Medidas de tendencia central

La idea

Qué vas a aprender

• Qué es una medida de tendencia centralconcepto

  Cuando tenés un conjunto de datos —30 notas, los goles de una temporada, lo que gasta cada persona— una medida de tendencia central es un solo número que resume el centro del conjunto: un valor que puede representar al grupo según la pregunta.

  Hay tres medidas centrales principales —media, mediana y moda— y cada una define el centro de una manera diferente. Como no siempre dan el mismo número, saber cuál usar es parte del análisis. Un centro aislado no describe toda la distribución: se lo acompaña con medidas de posición, como cuartiles y percentiles, y de dispersión, como rango, rango intercuartílico, varianza y desvío estándar.

• Calcular la media aritmética (el promedio)método

  La media aritmética, que solemos llamar promedio, se calcula sumando todos los valores y dividiendo por la cantidad de valores. Si los datos son $x_1, x_2, \dots, x_n$, la fórmula es $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$, donde $n$ es cuántos datos hay en total.

  Por ejemplo, si tus notas fueron $6, 8, 7, 4, 10$, sumás: $6+8+7+4+10 = 35$, y dividís por $5$: $\bar{x} = \dfrac{35}{5} = 7$. La media no tiene que coincidir con un dato original y puede dar un decimal: con $6, 8, 7, 5, 10$, resulta $\bar{x}=7{,}2$.

  Cuando los valores no tienen la misma importancia o representan distintas frecuencias se usa la media ponderada: $\bar{x}_p=\dfrac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$. Cada valor $x_i$ se multiplica por su peso $w_i$ y se divide por la suma de los pesos, no por la cantidad de categorías. Si una actividad vale 2 partes y la nota es 7, un proyecto vale 3 y la nota es 8, y un examen vale 5 y la nota es 9, la media ponderada es $\dfrac{2\cdot7+3\cdot8+5\cdot9}{2+3+5}=\dfrac{83}{10}=8{,}3$. Las frecuencias de una tabla también pueden funcionar como pesos.

• Calcular la mediana (el valor del medio)método

  La mediana es el valor que queda en el medio cuando ordenás los datos de menor a mayor. Deja la mitad de las posiciones a cada lado. Si la cantidad es impar, hay un único valor central; con $4,6,7,8,10$, la mediana es 7. Si la cantidad es par, se promedian los dos centrales; con $4,6,7,8,9,10$, es $\dfrac{7+8}{2}=7{,}5$.

  La mediana también es el segundo cuartil, $Q_2$. Los cuartiles dividen los datos ordenados en cuatro partes: $Q_1$ deja aproximadamente 25% de las observaciones en las primeras posiciones y $Q_3$, 75%. Con la convención escolar de tomar la mediana de cada mitad y excluir el dato central si $n$ es impar, para $2,4,5,7,8,10,12,13$ se obtiene $Q_1=4{,}5$, $Q_2=7{,}5$ y $Q_3=11$.

  Los percentiles generalizan la idea: el percentil $P_p$ es un punto de corte que deja aproximadamente $p\%$ de las observaciones en las primeras posiciones. Con una misma convención compatible, $P_{25}$ coincide con $Q_1$, $P_{50}$ con la mediana y $P_{75}$ con $Q_3$. Existen varias reglas válidas para ubicar o interpolar cuantiles, especialmente en conjuntos pequeños; al comparar resultados hay que declarar y mantener la misma convención.

• Encontrar la moda (el valor más frecuente)método

  La moda es el valor o la categoría que más veces se repite. Sirve para datos cuantitativos y cualitativos; en una variable nominal, como color preferido, es la medida central aplicable porque las categorías no tienen orden ni admiten operaciones aritméticas. La mediana también puede usarse con categorías ordinales, que sí tienen un orden.

  Por ejemplo, si en 7 partidos tu equipo hizo $1, 0, 2, 1, 3, 1, 0$ goles, contás cuántas veces aparece cada valor: el $1$ aparece $3$ veces, más que ningún otro. La moda es $1$.

  Dos aclaraciones clave. Primero: la moda no es el valor más grande, sino el más frecuente (en el ejemplo el máximo es $3$, pero la moda es $1$). Segundo: puede haber más de una moda, si dos valores empatan en cantidad de repeticiones, o puede no haber ninguna, si ningún valor se repite.

• Cuándo conviene cada una: el efecto de los valores atípicosconcepto

  Las medidas centrales conviven porque responden preguntas distintas, pero para describir un conjunto también hace falta medir su dispersión. El rango, introducido en Estadística descriptiva, es máximo menos mínimo. El rango intercuartílico $RIC=Q_3-Q_1$ mide la extensión del 50% central y queda menos afectado por extremos.

  Para un conjunto completo de $n$ datos, la varianza es el promedio de los cuadrados de las distancias a la media: $\sigma^2=\dfrac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n}$. El desvío estándar es $\sigma=\sqrt{\sigma^2}$ y vuelve a las mismas unidades que los datos. Los conjuntos $4,5,5,5,6$ y $1,3,5,7,9$ tienen media y mediana 5, pero rangos 2 y 8 y desvíos estándar aproximados $0{,}63$ y $2{,}83$: el segundo está mucho más disperso aunque comparte el centro.

  Un valor atípico puede arrastrar la media, el rango y el desvío estándar. Por eso, ante distribuciones muy asimétricas o con extremos, suele informarse mediana junto con rango intercuartílico; para datos aproximadamente equilibrados, media y desvío estándar forman una pareja útil. La moda responde qué es lo más frecuente, incluso en variables cualitativas. Elegir una síntesis exige nombrar tanto el centro como la dispersión y mirar la forma del gráfico.

Ejemplos resueltos

• Las notas de 8 alumnos fueron $5,7,8,5,9,6,10,5$. La media es $55/8=6{,}875$. Ordenadas quedan $5,5,5,6,7,8,9,10$: la mediana es $(6+7)/2=6{,}5$ y la moda es 5. Con la convención de separar en dos mitades, $Q_1=5$ y $Q_3=(8+9)/2=8{,}5$, de modo que $RIC=8{,}5-5=3{,}5$. El rango es $10-5=5$. Centro, posición y dispersión aportan información diferente sobre el mismo conjunto.
• Media ponderada. Una actividad con nota 7 pesa 2 partes, un proyecto con nota 8 pesa 3 y un examen con nota 9 pesa 5. No se promedian las tres notas como si valieran igual: $\bar{x}_p=\dfrac{2\cdot7+3\cdot8+5\cdot9}{2+3+5}=\dfrac{83}{10}=8{,}3$. Si los pesos fueran porcentajes, el procedimiento sería el mismo y el denominador sería 100%.
• En un local trabajan seis personas con sueldos $400000,400000,420000,430000,450000,2000000$. La media es $4100000/6\approx683333$ pesos y la mediana es $(420000+430000)/2=425000$. El rango es $1600000$, muy sensible al extremo. Con la convención de mitades, $Q_1=400000$ y $Q_3=450000$: el intervalo central es $[400000,450000]$ y su ancho es $RIC=50000$. En este conjunto, por los empates, ese intervalo contiene cinco de los seis sueldos observados. Conviene comunicar mediana y RIC, sin ocultar el valor atípico.

Errores comunes

• Toma el valor que está en el medio de la lista sin ordenar los datos primero.

  La mediana se define sobre los datos ordenados de menor a mayor. Si no ordenás, el "valor del medio" de la lista original no deja la mitad de los datos de cada lado, y casi siempre da un número equivocado.

  Cómo corregirlo: Ordená siempre de menor a mayor como paso 1, y recién ahí buscá el o los valores centrales. Ordenar no es opcional.

• Con una cantidad par de datos, elige uno solo de los dos valores del medio en vez de promediarlos.

  Cuando la cantidad de datos es par no existe un único valor central: quedan dos. La mediana es el promedio de esos dos, no cualquiera de ellos.

  Cómo corregirlo: Si la cantidad de datos es par, identificá los dos valores del medio, sumalos y dividí por 2. Por ejemplo, con $6$ y $7$: $\dfrac{6+7}{2} = 6{,}5$.

• Dice que la moda es el número más grande del conjunto.

  La moda es el valor que más se repite, y eso no tiene nada que ver con ser el mayor. En $1, 0, 2, 1, 3, 1$ el máximo es $3$, pero la moda es $1$ porque es el que más aparece.

  Cómo corregirlo: Contá cuántas veces aparece cada valor y quedate con el que tenga la frecuencia más alta, sin importar si ese número es grande o chico.

• Al calcular una media divide por la cantidad de valores distintos o, en una media ponderada, por la cantidad de categorías en vez de por la suma de los pesos.

  La media aritmética reparte la suma entre todos los datos, incluidos los repetidos. La ponderada reparte la suma $\sum w_i x_i$ entre el peso total $\sum w_i$; usar otro denominador cambia la escala.

  Cómo corregirlo: En una media común contá todos los datos. Si hay pesos o frecuencias, armá los productos $w_i x_i$, sumalos y dividí por $\sum w_i$. Verificá que el resultado quede entre el menor y el mayor valor cuando los pesos sean no negativos.

En resumen