Secundaria para Todos

El estado que ves acá es de demostración. Cuando completes tu diagnóstico va a reflejar tu dominio real.

La lección

Naturales y decimales: leerlos, compararlos y operar con la coma

Cada vez que mirás un precio en el kiosco (2.500 pesos con 50 centavos), el saldo de la SUBE o los litros que cargó tu viejo de nafta, estás usando decimales. Este tema ordena esos números para que dejen de confundirte.

La idea

Los números naturales son los de contar: goles, alumnos, colectivos. Se suelen escribir como enteros, sin necesidad de coma. Pero el mundo no siempre viene entero: medio litro, un kilo y cuarto, dos pesos con cincuenta. Para eso están los decimales. La coma separa la parte entera de la parte fraccionaria: a la izquierda están las unidades enteras y, a la derecha, décimos, centésimos, milésimos y partes todavía menores de la unidad. En $2,5$ , el $0,5$ es la parte fraccionaria; lo que falta para llegar a $3$ también es $0,5$ solo por tratarse de una mitad, no porque ambas ideas sean lo mismo. Y una regla que te va a salvar: agregar ceros al final de la derecha NO cambia el número ( $2,5$ es lo mismo que $2,50$ ), pero un cero pegado a la coma sí lo cambia todo ( $2,5$ no es $2,05$ ).

Qué vas a aprender

Qué son los naturales y qué son los decimalesconcepto
Los números naturales son los que usás para contar cosas enteras: $0, 1, 2, 3, 4, \ldots$ Se suelen escribir sin coma y sirven para "¿cuántos hay?": cinco empanadas, tres materias, cero faltas.
El problema es que muchas cosas no vienen justas: recorriste $2,5$ km o la botella trae $1,25$ litros. Ahí entra el número decimal: tiene una parte entera y una parte fraccionaria, separadas por una coma. En $12,75$ , el $12$ es la parte entera y las cifras $75$ representan $75$ centésimos: $12,75=12+\frac{75}{100}$ . Esa parte fraccionaria vale $0,75$ ; lo que falta para llegar a $13$ es su complemento, $0,25$ . Son cantidades distintas.
Dato clave: todo natural también se puede escribir como decimal, con parte fraccionaria cero. $7$ es lo mismo que $7,0$ . Por eso los naturales son un caso particular de los números decimales.
En los naturales también estudiamos divisibilidad. Dados dos naturales $a$ y $b$ , con $b>0$ , $a$ es divisible por $b$ si existe un natural $q$ tal que $a=b\cdot q$ , sin resto; entonces $a$ es múltiplo de $b$ y $b$ es divisor de $a$ . Algunos criterios permiten decidirlo sin hacer toda la división: termina en cifra par para ser divisible por $2$ ; la suma de sus cifras es múltiplo de $3$ o de $9$ para ser divisible por $3$ o por $9$ ; termina en $0$ o $5$ para ser divisible por $5$ ; y termina en $0$ para ser divisible por $10$ . Por ejemplo, $270$ es divisible por $2$ , $3$ , $5$ , $9$ y $10$ . Estos criterios ayudan a encontrar múltiplos, divisores y denominadores comunes.
Valor posicional: cuánto vale cada cifra después de la comaconcepto
Después de la coma, cada posición vale diez veces menos que la anterior: la primera corresponde a décimos, la segunda a centésimos y la tercera a milésimos. En $3,472$ tenés $3$ enteros, $4$ décimos ( $0,4$ ), $7$ centésimos ( $0,07$ ) y $2$ milésimos ( $0,002$ ). Es decir, $3,472 = 3 + 0,4 + 0,07 + 0,002$ . Una misma cifra aporta menos valor cuanto más a la derecha está.
De acá sale la regla de los ceros. Agregar ceros al final, a la derecha del último decimal, no cambia el número: $3,4 = 3,40 = 3,400$ . En cambio, insertar un cero justo después de la coma cambia la posición de las demás cifras: $3,4$ son tres enteros y cuatro décimos, pero $3,04$ son tres enteros y cuatro centésimos. La parte fraccionaria $0,04$ vale exactamente la décima parte de $0,4$ , por eso $3,4 \neq 3,04$ .
Para redondear a una posición, conservás hasta esa cifra y mirás la siguiente: si es $0$ , $1$ , $2$ , $3$ o $4$ , la cifra conservada queda igual; si es $5$ , $6$ , $7$ , $8$ o $9$ , aumenta una unidad. Así, $7,386$ redondeado a décimos es $7,4$ y a centésimos es $7,39$ . Truncar sería solo cortar: a centésimos daría $7,38$ . Para estimar una cuenta, redondeá los datos a valores cercanos y cómodos antes de calcular; el resultado aproximado permite anticipar el orden de magnitud y controlar si el resultado exacto es razonable.
Comparar dos decimalesmétodo
Primero mirás la parte entera: el que la tiene más grande gana, sin importar lo que venga después. Así $5,1 > 4,99$ , porque $5$ ya es mayor que $4$ .
Si la parte entera empata, igualás la cantidad de cifras después de la coma agregando ceros al final, y comparás de izquierda a derecha, cifra por cifra. Ejemplo: $3,4$ contra $3,199$ . Igualo: $3,400$ y $3,199$ . La parte entera es igual ( $3 = 3$ ); la primera cifra decimal es $4$ contra $1$ , y como $4 > 1$ , resulta $3,4 > 3,199$ aunque el segundo tenga más números escritos. Lo que manda no es cuántas cifras tiene, sino el valor posicional.
Sumar y restar decimalesmétodo
La regla de oro es una sola: coma debajo de coma. Alineás los números por la coma (no por la derecha como si fueran enteros), completás con ceros para que tengan la misma cantidad de decimales, sumás o restás como con naturales y bajás la coma al resultado, en la misma columna.
Ejemplo de suma: $1,2 + 0,85$ . Completo el primero: $1,20 + 0,85 = 2,05$ . Ejemplo de resta con plata: saliste con $\$5000$ y gastaste $\$3250$ en la pizza. El vuelto es $5000 - 3250 = 1750$ , o sea $\$1750$ . Si no alineás la coma, terminás sumando décimos con centésimos y el resultado sale cualquiera.
Antes de cerrar, estimá. Como $1,2\approx1$ y $0,85\approx1$ , la suma debe rondar $2$ ; el resultado $2,05$ es plausible. En una resta, el resultado debe ser menor que el número inicial si restás una cantidad positiva. Estimar no reemplaza la cuenta exacta: sirve para detectar comas corridas o resultados de tamaño imposible.
Multiplicar decimalesmétodo
Hay dos casos. Multiplicar por $10$ , $100$ o $1000$ : la coma se corre a la derecha tantos lugares como ceros tenga el número. $2,5 \cdot 10 = 25$ ; $3,4 \cdot 100 = 340$ . Cuidado: multiplicar por $10$ no es agregar un cero después de la coma; eso dejaría el número igual.
Multiplicar un decimal por otro: hacés la cuenta como si no hubiera comas y, al resultado, le ponés tantas cifras decimales como la suma de las cifras decimales de los dos factores. Ejemplo: $0,3 \cdot 0,2$ . Primero $3 \cdot 2 = 6$ ; cada factor tiene una cifra decimal, así que el resultado lleva dos: $0,06$ . No es $0,6$ .
Dividir es la operación inversa. Al dividir por $10$ , $100$ o $1000$ , la coma se corre a la izquierda uno, dos o tres lugares: $35,4\div10=3,54$ . Si el divisor tiene decimales, multiplicá dividendo y divisor por la misma potencia de $10$ hasta convertir el divisor en natural; el cociente no cambia. Por ejemplo, $3,6\div0,4=36\div4=9$ . Si dividís un decimal por un natural, hacés la división usual y colocás la coma en el cociente al pasar de la parte entera a los décimos. Nunca se puede dividir por cero. Para controlar, multiplicá cociente por divisor: $9\cdot0,4=3,6$ , y estimá el tamaño esperado antes de aceptar el resultado.
En una cuenta combinada, los productos y cocientes se resuelven antes que las sumas y restas. Por ejemplo, $1,2\cdot3+0,4$ se convierte primero en $3,6+0,4$ y da $4$ .

Ejemplos resueltos

Comparar cuál es mayor, $3,4$ o $3,199$ . Igualo la cantidad de decimales: $3,400$ y $3,199$ . La parte entera empata ( $3 = 3$ ). Comparo la primera cifra decimal: $4$ contra $1$ . Como $4 > 1$ , gana el primero: $3,4 > 3,199$ . Moraleja: tener más dígitos no lo hace más grande.
En el kiosco, Juli compra un alfajor a $\$1200$ y una botellita de agua a $\$800$ . Para saber cuánto gastó sumo: $1200 + 800 = 2000$ . Gastó $\$2000$ .
Caminata hasta la escuela: $1,2$ km hasta la parada del colectivo y $0,85$ km de la parada a la puerta. Alineo comas y completo con un cero: $1,20 + 0,85 = 2,05$ . Caminó $2,05$ km en total.
Un paquete de yerba pesa $2,5$ kg. ¿Cuánto pesan $10$ paquetes iguales? Multiplico por $10$ corriendo la coma un lugar a la derecha: $2,5 \cdot 10 = 25$ . Pesan $25$ kg. No es $2,50$ : eso sería el mismo $2,5$ de siempre.
Un rectángulo mide $0,3$ m de base por $0,2$ m de altura. Su área es $0,3 \cdot 0,2$ . Hago $3 \cdot 2 = 6$ y cuento las cifras decimales de los factores: $1 + 1 = 2$ . Entonces el resultado lleva dos decimales: $0,06$ m $^2$ . El error clásico sería contestar $0,6$ .
División decimal. Una botella contiene $3,6$ litros y cada vaso recibe $0,4$ litros. Multiplico ambos números por $10$ para quitar los decimales sin cambiar el cociente: $3,6\div0,4=36\div4=9$ . Se llenan $9$ vasos. Compruebo: $9\cdot0,4=3,6$ .
Redondeo y estimación. Para estimar $19,8+5,17$ , redondeo a unidades: $20+5=25$ . La cuenta exacta es $24,97$ , cercana a $25$ . Si hubiera obtenido $249,7$ , la estimación mostraría que la coma quedó mal ubicada.
Divisibilidad. Para decidir si $378$ es divisible por $2$ , $3$ y $9$ , miro criterios: termina en $8$ , así que es par y divisible por $2$ ; sus cifras suman $3+7+8=18$ , múltiplo de $3$ y de $9$ . Entonces las tres divisiones tienen resto cero.

Errores comunes

Creer que el decimal con más cifras después de la coma es el más grande.
Se lee $3,199$ como si el $199$ fuera un entero mayor que el $4$ de $3,4$ . La cantidad de cifras no dice nada sobre el tamaño; lo que decide es el valor posicional, comparando cifra por cifra desde la coma.
Cómo corregirlo: Igualá la cantidad de decimales agregando ceros ( $3,400$ contra $3,199$ ) y recién ahí compará de izquierda a derecha: $4 > 1$ , así que $3,4$ es mayor.
Pensar que $3,4$ y $3,40$ son distintos, o que $3,4$ y $3,04$ son iguales.
El cero cambia o no cambia el número según dónde esté. Al final de la derecha no aporta nada ( $3,4 = 3,40$ ), pero pegado a la coma corre todas las cifras un lugar y las hace diez veces más chicas ( $3,4 \neq 3,04$ ).
Cómo corregirlo: Fijate en qué lugar cae cada cifra: un cero al final del todo se puede agregar o sacar libremente; un cero justo después de la coma empuja a las demás y cambia su valor.
Sumar o restar alineando los números por la derecha, como si fueran enteros, sin alinear las comas.
Al no alinear la coma se terminan sumando cifras de distinto valor posicional (décimos con centésimos), y el resultado sale mal.
Cómo corregirlo: Escribí un número debajo del otro con las comas alineadas, completá con ceros para igualar decimales y recién ahí operá, bajando la coma al resultado.
Al multiplicar dos decimales, dejar una sola cifra decimal en el resultado (por ejemplo $0,3 \cdot 0,2 = 0,6$ ).
El resultado tiene que llevar tantas cifras decimales como la suma de las de los dos factores. En $0,3 \cdot 0,2$ son $1 + 1 = 2$ cifras, así que el resultado es $0,06$ , no $0,6$ .
Cómo corregirlo: Multiplicá sin comas ( $3 \cdot 2 = 6$ ), contá las cifras decimales de ambos factores y ponéle esa cantidad al resultado corriendo la coma desde la derecha.
Multiplicar por $10$ agregando un cero después de la coma, como $2,5 \cdot 10 = 2,50$ .
Agregar un cero al final de la parte decimal deja el número exactamente igual ( $2,50 = 2,5$ ). Multiplicar por $10$ tiene que agrandar el número diez veces.
Cómo corregirlo: Para multiplicar por $10$ , $100$ o $1000$ , corré la coma a la derecha tantos lugares como ceros: $2,5 \cdot 10 = 25$ , $2,5 \cdot 100 = 250$ .
Interpreta siempre la parte fraccionaria como lo que falta para llegar al entero siguiente.
La parte fraccionaria indica cuánto se agrega a la parte entera. En $12,75$ vale $0,75$ ; el complemento hasta $13$ vale $0,25$ . Solo en casos especiales ambas cantidades coinciden.
Cómo corregirlo: Descomponé el número: $12,75=12+0,75$ . Si además necesitás el complemento hasta $13$ , calculalo aparte: $1-0,75=0,25$ .
Para dividir por un decimal, mueve la coma solamente en el dividendo.
Eso cambia el cociente. Para conservarlo hay que multiplicar dividendo y divisor por la misma potencia de $10$ .
Cómo corregirlo: Mové ambas comas la misma cantidad de lugares hasta que el divisor sea natural: $3,6\div0,4=36\div4=9$ .
Aumenta siempre la última cifra conservada al redondear.
El redondeo depende de la primera cifra descartada. Solo se aumenta si esa cifra es $5$ o mayor.
Cómo corregirlo: Marcá la posición pedida y mirá la cifra siguiente: de $0$ a $4$ se conserva; de $5$ a $9$ se suma una unidad.

En resumen

Un decimal combina una parte entera con una parte fraccionaria expresada en décimos, centésimos, milésimos y órdenes menores; esa parte no debe confundirse con su complemento hasta el entero siguiente. Para comparar mirás el valor posicional; para sumar y restar alineás las comas; para multiplicar contás posiciones decimales; y para dividir por un decimal transformás ambos términos por la misma potencia de $10$ . Redondear y estimar permiten controlar la plausibilidad. En los naturales, múltiplos, divisores y criterios de divisibilidad anticipan el trabajo con fracciones y denominadores comunes.