Semejanza y Teorema de Thales

La idea

Qué vas a aprender

• Qué significa que dos figuras sean semejantesconcepto

  Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma: sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. "Proporcionales" quiere decir que si dividís cada lado de una figura por el lado que le corresponde en la otra, siempre te da el mismo número. Ese número fijo se llama razón de semejanza y se anota $k$.

  Por ejemplo, si un triángulo tiene lados de $3$, $4$ y $5$ cm y otro tiene $6$, $8$ y $10$ cm, dividís lado con lado: $\frac{6}{3}=2$, $\frac{8}{4}=2$, $\frac{10}{5}=2$. Como siempre da $2$, son semejantes con razón $k=2$: el segundo es el doble del primero. La semejanza se escribe con el símbolo $\sim$. Si $k=1$, las figuras semejantes tienen además el mismo tamaño: son congruentes.

  Conviene separar tres ideas. La proporcionalidad directa es una relación numérica entre magnitudes cuyo cociente se mantiene; puede existir sin que haya figuras. La escala es una razón declarada entre una representación y el objeto real, por ejemplo $1:100$. La semejanza es una relación geométrica: exige correspondencia, ángulos iguales y un único factor para todos los lados. Una escala uniforme produce figuras semejantes, pero encontrar una sola pareja de longitudes proporcionales no alcanza para demostrar semejanza.

  Ojo con otro detalle: las dos condiciones generales deben cumplirse a la vez. Un cuadrado y un rectángulo alargado tienen todos sus ángulos de $90^\circ$, pero no son semejantes, porque sus lados no guardan la misma proporción. Los ángulos iguales solos no alcanzan para figuras cualesquiera; el atajo angular de AA es una propiedad especial de los triángulos.

• El criterio AA: en triángulos, alcanza con dos ángulosconcepto

  En los triángulos hay tres criterios que permiten demostrar semejanza sin revisar las seis partes. El primero es ángulo-ángulo (AA): si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos del otro, los triángulos son semejantes. ¿Por qué alcanzan dos? Porque los ángulos de todo triángulo suman $180^\circ$; si dos coinciden, el tercero también. Por ejemplo, si aparecen $50^\circ$ y $60^\circ$, el tercero es $70^\circ$ en ambos.

  El criterio lado-ángulo-lado (LAL) exige dos pares de lados correspondientes proporcionales y que los ángulos comprendidos entre esos lados sean iguales. El criterio lado-lado-lado (LLL) exige que los tres pares de lados correspondientes sean proporcionales con el mismo factor. En LAL, el ángulo debe ser justamente el que queda entre los dos lados comparados; en LLL, no alcanza con verificar solo dos razones.

  Antes de aplicar cualquier criterio, fijá la correspondencia entre vértices: el orden de una escritura como $ABC\sim DEF$ afirma que $A$ corresponde a $D$, $B$ a $E$ y $C$ a $F$. Una vez demostrada la semejanza por AA, LAL o LLL, todos los ángulos correspondientes son iguales y todos los lados correspondientes quedan en la misma razón, aunque los tamaños sean distintos.

• Escalar longitudes, perímetros y áreasmétodo

  Cuando dos figuras son semejantes, los lados correspondientes se relacionan mediante una razón $k$. Si un lado de 6 cm pasa a 9 cm, entonces $k=9/6=1{,}5$ y cualquier otra longitud correspondiente se multiplica por $1{,}5$. Los perímetros también se multiplican por $k$, porque son sumas de longitudes.

  Las áreas cambian de otra manera: se multiplican por $k^2$, porque intervienen dos dimensiones. Si $k=3$, los lados y el perímetro se triplican, pero el área se multiplica por $3^2=9$. Por ejemplo, un área de 12 cm² pasa a $12\cdot9=108$ cm².

  Para lados desconocidos, primero identificás correspondencias, después armás razones en el mismo sentido y despejás. A un lado de 6 cm que corresponde a 9 cm y uno de 10 cm le corresponde $x$: $9/6=x/10$, entonces $x=15$ cm. Una escala $1:n$ es una aplicación particular: $1$ unidad en el dibujo representa $n$ unidades reales, medidas en la misma unidad. Del dibujo a la realidad multiplicás por $n$; de la realidad al dibujo dividís por $n$. Ese cálculo usa una razón de longitudes; el factor de área sería $n^2$.

• El Teorema de Thalesconcepto

  El Teorema de Thales dice: si tres (o más) rectas paralelas cortan a dos rectas transversales, los segmentos que quedan determinados en una transversal son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra.

  En criollo: imaginá dos reglas inclinadas (las transversales) atravesadas por varias líneas paralelas, como los renglones de una hoja. Cada renglón corta un pedacito en cada regla. El teorema garantiza que esos pedacitos guardan la misma proporción en las dos reglas. Si en una transversal los segmentos consecutivos miden $AB$ y $BC$, y en la otra los correspondientes miden $A'B'$ y $B'C'$, entonces $\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}$. La condición es innegociable: sin paralelas no hay proporción garantizada.

  Thales también permite construir, no solo calcular. Para dividir un segmento $AB$ en $n$ partes iguales, trazá desde $A$ una semirrecta auxiliar, marcá sobre ella $n$ pasos iguales $P_1,\ldots,P_n$, uní $P_n$ con $B$ y dibujá por cada $P_i$ anterior una paralela a $P_nB$. Los puntos donde esas paralelas cortan $AB$ lo dividen en $n$ partes iguales.

  Para construir una copia a escala del triángulo $ABC$ desde el vértice $A$, ubicá $B'$ sobre el rayo $AB$ de modo que $AB'=k\,AB$. Por $B'$ trazá una paralela a $BC$; donde corte al rayo $AC$, marcá $C'$. Por AA, $AB'C'\sim ABC$, y Thales garantiza $\frac{AB'}{AB}=\frac{AC'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}=k$. Es una ampliación si $k>1$ y una reducción si $0<k<1$. La longitud $AB'$ también puede construirse con una semirrecta auxiliar y paralelas, sin medir por separado los otros lados.

• Medir lo inalcanzable con triángulos semejantesmétodo

  Una de las cosas más lindas de la semejanza es que te deja medir cosas a las que no llegás: la altura de un árbol, de un edificio o de un mástil. El truco está en el sol: a la misma hora del día, los rayos llegan con la misma inclinación a todos lados. Si el objeto de referencia y el objeto buscado están verticales y sus sombras se miden sobre un mismo suelo plano, los triángulos que forman tienen los mismos ángulos y, por AA, son semejantes. Si el terreno tiene pendientes diferentes o el palo está inclinado, la proporción no queda garantizada.

  Eso te permite armar una proporción entre altura y sombra. Como los dos triángulos son semejantes, se cumple $\frac{\text{altura}_1}{\text{sombra}_1}=\frac{\text{altura}_2}{\text{sombra}_2}$. Medís una altura y una sombra que sí podés medir (las tuyas, o las de un palo clavado en el piso), medís la sombra de lo que no alcanzás, y despejás la altura que falta.

  El mismo razonamiento, apoyado en Thales, sirve para calcular el ancho de un río o una distancia en un plano: siempre que aparezcan triángulos semejantes o rectas paralelas, una proporción resuelve lo que la cinta métrica no alcanza.

Ejemplos resueltos

• Dos triángulos $ABC$ y $DEF$ tienen $\angle A=\angle D=40^\circ$ y $\angle B=\angle E=60^\circ$. Se sabe que $AB=8$ cm y su lado correspondiente $DE=12$ cm; además $BC=5$ cm. ¿Cuánto mide el lado $EF$, que se corresponde con $BC$? Paso 1 — Semejanza: como los triángulos tienen dos ángulos iguales, por el criterio AA son semejantes, $ABC\sim DEF$. (El tercer ángulo también coincide: $180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ$.) Paso 2 — Correspondencia: al ángulo $A$ le corresponde el $D$, al $B$ el $E$ y al $C$ el $F$. Entonces el lado $AB$ se corresponde con $DE$, y el lado $BC$ con $EF$. Paso 3 — Proporción y despeje: igualo las razones de lados correspondientes, $\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}$, o sea $\frac{12}{8}=\frac{EF}{5}$. Multiplico en cruz: $8\cdot EF=12\cdot 5=60$, entonces $EF=\frac{60}{8}=7{,}5$ cm.
• Parado al sol, Tomás mide $1{,}70$ m y su sombra mide $2$ m. En ese mismo momento, un árbol del patio proyecta una sombra de $12$ m. ¿Cuánto mide el árbol? Como es la misma hora, los rayos del sol llegan con la misma inclinación: el triángulo que forma Tomás con su sombra y el que forma el árbol con la suya tienen los mismos ángulos, así que son semejantes (criterio AA). Por eso la altura y la sombra guardan la misma proporción en los dos. Planteo $\frac{\text{altura}}{\text{sombra}}$ igual en ambos: $\frac{1{,}70}{2}=\frac{h}{12}$. Despejo multiplicando en cruz: $2\cdot h=1{,}70\cdot 12=20{,}4$, entonces $h=\frac{20{,}4}{2}=10{,}2$ m. El árbol mide $10{,}2$ metros, y no tuvimos que treparnos ni una rama.
• Tres rectas paralelas cortan a dos transversales. Sobre la primera transversal quedan determinados dos segmentos consecutivos: $AB=4$ cm y $BC=6$ cm. Sobre la segunda transversal, el segmento correspondiente a $AB$ es $A'B'=6$ cm. ¿Cuánto mide $B'C'$? Como las rectas que hacen los cortes son paralelas, se aplica el Teorema de Thales: los segmentos correspondientes son proporcionales, $\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}$. Reemplazo los datos: $\frac{4}{6}=\frac{6}{B'C'}$. Multiplico en cruz: $4\cdot B'C'=6\cdot 6=36$, entonces $B'C'=\frac{36}{4}=9$ cm.
• Escala de área. Dos triángulos semejantes tienen razón $k=2$ del grande respecto del chico. Si el área del chico es 15 cm², la del grande no es 30: se multiplica por $k^2=4$. Entonces $15\cdot4=60$ cm². En cambio, cualquier lado y el perímetro sí se multiplican solamente por 2.
• Criterios adicionales. Un triángulo tiene dos lados de $4$ cm y $6$ cm con un ángulo comprendido de $55^\circ$; otro tiene los lados correspondientes de $6$ cm y $9$ cm con el mismo ángulo comprendido. Como $6/4=9/6=1{,}5$, son semejantes por LAL con $k=1{,}5$. En otro par, los lados son $5$, $7$, $8$ y $10$, $14$, $16$: las tres razones valen $2$, así que son semejantes por LLL.
• Un plano usa escala $1:2500$ y una calle mide $3{,}2$ cm en el dibujo. La longitud real es $3{,}2\cdot2500=8000$ cm, que equivale a $80$ m. La escala indica cómo convertir longitudes correspondientes; la semejanza del plano con la zona supone que ese mismo factor se aplicó uniformemente en todas las direcciones.

Errores comunes

• Cree que si los lados se duplican, el área también se duplica.

  La razón de semejanza multiplica los lados, pero el área crece al cuadrado de esa razón. Si $k=2$, cada lado se duplica, pero el área se hace $2^2=4$ veces más grande, no el doble.

  Cómo corregirlo: Separá dos ideas: los lados y el perímetro se multiplican por $k$; el área se multiplica por $k^2$. Comprobalo con un cuadrado de lado $2$ (área $4$) y otro de lado $4$ (área $16$): el lado se duplicó, pero el área se cuadruplicó.

• Al armar la proporción, divide lados que no se corresponden entre sí.

  La igualdad de razones solo vale entre lados correspondientes, los que ocupan la misma posición respecto de los ángulos iguales. Si emparejás un lado con otro cualquiera, la proporción es falsa y el resultado sale mal.

  Cómo corregirlo: Antes de dividir, marcá qué ángulo se corresponde con cuál y ubicá cada lado por los ángulos que lo tocan. El lado opuesto a un ángulo se corresponde con el lado opuesto al ángulo igual del otro triángulo.

• Usa el Teorema de Thales aunque las rectas que cortan no sean paralelas.

  El paralelismo es la condición que garantiza la proporción. Si las rectas que cruzan a las transversales no son paralelas, los segmentos no tienen por qué guardar ninguna proporción, y la cuenta no representa nada.

  Cómo corregirlo: Antes de escribir $\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}$, confirmá en el enunciado o en el dibujo que las rectas de los cortes están marcadas como paralelas. Sin ese dato, Thales no se aplica.

• Arma la proporción con una razón al derecho y la otra al revés.

  Si un lado de la igualdad va "grande sobre chico" y el otro va "chico sobre grande", la proporción deja de ser cierta. Las dos fracciones tienen que estar ordenadas en el mismo sentido.

  Cómo corregirlo: Elegí un orden y mantenelo en las dos fracciones: $\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}$ está bien; $\frac{AB}{BC}=\frac{B'C'}{A'B'}$ está invertida. Un truco de control: escribí siempre el segmento "de arriba" de cada transversal en el numerador.

• Concluye que dos figuras son semejantes porque encontró una sola pareja de lados proporcionales, o usa una escala $1:n$ sin distinguir qué sentido está convirtiendo.

  Una proporcionalidad aislada no garantiza la misma forma. La semejanza exige correspondencias y un único factor para todos los lados, además de ángulos correspondientes iguales; la escala, por su parte, declara una dirección entre dibujo y realidad.

  Cómo corregirlo: Identificá primero si trabajás con una relación numérica, una escala o dos figuras semejantes. En escala $1:n$, multiplicá por $n$ del dibujo a la realidad y dividí en el sentido inverso. Para demostrar semejanza, usá un criterio válido.

• Usa LAL con un ángulo que no está comprendido entre los lados comparados, o declara LLL después de comprobar solo dos razones.

  Cada criterio incluye datos precisos que fijan la forma. Un ángulo en otra posición o una tercera razón desconocida todavía permiten triángulos no semejantes.

  Cómo corregirlo: En LAL, marcá los dos lados y verificá que el ángulo igual sea el que queda entre ellos. En LLL, calculá las tres razones en la misma correspondencia y comprobá que den el mismo $k$.

En resumen