Números enteros (Z)

La idea

Qué vas a aprender

• Interpretar enteros en contextoconcepto

  Los números naturales ($1, 2, 3, \dots$) te alcanzan para contar lo que tenés: tres monedas, cinco goles, doce empanadas. Pero hay situaciones donde necesitás expresar algo que está por debajo de un punto de referencia: cuando debés plata, cuando la temperatura baja de cero, cuando bajás al subsuelo de un shopping. Para eso están los números enteros.

  El conjunto de los enteros, que se anota $\mathbb{Z}$, junta tres cosas: los naturales con signo más (los positivos $+1, +2, +3, \dots$), sus opuestos con signo menos (los negativos $-1, -2, -3, \dots$) y el cero, que no es ni positivo ni negativo. Se escribe $\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$.

  Un número negativo no significa 'nada'; significa 'para el otro lado' de una referencia. Si tenés 500 pesos de saldo lo anotás $+500$, y si debés 500 pesos lo anotás $-500$. Tres grados bajo cero son $-3$, y el segundo subsuelo de un estacionamiento es el piso $-2$. El signo pertenece al dato: indica de qué lado del punto de referencia está la cantidad.

• Ubicar, encontrar opuestos y medir distanciasconcepto

  Una forma clara de ver los enteros es la recta numérica: una línea con el $0$ en el medio, los positivos ordenados hacia la derecha y los negativos hacia la izquierda, todos separados por la misma distancia.

  El opuesto de un número es el que está a la misma distancia del cero pero del otro lado. El opuesto de $+4$ es $-4$, y el opuesto de $-7$ es $+7$. El único que es su propio opuesto es el cero.

  El valor absoluto de un número es su distancia hasta el cero, sin importar para qué lado esté. Como una distancia nunca es negativa, el valor absoluto siempre da un resultado positivo o cero. Se escribe entre barras: $|-4| = 4$ y $|+4| = 4$ (los dos están a $4$ pasos del cero), y $|0| = 0$.

  No confundas posición, cambio y distancia. Ir de $-4$ a $+5$ es un cambio de $+9$; volver de $+5$ a $-4$ es un cambio de $-9$. En los dos recorridos la distancia es $9$, porque una distancia no lleva signo.

• Comparar y ordenar enterosmétodo

  Para comparar dos enteros, mirá quién está más a la derecha en la recta numérica: ese es el mayor. De acá salen dos ideas rápidas. Primera: cualquier positivo es mayor que cualquier negativo, y el cero está en el medio, así que $-2 < 3$ y $-1 < 0$.

  Segunda, la que más se traba: entre dos negativos, es mayor el que está más cerca del cero. Por ejemplo $-2 > -5$, porque $-2$ está a la derecha de $-5$. Ojo, que $5$ sea más grande que $2$ no significa que $-5$ sea más grande que $-2$: con los negativos es al revés.

  Un caso concreto: si a la mañana hay $-5°$ y a la noche hay $-2°$, hace menos frío a la noche, porque $-2 > -5$. Para ordenar de menor a mayor una lista como $3,\ -1,\ 0,\ -4$, recorré la recta de izquierda a derecha: $-4 < -1 < 0 < 3$.

Ejemplos resueltos

• En un resumen de cuenta aparecen tres estados: un saldo a favor de 1200 pesos, una deuda de 450 pesos y una cuenta sin movimientos. Los representamos como $+1200$, $-450$ y $0$. El signo no pide hacer una cuenta: comunica la posición respecto del saldo cero.
• Una estación meteorológica registró $-4°$C al amanecer y $+5°$C al mediodía. En la recta, $-4$ queda a la izquierda y $+5$ a la derecha. El cambio fue $+9°$C y la distancia entre las marcas es $9$. Si recorriéramos el camino inverso, el cambio sería $-9°$C, pero la distancia seguiría siendo $9$.
• Un buzo está a $-6$ metros y una boya a $+2$ metros respecto del nivel del mar. La boya está más arriba porque $+2 > -6$. Para medir la separación contamos desde $-6$ hasta $0$ (6 metros) y desde $0$ hasta $+2$ (2 metros): en total están a $8$ metros de distancia.
• Ordenemos de menor a mayor: $3,\ -5,\ -1,\ 0,\ -8,\ 2$. Ubicamos cada uno en la recta numérica. Los negativos van a la izquierda del cero, y cuanto más grande es el número después del signo menos, más lejos a la izquierda queda; por eso es más chico. Entre $-5$ y $-8$, el menor es $-8$. Recorriendo la recta de izquierda a derecha queda: $-8 < -5 < -1 < 0 < 2 < 3$.

Errores comunes

• Dice que $-5 > -2$ porque $5$ es más grande que $2$.

  Con los negativos el orden se da vuelta: $-5$ está más a la izquierda del cero que $-2$, así que es menor. En los negativos, un valor absoluto más grande significa un número más chico.

  Cómo corregirlo: Ubicá los dos en la recta numérica y quedate con el que está más a la derecha: ese es el mayor. Acá $-2 > -5$.

• Lee $-5$ como una orden de restar 5, aunque el número describe una posición o un estado.

  En un saldo, una temperatura o un piso, el signo forma parte del dato: $-5$ ubica cinco unidades por debajo del punto de referencia. No indica por sí solo una operación.

  Cómo corregirlo: Nombrá primero la referencia y ubicá el dato respecto del cero. Recién después decidí si el problema pide comparar, medir una distancia o calcular un cambio.

• Da una distancia negativa cuando el recorrido va hacia la izquierda.

  El cambio conserva dirección y puede ser positivo o negativo; la distancia mide cuánto separa o cuánto se recorrió y nunca es negativa.

  Cómo corregirlo: Dibujá los puntos y contá las unidades que los separan. Usá el signo sólo si la pregunta pide el cambio dirigido.

• Escribe $|-4| = -4$.

  El valor absoluto es una distancia hasta el cero, y una distancia nunca puede ser negativa. $-4$ está a $4$ pasos del cero, así que $|-4| = 4$.

  Cómo corregirlo: Pensá el valor absoluto como '¿a cuántos pasos del cero está?'. La respuesta siempre es positiva o cero: $|-4| = 4$, $|4| = 4$, $|0| = 0$.

En resumen