Figuras y cuerpos

La idea

Qué vas a aprender

• Polígonos: qué son y cuáles son sus elementosconcepto

  Un polígono es una figura plana cerrada formada solo por segmentos rectos: sus lados. Los puntos donde se tocan dos lados son los vértices, y en cada vértice queda un ángulo interior. Un segmento que une dos vértices no consecutivos es una diagonal. Según la cantidad de lados reciben nombre: 3 lados triángulo, 4 cuadrilátero, 5 pentágono, 6 hexágono, 7 heptágono y 8 octógono.

  Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores son menores que $180°$ (no tiene 'entrantes'); si tiene algún ángulo mayor que $180°$, es cóncavo. Y es regular cuando tiene todos los lados iguales y todos los ángulos iguales (como el cuadrado o el hexágono de un panal); si no, es irregular. Ojo con una trampa: una figura con algún borde curvo, como el círculo, NO es un polígono.

• La familia de los cuadriláterosconcepto

  Los cuadriláteros (4 lados) se ordenan según cuántos pares de lados paralelos tengan. Si los dos pares de lados opuestos son paralelos, es un paralelogramo, y ahí adentro están el cuadrado (4 lados iguales y 4 ángulos rectos), el rectángulo (ángulos rectos pero lados iguales de a pares), el rombo (4 lados iguales pero sin ángulos rectos) y el romboide o paralelogramo propiamente dicho (lados iguales de a pares y sin ángulos rectos).

  Si tiene un solo par de lados paralelos, es un trapecio. Y si no tiene ningún par de lados paralelos, es un trapezoide. Un buen mapa mental: cuadrado, rectángulo, rombo y romboide son todos 'parientes', porque todos son paralelogramos.

• Cuerpos geométricos: poliedros y cuerpos redondosconcepto

  Un cuerpo geométrico ocupa lugar en el espacio. Se dividen en dos grupos. Los poliedros tienen todas sus superficies planas —caras que son polígonos—; los dos tipos más comunes son los prismas (dos caras iguales y paralelas, las bases, unidas por caras laterales que son paralelogramos; en un prisma recto, como una caja de zapatillas, son rectángulos) y las pirámides (una sola base y caras triangulares que se juntan en una punta llamada ápice, como la de Egipto). Los cuerpos redondos tienen alguna superficie curva: el cilindro (una lata), el cono (un cucurucho) y la esfera (una pelota).

  En un poliedro distinguimos tres elementos: las caras (las superficies planas), las aristas (los segmentos donde se cortan dos caras) y los vértices (las puntas donde se juntan varias aristas).

• Contar caras, aristas y vértices (y la fórmula de Euler)método

  Para describir un poliedro se cuentan sus caras (C), aristas (A) y vértices (V). Por ejemplo, un cubo tiene 6 caras, 12 aristas y 8 vértices. En todos los poliedros convexos vale una relación preciosa que descubrió Euler: $C+V=A+2$.

  En un prisma cuya base es un polígono de $n$ lados hay dos bases y $n$ caras laterales, así que $C=n+2$; hay $n$ vértices en cada base, de modo que $V=2n$; y hay $n$ aristas en cada base más $n$ que las unen, por lo que $A=3n$. Para un prisma heptagonal ($n=7$), esto da $C=9$, $V=14$ y $A=21$.

  Euler sirve como control del conteo: para el cubo, $C+V=6+8=14$ y $A+2=12+2=14$, cierra. Para un prisma triangular ($C=5$, $A=9$, $V=6$): $5+6=11$ y $9+2=11$, también cierra. Si al contar un poliedro convexo la igualdad no da, es señal de que contaste mal alguno de los tres.

• El desarrollo plano (el molde) de un cuerpométodo

  Si 'desarmás' un cuerpo y lo aplanás sobre una hoja, obtenés su desarrollo plano: el molde con el que se arma. El del cubo son 6 cuadrados unidos. El de un prisma triangular tiene dos triángulos iguales para las bases y tres paralelogramos —rectángulos si el prisma es recto— para las caras laterales. El de un cilindro son dos círculos (las tapas) y un rectángulo que, enrollado, forma el costado; el de un cono es un círculo y un sector circular.

  Saber reconocer y dibujar el desarrollo sirve para dos cosas: construir el cuerpo en cartón y, más adelante, calcular su área sumando las áreas de todas las piezas del molde. No cualquier disposición de esas caras cierra sin superponerse: además de contar las piezas, hay que imaginar qué aristas se unen al plegar.

Ejemplos resueltos

• Clasificar un polígono. Una figura plana cerrada tiene 5 lados rectos, todos del mismo largo, y todos sus ángulos interiores iguales. ¿Qué es? Tiene 5 lados, así que es un pentágono. Ninguno de sus ángulos pasa de $180°$, entonces es convexo. Todos los lados y todos los ángulos son iguales, entonces es regular. Respuesta: un pentágono regular (y convexo).
• Identificar un cuadrilátero. Una figura de 4 lados tiene los lados opuestos paralelos de a pares, sus cuatro lados miden lo mismo, pero sus ángulos no son rectos. Al tener los dos pares de lados paralelos ya es un paralelogramo; como los 4 lados son iguales pero le faltan los ángulos rectos, NO es un cuadrado: es un rombo.
• Contar y verificar con Euler. Tomemos una pirámide de base cuadrada: la base es un cuadrado y hay 4 caras triangulares que suben al ápice. Caras: $1 + 4 = 5$. Vértices: 4 de la base más 1 del ápice, $4 + 1 = 5$. Aristas: 4 en la base más 4 que suben, $4 + 4 = 8$. Control de Euler: $C + V = 5 + 5 = 10$ y $A + 2 = 8 + 2 = 10$. Cierra: el conteo está bien.
• Reconocer un desarrollo. Te muestran un molde formado por 6 cuadrados iguales dispuestos en forma de cruz. Al plegarlo por las líneas, cada cuadrado queda como una cara y se cierra un cuerpo con 6 caras cuadradas iguales: es el desarrollo plano de un cubo.

Errores comunes

• Llamar 'lados' a las caras de un cuerpo, o 'caras' a los lados de una figura plana.

  Los lados son segmentos (una sola dimensión) y pertenecen a las figuras planas; las caras son superficies (dos dimensiones) y pertenecen a los cuerpos. Mezclar los nombres hace imposible contar bien los elementos.

  Cómo corregirlo: Regla simple: en el plano (2D) se habla de lados y vértices; en el espacio (3D), de caras, aristas y vértices. La arista es, justamente, el 'lado' donde se juntan dos caras.

• Creer que cualquier cuadrilátero con los 4 lados iguales es un cuadrado.

  El cuadrado necesita DOS condiciones a la vez: 4 lados iguales Y 4 ángulos rectos. Una figura con 4 lados iguales pero 'aplastada', sin ángulos rectos, es un rombo.

  Cómo corregirlo: Antes de decir 'cuadrado', chequeá también los ángulos: si no son todos de $90°$, es un rombo, no un cuadrado.

• Confundir un prisma con una pirámide.

  El prisma tiene DOS bases iguales y paralelas unidas por caras laterales que son paralelogramos —rectángulos si el prisma es recto—; la pirámide tiene UNA sola base y todas las demás caras son triángulos que terminan en una punta.

  Cómo corregirlo: Preguntate: ¿termina en punta? Entonces es pirámide. ¿Tiene dos 'tapas' iguales enfrentadas? Entonces es prisma.

• Contar mal las aristas de un poliedro, por ejemplo olvidar las de una de las bases.

  Es fácil saltearse aristas que en el dibujo quedan escondidas, o contar dos veces una arista que comparten dos caras.

  Cómo corregirlo: Contá por partes (las aristas de abajo, las de arriba y las que suben) y validá con Euler: $C + V = A + 2$. Si no cierra, volvé a contar.

• Considerar al círculo, o a figuras con bordes curvos, como un polígono.

  Un polígono está formado SOLO por segmentos rectos. El círculo tiene el borde curvo, así que no es un polígono ni tiene lados ni vértices.

  Cómo corregirlo: Fijate si todos los bordes son rectos: si aparece una sola curva, no es un polígono.

En resumen