el área siempre se expresa en unidades cuadradas: $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, etc. Esta es la diferencia de fondo con el perímetro: el perímetro se mide, por ejemplo, en $\text{m}$ y el área en $\text{m}^2$. Pueden coincidir numéricamente —un cuadrado de lado $4$ tiene perímetro $16$ y área $16$—, pero nunca son la misma magnitud ni llevan la misma unidad.

  En una conversión de área, el factor lineal se eleva al cuadrado. Como $1\ \text{m}=100\ \text{cm}$, entonces $1\ \text{m}^2=(100\ \text{cm})^2=10.000\ \text{cm}^2$. Entre unidades métricas consecutivas de área, como $\text{m}^2$ y $\text{dm}^2$, cada escalón multiplica o divide por $100$, no por $10$. Antes de aplicar una fórmula, todas las longitudes deben estar expresadas en la misma unidad.

  El círculo es la región encerrada por una circunferencia. Si su radio es $r$, su área es $A=\pi r^2$. No hay que confundirla con la longitud del borde, $C=2\pi r$: una fórmula produce unidades cuadradas y la otra, unidades lineales.

• Área del rectángulo y del cuadradométodo

  Para cubrir un rectángulo con cuadraditos, los acomodás en filas y columnas. Un rectángulo de base $b$ y altura $h$ se llena con $h$ filas de $b$ cuadraditos cada una, así que su área es $A=b\cdot h$. Por ejemplo, un rectángulo de base $6\ \text{m}$ y altura $4\ \text{m}$ tiene $A=6\cdot 4=24\ \text{m}^2$.

  Fijate que al multiplicar $6\ \text{m}\cdot 4\ \text{m}$ se multiplican también las unidades: $\text{m}\cdot\text{m}=\text{m}^2$, y por eso el resultado queda en metros cuadrados. El cuadrado es el caso particular en que la base y la altura son iguales al lado $l$, así que $A=l\cdot l=l^2$; un cuadrado de lado $5\ \text{cm}$ tiene $A=5^2=25\ \text{cm}^2$. Si conocés el área, podés invertir las fórmulas: en un rectángulo $h=A/b$, y en un cuadrado $l=\sqrt{A}$.

  Un paralelogramo también tiene área $A=b\cdot h$. Mediante uno o más recortes y traslaciones se puede reacomodar como un rectángulo con la misma base y la misma altura, sin agregar ni quitar superficie. La altura es siempre la distancia perpendicular entre las bases paralelas; no es el lado inclinado. El lado inclinado sí interviene en el perímetro, pero no reemplaza a $h$ en la fórmula del área.

• Área del triángulométodo

  Si duplicás un triángulo y acomodás las dos copias, podés formar un paralelogramo con la misma base $b$ y la misma altura $h$. El paralelogramo tiene área $b\cdot h$ y está compuesto por dos triángulos congruentes; por eso el área de uno es $A=\dfrac{b\cdot h}{2}$. Esta justificación vale para cualquier triángulo, no solo para los rectángulos que aparecen al cortar un rectángulo por su diagonal.

  Acá la altura $h$ no es cualquier lado: es la distancia perpendicular (en ángulo recto) desde un vértice hasta la recta que contiene la base opuesta. Ejemplo: un triángulo de base $6\ \text{m}$ y altura $4\ \text{m}$ tiene $A=\dfrac{6\cdot 4}{2}=\dfrac{24}{2}=12\ \text{m}^2$. Si la cuenta no da un número entero, no hay problema: un triángulo de base $5\ \text{m}$ y altura $3\ \text{m}$ tiene $A=\dfrac{5\cdot 3}{2}=\dfrac{15}{2}=7{,}5\ \text{m}^2$.

  Un trapecio tiene dos bases paralelas, de longitudes $B$ y $b$. Al juntar dos copias iguales se forma un paralelogramo de base $B+b$ y altura $h$, así que el área de un trapecio es $A=\dfrac{(B+b)\cdot h}{2}$. La condición importa: $B$ y $b$ son los lados paralelos y $h$ es la distancia perpendicular entre ellos, no uno de los lados oblicuos.

• Figuras compuestas: descomponer y sumarmétodo

  Muchas superficies reales (una pieza en forma de L, un terreno irregular) no son una sola figura conocida, pero se pueden descomponer en rectángulos, triángulos, trapecios, paralelogramos o círculos. Si la figura está formada por piezas sin superposición, calculás cada área y las sumás. Si es una figura grande con un recorte o un hueco, calculás el área exterior y restás el área quitada.

  Por ejemplo, un terreno en forma de L se puede pensar como dos rectángulos: uno de $8\ \text{m}\times 3\ \text{m}=24\ \text{m}^2$ y otro de $3\ \text{m}\times 4\ \text{m}=12\ \text{m}^2$; el área total es $24+12=36\ \text{m}^2$. Otra descripción posible sería tomar el rectángulo exterior y restar el rectángulo que falta: ambos caminos deben dar lo mismo. El perímetro, en cambio, se obtiene recorriendo el contorno real, incluidos los bordes de un entrante pero sin contar líneas internas donde se unieron piezas.

  Si aparece una parte circular, distinguí qué región se suma o se resta y usá $A=\pi r^2$ para el círculo completo; una mitad aporta $\frac{1}{2}\pi r^2$. Usá el valor de $\pi$ indicado o el de la calculadora y redondeá recién al final. Este tema mide figuras con longitudes ya determinadas; construir o transformar figuras mediante una escala pertenece a Semejanza.

Ejemplos resueltos

• Una cancha de fútbol 5 tiene forma rectangular y mide $30\ \text{m}$ de largo por $20\ \text{m}$ de ancho. Queremos dos cosas: el alambre para cercarla (perímetro) y el césped para cubrirla (área). Perímetro: sumamos los cuatro lados. Como los lados opuestos son iguales, conviene usar $P=2\cdot(30+20)=2\cdot 50=100\ \text{m}$. Hacen falta $100\ \text{m}$ de alambre. Área: multiplicamos base por altura, $A=30\cdot 20=600\ \text{m}^2$. Hacen falta $600\ \text{m}^2$ de césped. Fijate que el perímetro quedó en metros ($100\ \text{m}$) y el área en metros cuadrados ($600\ \text{m}^2$): son dos medidas distintas de la misma cancha.
• Un cartel tiene forma de triángulo con base $5\ \text{m}$ y altura $3\ \text{m}$. ¿Cuánta superficie hay que pintar? Usamos la fórmula del área del triángulo: $A=\dfrac{b\cdot h}{2}=\dfrac{5\cdot 3}{2}=\dfrac{15}{2}$. Hacemos la división: $\dfrac{15}{2}=7{,}5$. La superficie a pintar es $7{,}5\ \text{m}^2$. Ojo: la altura que usamos ($3\ \text{m}$) es la distancia perpendicular a la base, no la medida del lado inclinado del triángulo.
• Un salón tiene forma de L. Lo pensamos como dos rectángulos: el rectángulo de abajo mide $8\ \text{m}\times 3\ \text{m}$ y, apoyado sobre su parte izquierda, hay otro rectángulo de $3\ \text{m}\times 4\ \text{m}$. Queremos el área del piso para comprar cerámicos. Área del rectángulo de abajo: $8\cdot 3=24\ \text{m}^2$. Área del rectángulo de arriba: $3\cdot 4=12\ \text{m}^2$. Área total: sumamos los dos pedazos, $24+12=36\ \text{m}^2$. Hacen falta cerámicos para cubrir $36\ \text{m}^2$.
• Un cartel con forma de paralelogramo tiene base de $9\ \text{cm}$, altura perpendicular de $4\ \text{cm}$ y lado oblicuo de $5\ \text{cm}$. Para la superficie usamos base por altura: $A=9\cdot4=36\ \text{cm}^2$. Para el borde sí usamos los lados: $P=2\cdot(9+5)=28\ \text{cm}$. El lado oblicuo no reemplaza a la altura en el área.
• Un trapecio tiene bases paralelas de $12\ \text{m}$ y $7\ \text{m}$, separadas por una altura perpendicular de $4\ \text{m}$. Su área es $A=\dfrac{(12+7)\cdot4}{2}=\dfrac{76}{2}=38\ \text{m}^2$.
• Una mesa circular tiene radio de $3\ \text{m}$. La superficie de la tapa es $A=\pi\cdot3^2=9\pi\ \text{m}^2\approx28{,}27\ \text{m}^2$. La longitud de su borde es $C=2\pi\cdot3=6\pi\ \text{m}\approx18{,}85\ \text{m}$. Aunque usan el mismo radio, una respuesta queda en unidades cuadradas y la otra en unidades lineales.
• Convertir $2{,}4\ \text{m}^2$ a centímetros cuadrados. Como $1\ \text{m}^2=10.000\ \text{cm}^2$, multiplicamos $2{,}4\cdot10.000=24.000$. Entonces $2{,}4\ \text{m}^2=24.000\ \text{cm}^2$; multiplicar solo por $100$ convertiría una longitud, no un área.

Errores comunes

• Suma los lados cuando le piden área, o multiplica cuando le piden perímetro.

  Perímetro y área responden preguntas distintas: el contorno (una longitud) y la superficie (un área). Se calculan distinto y dan unidades distintas, así que intercambiarlos entrega un resultado que ni siquiera está en la unidad correcta.

  Cómo corregirlo: Antes de calcular, preguntate qué te piden: si es 'cuánto borde / cuánto alambre / cuánto camino', es perímetro (sumo lados). Si es 'cuánta superficie / cuánto césped / cuánta pintura', es área (multiplico). La unidad final confirma: metros para perímetro, metros cuadrados para área.

• Escribe el área en metros ($\text{m}$) en lugar de metros cuadrados ($\text{m}^2$).

  El área mide superficie, y la superficie se cuenta en cuadraditos de $1\times 1$. Al multiplicar $\text{m}\cdot\text{m}$ la unidad también se multiplica y queda $\text{m}^2$. Un resultado de área escrito en metros lisos está mal expresado.

  Cómo corregirlo: Cuando multiplicás dos longitudes, multiplicá también las unidades: $6\ \text{m}\cdot 4\ \text{m}=24\ \text{m}^2$. Regla fija: perímetro en $\text{m}$, área en $\text{m}^2$; si calculaste área, el cuadradito de la unidad va sí o sí.

• Calcula el área del triángulo como $b\cdot h$, sin dividir por 2.

  Dos copias congruentes del triángulo forman un paralelogramo de igual base y altura. Si no dividís por 2, calculás el área de las dos copias juntas, que es el doble de la del triángulo.

  Cómo corregirlo: Acordate de duplicar el triángulo: el paralelogramo resultante tiene área $b\cdot h$, así que cada copia tiene $A=\dfrac{b\cdot h}{2}$. Primero multiplicás base por altura y recién ahí dividís por 2.

• Usa como altura del triángulo la longitud de un lado inclinado en vez de la altura perpendicular.

  En la fórmula, la altura es la distancia en ángulo recto desde un vértice hasta la base opuesta. Un lado inclinado es más largo que esa distancia perpendicular, así que usarlo infla el área.

  Cómo corregirlo: Identificá la base y buscá la altura que le llega perpendicular, formando ángulo recto (en los dibujos suele venir marcada con el cuadradito de $90^\circ$). Esa es la $h$ que va en $\dfrac{b\cdot h}{2}$, aunque no coincida con ningún lado del triángulo.

• Al pasar de $\text{m}^2$ a $\text{cm}^2$ multiplica por $100$, como si convirtiera metros a centímetros.

  El factor lineal afecta dos dimensiones. Como $1\ \text{m}=100\ \text{cm}$, un metro cuadrado contiene $100\cdot100=10.000$ centímetros cuadrados.

  Cómo corregirlo: Elevá al cuadrado el factor de longitud: $1\ \text{m}^2=(100\ \text{cm})^2=10.000\ \text{cm}^2$. En la escalera métrica de áreas, cada paso vale $100$.

• Usa un lado inclinado como altura de un paralelogramo o de un trapecio.

  Las fórmulas de área necesitan la distancia perpendicular entre las bases paralelas. El lado oblicuo suele ser más largo y no mide esa separación.

  Cómo corregirlo: Marcá primero las bases paralelas y buscá el segmento que forma $90^\circ$ con ellas. Ese segmento es $h$; el lado oblicuo se usa para el perímetro, no como altura salvo que realmente sea perpendicular.

• Reemplaza el diámetro directamente en $A=\pi r^2$ o calcula el área con $2\pi r$.

  $A=\pi r^2$ usa el radio, que es la mitad del diámetro, y mide superficie. $2\pi r$ mide la longitud de la circunferencia, no el área del círculo.

  Cómo corregirlo: Anotá qué te dan y qué te piden. Si te dan $d$, primero calculá $r=d/2$. Para superficie usá $A=\pi r^2$ y unidades cuadradas; para borde, $C=2\pi r$ y unidades lineales.

En resumen