Fracciones

La idea

Qué vas a aprender

• Interpretar numerador, denominador y cocienteconcepto

  Una fracción se escribe $\frac{a}{b}$, con $b\neq 0$. En el alcance no negativo de este tema, $a$ y $b$ son naturales y $b>0$: el denominador indica en cuántas partes iguales se divide la unidad y el numerador cuántas se consideran. Por ejemplo, $\frac{3}{4}$ representa tres partes cuando la unidad fue dividida en cuatro partes iguales. También representa el cociente $3\div 4$ y el resultado de repartir 3 unidades entre 4 personas. Las fracciones con signo se estudian luego en Racionales.

  Bajo estas condiciones, si $a=0$, la fracción vale $0$; si $0<a<b$, es propia y cumple $0<\frac{a}{b}<1$; si $a=b$, vale $1$; y si $a>b$, es impropia y supera $1$. Si $a$ es múltiplo de $b$, representa un número entero. Así, $\frac{3}{4}<1$, $\frac{5}{4}>1$ y $\frac{8}{4}=2$.

• Construir fracciones equivalentes y simplificarmétodo

  Dos fracciones son equivalentes cuando representan el mismo número. Multiplicar numerador y denominador por un mismo número distinto de cero conserva el cociente: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}$. El camino inverso es simplificar: dividir numerador y denominador por un divisor común. Por ejemplo, $\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$ al dividir ambos por 6.

  Una fracción es irreducible cuando numerador y denominador no tienen divisores comunes mayores que 1. Amplificar cambia la escritura, no la cantidad; simplificar permite reconocer más rápido equivalencias y comparar.

• Representar, comparar y ordenar fraccionesmétodo

  Toda fracción corresponde a un punto de la recta numérica. Para ubicar $\frac{5}{4}$, dividís cada unidad en cuartos y contás cinco pasos desde 0: queda entre 1 y 2. La recta permite ver que una fracción impropia no es un dibujo extraño, sino un número como cualquier otro.

  Para comparar fracciones no negativas con denominadores positivos podés buscar escrituras equivalentes con igual denominador, usar un referente como $\frac{1}{2}$ o pasar a decimal. Por ejemplo, $\frac{2}{3}=\frac{10}{15}$ y $\frac{3}{5}=\frac{9}{15}$, entonces $\frac{2}{3}>\frac{3}{5}$. Si tienen igual numerador positivo y denominadores positivos, la de menor denominador es mayor porque cada parte es más grande.

• Relacionar fracción, decimal y parte de una cantidadmétodo

  Como $\frac{a}{b}$ es el cociente $a\div b$, una fracción se convierte en decimal dividiendo: $\frac{3}{4}=0{,}75$. Para convertir un decimal finito en fracción, se usa 10, 100, 1000 o la potencia de 10 correspondiente y luego se simplifica: $0{,}25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$.

  Una fracción también puede actuar como descripción de una parte de un total. Para hallar $\frac{2}{5}$ de 30, se divide el total en 5 partes iguales ($30\div5=6$) y se toman 2 ($2\cdot6=12$). Esta interpretación prepara la multiplicación formal de fracciones, que se estudia en el tema siguiente.

Ejemplos resueltos

• Equivalencia y simplificación. Para simplificar $\frac{18}{24}$ buscamos un divisor común. Como 18 y 24 son divisibles por 6, dividimos ambos: $\frac{18\div6}{24\div6}=\frac{3}{4}$. Las dos escrituras nombran el mismo punto de la recta numérica.
• Orden en la recta. Para comparar $\frac{2}{3}$ y $\frac{3}{5}$ usamos denominador 15: $\frac{2}{3}=\frac{10}{15}$ y $\frac{3}{5}=\frac{9}{15}$. Como diez quinceavos está a la derecha de nueve quinceavos, $\frac{2}{3}>\frac{3}{5}$.
• Tres escrituras de la misma cantidad. $\frac{3}{4}$ significa $3\div4$, que da $0{,}75$. A la inversa, $0{,}75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}$. En una botella de 1 litro, ambas escrituras indican 750 mililitros.
• Parte de un total. En un curso de 30 estudiantes, $\frac{2}{5}$ practica un deporte. Dividimos 30 en 5 grupos iguales: cada grupo tiene 6. Tomamos 2 grupos: $2\cdot6=12$. Son 12 estudiantes.

Errores comunes

• Interpreta el denominador como la cantidad de partes tomadas y el numerador como el total de partes.

  En $\frac{3}{4}$ la unidad se divide en 4 partes iguales y se toman 3. Invertir esos roles representa otra cantidad: $\frac{4}{3}$.

  Cómo corregirlo: Leé de abajo hacia arriba: el denominador define el tamaño de las partes y el numerador cuenta cuántas se toman.

• Cree que $\frac{1}{8}$ es mayor que $\frac{1}{4}$ porque 8 es mayor que 4.

  Cuanto más grande es el denominador, en más partes se divide la misma unidad y cada parte resulta más pequeña.

  Cómo corregirlo: Compará en la recta o con una unidad dividida: un cuarto es mayor que un octavo, así que $\frac{1}{4}>\frac{1}{8}$.

• Para obtener una equivalente a $\frac{1}{2}$ multiplica solo el numerador y escribe $\frac{2}{2}$.

  $\frac{2}{2}=1$, por lo que cambió el valor en vez de cambiar solamente su escritura.

  Cómo corregirlo: Multiplicá o dividí numerador y denominador por el mismo número: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$.

• Ubica cualquier fracción entre 0 y 1, incluso cuando el numerador supera al denominador.

  Una fracción impropia representa una cantidad mayor que una unidad. Por ejemplo, $\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$.

  Cómo corregirlo: Compará numerador y denominador antes de ubicar: si el numerador es mayor, avanzá más allá de 1 en la recta.

En resumen