Ángulos y triángulos

La idea

Qué vas a aprender

• Qué es un ángulo y cómo se mideconcepto

  Un ángulo es la abertura que queda entre dos semirrectas que parten de un mismo punto. Ese punto se llama vértice y las semirrectas son los lados del ángulo. Se anota con el símbolo $\angle$ o con una letra griega como $\alpha$ (alfa), $\beta$ (beta) o $\gamma$ (gamma). Lo que se mide es la abertura, no el largo de los lados: dos ángulos con lados más cortos o más largos pero igual abertura miden exactamente lo mismo.

  La unidad de medida es el grado, que se escribe con un pequeño círculo arriba. Una vuelta completa son $360^\circ$, media vuelta $180^\circ$ y un cuarto de vuelta $90^\circ$. El instrumento para medirlos es el transportador.

  Según su abertura, los ángulos se clasifican en cuatro tipos: agudo, cuando mide menos de $90^\circ$ (o sea $0^\circ < \alpha < 90^\circ$); recto, cuando mide exactamente $90^\circ$ (sus lados son perpendiculares, como la esquina de una hoja); obtuso, cuando está entre $90^\circ$ y $180^\circ$ (o sea $90^\circ < \alpha < 180^\circ$); y llano, cuando mide $180^\circ$ y sus dos lados quedan alineados formando una recta.

• Ángulos complementarios y suplementariosconcepto

  Dos ángulos son complementarios cuando entre los dos suman $90^\circ$, y son suplementarios cuando suman $180^\circ$. Un recurso para no confundirlos: el Suplemento es el más grande (llega hasta la recta, $180^\circ$) y el Complemento es el más chico (llega hasta el ángulo recto, $90^\circ$).

  Si conocés un ángulo, sacar su complemento o su suplemento es simplemente una resta. El complemento de $\alpha$ es $90^\circ - \alpha$, y el suplemento es $180^\circ - \alpha$. Por ejemplo, el complemento de $30^\circ$ es $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$, y su suplemento es $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

  Ojo con un detalle: un ángulo obtuso (mayor que $90^\circ$) no tiene complemento, porque ya se pasó de los $90^\circ$ y no hay nada que sumarle para llegar; pero sí tiene suplemento, mientras sea menor que $180^\circ$.

• Ángulos adyacentes y opuestos por el vérticeconcepto

  Cuando dos rectas se cruzan, en el punto de cruce se forman cuatro ángulos, y entre ellos hay dos relaciones muy útiles. Dos ángulos son adyacentes cuando comparten el vértice y un lado, y sus otros dos lados forman una recta; por eso los ángulos adyacentes son suplementarios: suman $180^\circ$. Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando están enfrentados: no comparten ningún lado, y cada lado de uno es la prolongación de un lado del otro.

  La propiedad clave es esta: los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Así, si al cruzarse dos rectas uno de los ángulos mide $70^\circ$, el que está enfrentado también mide $70^\circ$, y los otros dos (adyacentes al primero) miden $180^\circ-70^\circ=110^\circ$ cada uno. Con un solo ángulo conocido quedan determinados los cuatro.

  Ahora supongamos que una recta transversal corta a dos rectas paralelas. Los ángulos correspondientes —los que ocupan la misma posición en cada cruce— son iguales. También son iguales los alternos internos, ubicados entre las paralelas y a lados opuestos de la transversal, y los alternos externos. En cambio, los interiores del mismo lado de la transversal son suplementarios: suman $180^\circ$. Estas relaciones se combinan con adyacentes y opuestos por el vértice para hallar todos los ángulos desde uno solo. La condición de paralelismo es indispensable: si las dos rectas no son paralelas, solo siguen garantizadas las relaciones locales de cada cruce, no la igualdad entre un cruce y el otro.

• Clasificar triángulos por lados y por ángulosmétodo

  Un triángulo es un polígono de tres lados y tres ángulos. Se puede clasificar de dos maneras distintas que conviven al mismo tiempo: por sus lados y por sus ángulos.

  Por sus lados: equilátero si tiene los tres lados iguales, isósceles si tiene dos lados iguales (y uno distinto), y escaleno si los tres lados son distintos. Por sus ángulos: acutángulo si sus tres ángulos son agudos (los tres menores que $90^\circ$), rectángulo si tiene un ángulo recto ($90^\circ$), y obtusángulo si tiene un ángulo obtuso (mayor que $90^\circ$). Las dos clasificaciones no compiten: cada triángulo tiene un nombre por lados y otro por ángulos a la vez.

  Dos triángulos son congruentes cuando tienen el mismo tamaño y la misma forma: al superponerlos, sus lados y ángulos correspondientes coinciden. No hace falta medir las seis partes para demostrarlo. Alcanzan criterios de congruencia: LLL, si coinciden los tres pares de lados; LAL, si coinciden dos pares de lados y el ángulo comprendido entre ellos; y ALA, si coinciden dos pares de ángulos y el lado comprendido. El orden y la correspondencia importan: en LAL no sirve cualquier ángulo. Tres ángulos iguales (AAA) fijan la forma pero no el tamaño, así que garantizan semejanza, no congruencia.

  La congruencia también fundamenta propiedades de los isósceles. Si dividís un isósceles desde el vértice principal hasta el punto medio de la base, quedan dos triángulos congruentes por LLL; por eso los ángulos opuestos a los lados iguales —los ángulos de la base— son iguales. También vale el recíproco: si dos ángulos de un triángulo son iguales, sus lados opuestos son iguales. Así, un triángulo de $90^\circ$, $45^\circ$ y $45^\circ$ es rectángulo e isósceles. En un equilátero, los tres ángulos son iguales y, como suman $180^\circ$, cada uno mide $60^\circ$.

• Ángulos interiores y exterior de un triángulométodo

  En cualquier triángulo, los tres ángulos interiores suman $180^\circ$: $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$. Por eso, si dos miden $80^\circ$ y $60^\circ$, el tercero es $180^\circ-(80^\circ+60^\circ)=40^\circ$. La suma también permite descartar triángulos imposibles con dos ángulos rectos u obtusos.

  Un ángulo exterior se forma al prolongar uno de los lados. Es suplementario del interior adyacente y, al combinar esa relación con la suma de $180^\circ$, resulta igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. Si el exterior mide $125^\circ$ y uno de los interiores alejados mide $50^\circ$, el otro mide $125^\circ-50^\circ=75^\circ$.

Ejemplos resueltos

• Hallar el ángulo que falta. Un triángulo tiene dos ángulos que miden $73^\circ$ y $58^\circ$. Para encontrar el tercero uso que los tres suman $180^\circ$. Sumo los dos conocidos: $73^\circ + 58^\circ = 131^\circ$. Resto ese total de $180^\circ$: $180^\circ - 131^\circ = 49^\circ$. El tercer ángulo mide $49^\circ$. De paso lo clasifico: los tres ángulos ($73^\circ$, $58^\circ$ y $49^\circ$) son menores que $90^\circ$, así que es acutángulo, y como los tres son distintos, también es escaleno.
• Los ángulos de la base de un isósceles. Un triángulo isósceles tiene su ángulo distinto —el que queda entre los dos lados iguales— de $50^\circ$. Los otros dos ángulos son iguales entre sí; los llamo $x$. Como los tres suman $180^\circ$: $50^\circ + x + x = 180^\circ$, o sea $2x = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$. Entonces $x = 130^\circ \div 2 = 65^\circ$. Cada uno de los dos ángulos iguales mide $65^\circ$. Verifico: $50^\circ + 65^\circ + 65^\circ = 180^\circ$.
• Dos rectas que se cruzan. Al cruzarse dos rectas se forman cuatro ángulos. Uno de ellos mide $110^\circ$. El ángulo opuesto por el vértice mide lo mismo: $110^\circ$. Cada uno de los otros dos es adyacente al primero, así que es su suplemento: $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. Quedan entonces dos ángulos de $110^\circ$ (opuestos entre sí) y dos de $70^\circ$. Chequeo: los cuatro completan la vuelta entera, $110^\circ + 70^\circ + 110^\circ + 70^\circ = 360^\circ$.
• Clasificar un triángulo por sus ángulos y sus lados. Un triángulo tiene ángulos de $90^\circ$, $60^\circ$ y $30^\circ$. Por sus ángulos: tiene uno recto ($90^\circ$), así que es rectángulo. Por sus lados: como los tres ángulos son distintos, los tres lados también lo son, así que es escaleno. El triángulo es, entonces, rectángulo escaleno. Reviso la suma de los ángulos: $90^\circ + 60^\circ + 30^\circ = 180^\circ$, correcto.
• Ángulo exterior. Al prolongar un lado de un triángulo se forma un exterior de $125^\circ$. Uno de los interiores no adyacentes mide $50^\circ$. Como el exterior equivale a la suma de los dos interiores alejados, el faltante es $125^\circ-50^\circ=75^\circ$. También se puede verificar hallando primero el interior adyacente: $180^\circ-125^\circ=55^\circ$, y $50^\circ+75^\circ+55^\circ=180^\circ$.
• Una transversal corta a dos rectas paralelas. Un ángulo interior $\alpha$ del primer cruce, ubicado a la izquierda de la transversal, mide $68^\circ$. En el segundo cruce, el alterno interno $\beta$, ubicado a la derecha, mide también $68^\circ$. El interior $\gamma$ que queda del mismo lado que $\alpha$ es suplementario: $\gamma=180^\circ-68^\circ=112^\circ$. Los correspondientes y los opuestos por el vértice permiten completar los demás. El dato de paralelismo es lo que permite relacionar un cruce con el otro.
• En los triángulos $ABC$ y $DEF$ se sabe que $AB=DE=5\ \text{cm}$, $AC=DF=7\ \text{cm}$ y los ángulos comprendidos $\angle A$ y $\angle D$ miden $40^\circ$. Coinciden dos lados correspondientes y el ángulo que queda entre ellos, así que los triángulos son congruentes por LAL. En consecuencia, $BC=EF$, $\angle B=\angle E$ y $\angle C=\angle F$, aunque esas medidas no se hayan calculado por separado.

Errores comunes

• Decir que el complemento de un ángulo de 40° es 140° (o que su suplemento es 50°).

  Se cruzan las dos palabras: complementarios suman $90^\circ$ y suplementarios suman $180^\circ$. Usar $180^\circ$ donde va $90^\circ$ (o al revés) da siempre un resultado equivocado.

  Cómo corregirlo: Fijá primero cuál te piden y con qué total va: complemento con $90^\circ$, suplemento con $180^\circ$. El complemento de $40^\circ$ es $90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$ y el suplemento es $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$. Ayuda recordar que el Suplemento es el más grande.

• Medir un ángulo con el transportador y anotar 130° cuando en realidad mide 50° (o al revés).

  El transportador trae dos escalas de números, una que crece de izquierda a derecha y otra al revés, y entre las dos suman $180^\circ$. Si empezás a contar desde el 0 de la escala que no corresponde, terminás leyendo el ángulo suplementario en lugar del que querías.

  Cómo corregirlo: Antes de leer el número, mirá la forma del ángulo: si es claramente agudo (más cerrado que una esquina), su medida tiene que ser menor que $90^\circ$; si es obtuso, mayor. Elegí la escala cuyo 0 cae justo sobre uno de los lados del ángulo y seguí esa misma escala hasta el otro lado.

• Dar por buenos ángulos como 90°, 90° y 10°, o afirmar que un triángulo puede tener dos ángulos obtusos.

  Los tres ángulos de un triángulo suman exactamente $180^\circ$. Dos ángulos rectos ya suman $180^\circ$ y no dejan lugar para el tercero; dos obtusos directamente se pasan de $180^\circ$. Ese triángulo no puede existir.

  Cómo corregirlo: Después de proponer o calcular los tres ángulos, sumalos y verificá que den $180^\circ$. Y recordá el límite: como máximo un ángulo puede ser recto u obtuso, los otros dos son sí o sí agudos.

• Pensar que un triángulo es 'o rectángulo o isósceles', como si tuviera que elegir una sola clasificación.

  Clasificar por lados y clasificar por ángulos son dos miradas independientes del mismo triángulo, no opciones que compiten. Un mismo triángulo tiene siempre un nombre por sus lados y otro por sus ángulos.

  Cómo corregirlo: Analizá las dos cosas por separado y juntá los dos nombres. Un triángulo con ángulos $90^\circ$, $45^\circ$ y $45^\circ$ tiene dos lados iguales (isósceles) y un ángulo recto (rectángulo): es rectángulo isósceles, las dos cosas a la vez.

• Resta un ángulo interior no adyacente de $180^\circ$ para hallar el exterior.

  El exterior es suplementario únicamente del interior que tiene al lado; respecto de los dos interiores alejados, equivale a su suma.

  Cómo corregirlo: Identificá primero el interior adyacente. O usá directamente exterior = suma de los dos interiores no adyacentes.

• Declara iguales ángulos correspondientes o alternos aunque las rectas cortadas no están dadas como paralelas.

  Opuestos por el vértice y adyacentes se relacionan dentro de un mismo cruce, pero trasladar medidas entre dos cruces requiere que las rectas sean paralelas.

  Cómo corregirlo: Antes de usar correspondientes, alternos o interiores del mismo lado, verificá la marca o el dato de paralelismo. Sin ese dato, no hay una relación fija entre los dos cruces.

• Afirma que dos triángulos son congruentes porque tienen los tres ángulos iguales, o usa LAL con un ángulo que no está entre los lados conocidos.

  AAA permite triángulos de la misma forma pero de tamaños distintos. Y en LAL el ángulo comprendido fija cómo se abren justamente los dos lados conocidos; otro ángulo no aporta la misma garantía.

  Cómo corregirlo: Para congruencia usá un criterio válido y respetá correspondencias: LLL, LAL con el ángulo comprendido o ALA con el lado comprendido. Si solo conocés ángulos, podés concluir semejanza, no igualdad de tamaño.

En resumen