Razones y proporciones

La idea

Qué vas a aprender

• Interpretar una razón y respetar su ordenconcepto

  Una razón compara dos cantidades mediante un cociente. Si un curso tiene 12 varones y 18 mujeres, la razón de varones a mujeres es $12:18=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$: por cada 2 varones hay 3 mujeres. La razón inversa, mujeres a varones, es $18:12=\frac{3}{2}$ y responde otra pregunta.

  Una razón puede comparar parte con parte, parte con total o cantidades con unidades distintas. Por eso hay que nombrar qué ocupa cada lugar y conservar el orden. La razón de 12 varones respecto de 30 estudiantes es $12:30=2:5$, distinta de la razón entre varones y mujeres.

• Reconocer razones equivalentes y proporcionesconcepto

  Dos razones son equivalentes cuando tienen el mismo cociente. Una proporción es una igualdad entre razones: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, con denominadores distintos de cero. Por ejemplo, $2:5$ y $4:10$ forman una proporción porque ambas expresan la misma comparación.

  Podés obtener razones equivalentes multiplicando o dividiendo los dos términos por el mismo número distinto de cero. Así, $2:5$, $4:10$ y $6:15$ pertenecen a la misma familia. Esto describe equivalencia entre comparaciones; todavía no supone que una magnitud varíe con otra en una tabla completa.

• Verificar una proporción con productos cruzadosmétodo

  En $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, la igualdad se cumple exactamente cuando $a\cdot d=b\cdot c$. Esta propiedad permite verificar una proporción sin aproximar decimales. Por ejemplo, $\frac{4}{6}$ y $\frac{10}{15}$ son equivalentes porque $4\cdot15=60$ y $6\cdot10=60$.

  También permite completar una razón equivalente aislada. Si $3:5=x:20$, entonces $5x=3\cdot20$ y $x=12$. Acá se completa una igualdad entre dos razones; aplicar ese cálculo a relaciones entre magnitudes requiere primero justificar que existe proporcionalidad, contenido del tema siguiente.

• Comparar tasas mediante una razón unitariamétodo

  Cuando una razón relaciona cantidades con unidades distintas se llama tasa: kilómetros por hora, pesos por kilogramo o goles por partido. Para comparar tasas conviene reducirlas a una misma unidad. Si un paquete cuesta 1200 pesos por 3 unidades, su precio unitario es $1200\div3=400$ pesos por unidad. Otro de 1900 por 5 cuesta $380$ por unidad, por lo que conviene el segundo.

  La unidad debe acompañar el resultado: 400 pesos por alfajor no es lo mismo que 400 alfajores por peso. La razón unitaria compara situaciones observadas sin asumir por sí sola cómo evolucionan todas las cantidades.

• Repartir un total según una razónmétodo

  Repartir 5000 en razón $2:3$ significa formar $2+3=5$ partes iguales. Cada parte vale $5000\div5=1000$. A la primera persona le corresponden $2\cdot1000=2000$ y a la segunda $3\cdot1000=3000$.

  El control tiene dos pasos: las partes deben sumar el total y su razón simplificada debe coincidir con la indicada. En el ejemplo, $2000+3000=5000$ y $2000:3000=2:3$.

Ejemplos resueltos

• Orden de una razón. En un equipo hay 8 defensoras y 12 jugadoras que ocupan otros puestos. La razón de defensoras a otras jugadoras es $8:12=2:3$. La razón de otras jugadoras a defensoras es $12:8=3:2$: contiene los mismos datos, pero responde la comparación inversa.
• Verificar una proporción. Para decidir si $\frac{4}{6}=\frac{10}{15}$, calculamos productos cruzados: $4\cdot15=60$ y $6\cdot10=60$. Como coinciden, las razones son equivalentes.
• Comparar tasas. Un paquete de 4 cuadernos cuesta 3000 pesos y uno de 6 cuesta 4200. El primero cuesta $3000\div4=750$ pesos por cuaderno; el segundo, $4200\div6=700$. Al comparar la misma unidad, conviene el segundo.
• Reparto proporcional. Para repartir 84 puntos en razón $3:4$, contamos $3+4=7$ partes. Cada parte vale $84\div7=12$; los valores son $3\cdot12=36$ y $4\cdot12=48$. Suman 84 y $36:48=3:4$.

Errores comunes

• Escribe la razón al revés respecto de lo que pide el enunciado.

  $a:b$ y $b:a$ comparan en sentidos opuestos y, salvo casos especiales, tienen valores distintos.

  Cómo corregirlo: Escribí primero la cantidad nombrada antes de «respecto de» o «a», y anotá las unidades junto a cada término.

• Interpreta una razón entre dos partes como si fuera una fracción del total.

  En una razón $2:3$ entre dos grupos, el total contiene $2+3=5$ partes; el primer grupo representa $2/5$ del total, no $2/3$.

  Cómo corregirlo: Identificá si se compara parte con parte o parte con total. Para pasar de $2:3$ a fracciones del total, usá $2/(2+3)$ y $3/(2+3)$.

• Para construir una razón equivalente suma la misma cantidad a ambos términos.

  Sumar el mismo número no conserva el cociente: $2:5$ vale $0{,}4$, pero $4:7$ no.

  Cómo corregirlo: Multiplicá o dividí ambos términos por el mismo factor: $2:5=4:10$.

• Al comparar precios calcula cantidad dividida por precio cuando necesita precio por unidad.

  La razón inversa tiene otra unidad y no responde cuánto cuesta cada artículo.

  Cómo corregirlo: Escribí primero la unidad buscada: pesos por unidad significa precio dividido por cantidad.

En resumen