Operaciones con fracciones

La idea

Qué vas a aprender

• Sumar y restar fracciones con el mismo denominadormétodo

  Cuando dos fracciones tienen el mismo denominador, los pedazos ya son del mismo tamaño, así que sumar o restar es directo: operás los numeradores y dejás el denominador tal cual. En símbolos: $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$ y $\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$.

  Por ejemplo, $\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3}{5}$: dos quintos más un quinto son tres quintos, igual que dos monedas de $5 más una son tres monedas de $5. Y para la resta, $\frac{4}{7}-\frac{1}{7}=\frac{3}{7}$.

  Ojo con el detalle clave: el denominador NO se suma. $\frac{1}{6}+\frac{3}{6}=\frac{4}{6}$, nunca $\frac{4}{12}$. Y cuando el resultado se puede simplificar, conviene hacerlo: $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

• Sumar y restar fracciones con distinto denominadormétodo

  Si los denominadores son distintos, los pedazos tienen distinto tamaño y no se pueden juntar así nomás. Primero hay que llevar ambas fracciones a un denominador común, es decir reescribirlas como fracciones equivalentes con el mismo denominador. Lo más práctico es usar el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores.

  Tomemos $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$. El mcm de 2 y 3 es 6. Convertimos cada fracción a sextos: $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$ (multiplico arriba y abajo por 3) y $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$ (por 2). Ahora sí, mismo denominador: $\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$.

  La resta funciona igual: en $\frac{3}{4}-\frac{1}{2}$, el mcm de 4 y 2 es 4, entonces $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$ y $\frac{3}{4}-\frac{2}{4}=\frac{1}{4}$. Regla de oro: no sumes ni restes numeradores hasta que los denominadores sean iguales.

• Multiplicar fraccionesmétodo

  Multiplicar es el caso más fácil y, a la vez, el que más confunde, porque acá NO hace falta denominador común. Se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador: $\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$.

  Por ejemplo, $\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}=\frac{2\cdot 4}{3\cdot 5}=\frac{8}{15}$. La palabra "de" suele esconder una multiplicación: "la mitad de un cuarto" es $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$.

  Cuando se puede, conviene simplificar antes de multiplicar para trabajar con números chicos. En $\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{9}$, el 3 y el 9 se dividen por 3 (quedan 1 y 3) y el 2 y el 4 se dividen por 2 (quedan 1 y 2): queda $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$. Si multiplicabas directo te daba $\frac{6}{36}$, que simplificado también es $\frac{1}{6}$.

• El inverso de una fracciónconcepto

  El inverso (o recíproco) de una fracción es la misma fracción "dada vuelta": se intercambian numerador y denominador. El inverso de $\frac{a}{b}$ es $\frac{b}{a}$ (con $a\neq 0$). Por ejemplo, el inverso de $\frac{2}{3}$ es $\frac{3}{2}$.

  Lo que define al inverso es que, al multiplicarlo por la fracción original, da 1: $\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}=\frac{6}{6}=1$. Un número entero también tiene inverso, porque se puede escribir como fracción con denominador 1: el inverso de $5=\frac{5}{1}$ es $\frac{1}{5}$.

  Parece un detalle menor, pero este concepto es la llave para dividir fracciones, que es lo que viene ahora.

• Dividir fraccionesmétodo

  Dividir dos fracciones se convierte en una multiplicación: se deja igual la primera y se multiplica por el inverso de la segunda. En símbolos, $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$, con $b\neq0$, $d\neq0$ y, además, $c\neq0$ porque el divisor $\frac{c}{d}$ no puede valer cero.

  Por ejemplo, $\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{2}=\frac{15}{8}$. Solo se invierte la segunda fracción. La cuenta $\frac{3}{4}\div\frac{1}{8}$ pregunta cuántos octavos entran en tres cuartos: da $6$, coherente con $\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$.

  Estimá el tamaño antes de aceptar un resultado. Con cantidades positivas, dividir por una fracción entre $0$ y $1$ agranda: $\frac34\div\frac12$ debe ser mayor que $\frac34$, y efectivamente da $\frac32$. Dividir por una fracción mayor que $1$ achica. En cuentas combinadas se respeta la jerarquía: primero agrupaciones, luego multiplicaciones y divisiones, y al final sumas y restas. Referentes como $0$, $\frac12$ y $1$ permiten controlar la plausibilidad sin repetir toda la cuenta.

Ejemplos resueltos

• Suma con distinto denominador (receta). Una receta de budín lleva $\frac{1}{2}$ taza de azúcar para la masa y $\frac{1}{4}$ de taza para la cobertura. ¿Cuánta azúcar en total? Paso 1: los denominadores son 2 y 4, distintos. El mcm de 2 y 4 es 4. Paso 2: convierto a cuartos: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$; $\frac{1}{4}$ ya está en cuartos. Paso 3: sumo los numeradores y dejo el denominador: $\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$. En total lleva $\frac{3}{4}$ de taza de azúcar.
• Resta con distinto denominador (pizza). Sobró $\frac{5}{6}$ de una pizza y tu hermano se come $\frac{1}{3}$. ¿Qué fracción queda? Paso 1: denominadores 6 y 3. El mcm es 6. Paso 2: $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$. Paso 3: $\frac{5}{6}-\frac{2}{6}=\frac{3}{6}$. Paso 4: simplifico: $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. Queda media pizza.
• Multiplicación ('una parte de otra parte'). En un curso, $\frac{3}{4}$ de los alumnos fueron a la excursión y, de esos, $\frac{2}{3}$ llevaron la SUBE cargada. ¿Qué fracción del curso llevó la SUBE cargada? Paso 1: 'de' indica multiplicación: $\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}$. Paso 2: multiplico numeradores y denominadores: $\frac{2\cdot 3}{3\cdot 4}=\frac{6}{12}$. Paso 3: simplifico: $\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$. La mitad del curso llevó la SUBE cargada.
• División (reparto en porciones). Comprás $\frac{3}{4}$ de kg de fideos y querés armar porciones de $\frac{1}{8}$ de kg cada una. ¿Cuántas porciones te salen? Paso 1: es una división: $\frac{3}{4}\div\frac{1}{8}$. Paso 2: dejo la primera y multiplico por el inverso de la segunda: $\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{1}$. Paso 3: $\frac{3\cdot 8}{4\cdot 1}=\frac{24}{4}=6$. Te salen 6 porciones.
• Cuenta combinada (primero la multiplicación). Resolvamos $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}$. Igual que con los números enteros, la multiplicación se hace antes que la suma. Paso 1: multiplico: $\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$. Paso 2: ahora sumo, con denominador común 4: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$, entonces $\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$. El resultado es $\frac{3}{4}$.

Errores comunes

• Suma (o resta) también los denominadores, por ejemplo $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{5}$ o $\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3}{10}$.

  El denominador indica el tamaño de cada pedazo, no una cantidad que se sume. Además el resultado no cierra: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ tiene que ser mayor que $\frac{1}{2}$, pero $\frac{2}{5}$ es menor que $\frac{1}{2}$.

  Cómo corregirlo: El denominador nunca se suma. Si los denominadores ya son iguales, dejalo tal cual y sumá solo los numeradores. Si son distintos, primero llevá ambas fracciones a un denominador común y recién ahí operá los numeradores: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$.

• Aplica la regla de la suma a la multiplicación: busca denominador común antes de multiplicar.

  En la multiplicación no hacen falta pedazos del mismo tamaño; se multiplica directo numerador por numerador y denominador por denominador. Buscar denominador común es trabajo de más y suele terminar en un error.

  Cómo corregirlo: Separá las reglas: el denominador común es solo para sumar y restar. Para multiplicar, andá derecho: $\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}=\frac{8}{15}$.

• Divide multiplicando derecho, sin dar vuelta ninguna fracción: $\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}=\frac{6}{20}$.

  Dividir por una fracción no es lo mismo que multiplicar por ella. Dividir por $\frac{2}{5}$ equivale a multiplicar por su inverso $\frac{5}{2}$; sin invertir, el resultado queda mal.

  Cómo corregirlo: Regla fija: dejá igual la primera fracción y multiplicá por el inverso de la segunda. $\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{2}=\frac{15}{8}$.

• Al dividir, da vuelta la primera fracción en vez de la segunda: $\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}=\frac{4}{3}\cdot\frac{2}{5}$.

  Solo se invierte el divisor, es decir la fracción que está después del signo de dividir. Invertir la primera cambia por completo la cuenta y da otro resultado.

  Cómo corregirlo: Identificá cuál es la que divide (la de la derecha) y dala vuelta solo a esa; la primera queda intacta: $\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{2}$.

• Deja el resultado sin simplificar, por ejemplo $\frac{4}{6}$ o $\frac{6}{12}$.

  No es un error de cuenta, pero la fracción no queda en su forma más simple, que es como se espera dar la respuesta y como se compara con el resultado correcto.

  Cómo corregirlo: Antes de cerrar, fijate si numerador y denominador tienen un divisor común y dividí ambos por él: $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$, $\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.

• Intenta dividir por una fracción equivalente a cero, como $\frac34\div\frac05$.

  $\frac05=0$ y la división por cero no está definida. Su supuesto inverso tendría denominador cero.

  Cómo corregirlo: Antes de invertir el divisor, comprobá que su numerador sea distinto de cero. Si el divisor vale cero, la operación no tiene resultado.

En resumen