Números racionales (Q)

La idea

Qué vas a aprender

• Qué es un número racional: un cociente de enterosconcepto

  Un número racional es todo número que se puede escribir como una fracción $\frac{a}{b}$, donde el numerador $a$ y el denominador $b$ son números enteros, con la única condición de que $b \neq 0$. El conjunto de todos los racionales se anota $\mathbb{Q}$, y se escribe así: $\mathbb{Q} = \{\frac{a}{b} : a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\}$.

  La clave es que arriba y abajo van enteros, así que el signo entra en juego. Por eso $\frac{2}{3}$, $-\frac{4}{5}$, $\frac{7}{1}$ y $\frac{0}{6}$ son todos racionales. Un mismo racional se puede escribir de varias formas equivalentes: $-\frac{3}{4}$, $\frac{-3}{4}$ y $\frac{3}{-4}$ son el mismo número, y también $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{50}{100}$.

  La única prohibición es el cero abajo: $\frac{5}{0}$ no es un número, porque dividir por cero no está definido. En cambio el cero arriba sí vale y siempre da cero: $\frac{0}{6}=0$.

• Todo entero es racional: $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$concepto

  Cualquier número entero también es racional, aunque no lo veas escrito como fracción. El truco es que todo entero se puede poner sobre denominador $1$ sin cambiar su valor: $5 = \frac{5}{1}$, $-3 = \frac{-3}{1}$ y $0 = \frac{0}{1}$. Como $\frac{a}{1}$ es un cociente de enteros, cae dentro de $\mathbb{Q}$.

  Esto quiere decir que los enteros están todos adentro de los racionales, sin que sobre ninguno. Se escribe $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ (se lee '$\mathbb{Z}$ está incluido en $\mathbb{Q}$'). Y como los naturales están dentro de los enteros, la cadena completa es $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$.

  Lo que aportan los racionales es todo lo que hay 'entre medio' de los enteros: entre $0$ y $1$ ahora viven $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $0,1$ y muchísimos más. Ojo con la dirección: todo entero es racional, pero no todo racional es entero, porque $\frac{1}{2}$ no es entero.

• La cara decimal de un racional: exacto o periódicoconcepto

  Todo racional tiene una escritura decimal, que aparece al dividir el numerador por el denominador. Siempre pasa una de dos cosas: la división termina (decimal exacto) o alguna cifra o grupo de cifras se repite para siempre (decimal periódico). Por ejemplo, $\frac14=0,25$ es exacto; $\frac13=0,\overline3$, $\frac56=0,8\overline3$ y $\frac{2}{11}=0,\overline{18}$ son periódicos. La parte que se repite se llama período; si empieza justo después de la coma es periódico puro y, si antes hay cifras que no se repiten, es periódico mixto.

  Para convertir un periódico puro en fracción, llamá $x$ al número, desplazá un período completo con una potencia de $10$ y restá para que las colas infinitas se cancelen. Si $x=0,\overline{27}$, entonces $100x=27,\overline{27}$. Al restar, $100x-x=27$, de modo que $99x=27$ y $x=\frac{27}{99}=\frac3{11}$.

  En un periódico mixto se alinean dos escrituras: una justo antes del período y otra después de desplazar un período completo. Si $x=1,2\overline3$, entonces $10x=12,\overline3$ y $100x=123,\overline3$. Al restar, $100x-10x=111$, así que $90x=111$ y $x=\frac{111}{90}=\frac{37}{30}$. En general, elegís potencias de $10$ según la cantidad de cifras no periódicas y la longitud del período, restás y simplificás. Si el decimal es negativo, convertís su valor absoluto y conservás el signo.

  Así se completa la conversión en ambos sentidos: los exactos se escriben sobre una potencia de $10$ y los periódicos se transforman mediante desplazamiento y resta. Un decimal infinito que no repite ningún bloque, como el de $\sqrt2$, queda fuera de $\mathbb Q$.

• Ordenar y ubicar racionales en la rectamétodo

  Cada racional tiene un lugar exacto en la recta numérica: los negativos a la izquierda del cero y los positivos a la derecha, igual que con los enteros, pero ahora también en los huecos que quedaban entre ellos. Para ubicar $\frac{3}{4}$, partís el tramo del $0$ al $1$ en $4$ partes iguales y contás $3$. Para $-\frac{5}{2}$, como $-\frac{5}{2}=-2,5$, va justo entre $-3$ y $-2$.

  Para comparar dos racionales, lo más seguro es llevarlos a un denominador común o pasarlos a decimal. Entre $\frac{2}{3}$ y $\frac{3}{5}$, con denominador $15$ quedan $\frac{10}{15}$ y $\frac{9}{15}$, así que $\frac{2}{3}>\frac{3}{5}$. Si ambos son negativos, el de mayor valor absoluto queda más a la izquierda y es menor: como $\frac12>\frac14$, resulta $-\frac12<-\frac14$. No se invierte cualquier comparación por el solo hecho de que aparezca un negativo; se ubican los valores en la recta.

  Hay una diferencia enorme con los enteros: entre dos racionales distintos siempre hay otro racional, y en realidad infinitos. Entre $\frac{1}{2}$ y $\frac{3}{4}$ está, por ejemplo, el punto medio $\frac{5}{8}$. Esa propiedad se llama densidad.

• Operar con racionales: fracción y signo a la vezmétodo

  Operar en $\mathbb{Q}$ no trae reglas nuevas: es combinar lo que ya sabés de fracciones con la regla de los signos de los enteros. La cuenta de fracciones (denominador común para sumar y restar, invertir la segunda para dividir) se hace igual; lo único que se agrega es decidir el signo del resultado.

  Para sumar y restar, llevás a denominador común y operás los numeradores respetando su signo. Por ejemplo $-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$: con denominador $6$ queda $-\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=-\frac{1}{6}$. Para multiplicar y dividir, hacés la cuenta con las fracciones y el signo sale por la regla de siempre (igual da más, distinto da menos): $\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)=+\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$, y $-\frac{3}{4}\div\frac{1}{2}=-\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{1}=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}$.

  Un buen orden de trabajo es resolver primero el signo del resultado y después la cuenta de las fracciones, así no se te escapa ningún menos. Y como siempre, conviene dejar la fracción final simplificada.

Ejemplos resueltos

• ¿Es $-1,5$ un número racional? Para responder, tenemos que ver si se puede escribir como fracción de dos enteros. Paso 1: $-1,5$ es un decimal exacto, así que lo pasamos a fracción. La parte decimal llega a los décimos: $-1,5=-\frac{15}{10}$. Paso 2: simplificamos dividiendo arriba y abajo por $5$: $-\frac{15}{10}=-\frac{3}{2}$. Como $-3$ y $2$ son enteros y $2 \neq 0$, efectivamente $-1,5=-\frac{3}{2}$ es racional.
• Escribamos $\frac{7}{20}$ y $\frac{5}{6}$ como decimal y digamos de qué tipo son. Paso 1: $\frac{7}{20}$. Conviene llevarlo a centésimos: $\frac{7}{20}=\frac{35}{100}=0,35$. La división termina, así que es un decimal exacto. Paso 2: $\frac{5}{6}$. Dividimos $5:6=0,8333\dots$; el $3$ se repite sin fin, así que es un decimal periódico: $\frac{5}{6}=0,8\overline{3}$. Los dos son racionales (salieron de una fracción): uno exacto y el otro periódico.
• Ordenemos de menor a mayor: $\frac{1}{2}$, $-\frac{3}{4}$, $0,6$, $-1$ y $\frac{1}{4}$. Paso 1: pasamos todo a decimal para verlos sobre la recta: $\frac{1}{2}=0,5$; $-\frac{3}{4}=-0,75$; $0,6$ queda igual; $-1$ queda igual; $\frac{1}{4}=0,25$. Paso 2: primero los negativos, a la izquierda del cero. Entre $-1$ y $-0,75$, el más chico es $-1$, porque está más lejos del cero. Paso 3: después los positivos, de menor a mayor: $0,25 < 0,5 < 0,6$. Orden final: $-1 < -\frac{3}{4} < \frac{1}{4} < \frac{1}{2} < 0,6$.
• Resolvamos $-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)$. Igual que con enteros y fracciones, la multiplicación va antes que la suma. Paso 1: la multiplicación. Los signos son distintos, así que el resultado es negativo: $\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$, entonces queda $-\frac{2}{5}$. Paso 2: ahora la suma $-\frac{2}{3}+\left(-\frac{2}{5}\right)=-\frac{2}{3}-\frac{2}{5}$. El denominador común de $3$ y $5$ es $15$: $-\frac{10}{15}-\frac{6}{15}=-\frac{16}{15}$. Resultado: $-\frac{16}{15}$.
• Busquemos un número racional que esté entre $\frac{1}{3}$ y $\frac{1}{2}$. Un método que nunca falla es calcular el punto medio (el promedio de los dos). Paso 1: sumamos, con denominador común $6$: $\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=\frac{5}{6}$. Paso 2: dividimos esa suma por $2$: $\frac{5}{6}\div 2=\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{2}=\frac{5}{12}$. Paso 3: comprobamos que está en el medio pasando todo a doceavos: $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$ y $\frac{1}{2}=\frac{6}{12}$, y $\frac{5}{12}$ cae justo entre ambos. Así que $\frac{5}{12}$ sirve. Y como este truco se puede repetir infinitas veces, entre dos racionales siempre hay otro.
• Convirtamos $0,1\overline6$ en fracción. Sea $x=0,1666\dots$. Hay una cifra no periódica y un período de una cifra: $10x=1,666\dots$ y $100x=16,666\dots$. Restamos las expresiones alineadas: $100x-10x=16,666\dots-1,666\dots$, de donde $90x=15$. Entonces $x=\frac{15}{90}=\frac16$. La resta elimina exactamente la cola periódica; no se trata de cortar el decimal.

Errores comunes

• Cree que entre $\frac{1}{2}$ y $\frac{3}{4}$ no hay ningún otro número, como pasa entre dos enteros seguidos.

  Eso vale para los enteros (entre $2$ y $3$ no hay enteros), pero no para los racionales. Entre dos racionales distintos siempre hay otro; de hecho, infinitos. Es la propiedad de densidad.

  Cómo corregirlo: Para encontrar uno, sacá el punto medio (el promedio): entre $\frac{1}{2}$ y $\frac{3}{4}$ está $\frac{\frac{1}{2}+\frac{3}{4}}{2}=\frac{5}{8}$.

• Resuelve $-\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{5}$ y da $\frac{6}{20}$ positivo, mirando solo las fracciones.

  En $\mathbb{Q}$ hay que combinar la cuenta de fracciones con la regla de los signos. Acá los signos son distintos (uno negativo y uno positivo), así que el resultado tiene que ser negativo.

  Cómo corregirlo: Decidí el signo primero: distinto da menos. Después la cuenta: $-\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{5}=-\frac{6}{20}=-\frac{3}{10}$.

• Piensa que $0,333\dots$ no es racional porque tiene infinitas cifras después de la coma.

  Tener infinitas cifras no lo saca de $\mathbb{Q}$. Lo que importa es si se repite un bloque: en $0,333\dots$ se repite el $3$, así que es periódico, y todo periódico es racional. De hecho $0,\overline{3}=\frac{1}{3}$.

  Cómo corregirlo: Fijate si hay un bloque que se repite. Si lo hay (o si la cuenta corta), es racional. Quedan afuera de $\mathbb{Q}$ solo los decimales que no terminan y tampoco repiten nada, como $\sqrt{2}$.

• Escribe $\frac{5}{0}$ y lo trata como un racional más.

  El denominador de un racional nunca puede ser $0$: dividir por cero no está definido, no da ningún número. La condición $b \neq 0$ es parte de la definición de $\mathbb{Q}$.

  Cómo corregirlo: Revisá siempre que el número de abajo no sea cero. El cero sí puede ir arriba: $\frac{0}{5}=0$, pero $\frac{5}{0}$ no existe.

• Dice que $-\frac{3}{4} > -\frac{1}{2}$ porque $\frac{3}{4}$ es mayor que $\frac{1}{2}$.

  Al negar dos cantidades positivas, su orden se invierte. $-\frac{3}{4}=-0,75$ está más lejos del cero hacia la izquierda que $-\frac{1}{2}=-0,5$, así que en realidad $-\frac{3}{4} < -\frac{1}{2}$.

  Cómo corregirlo: Pasá los dos a decimal o a denominador común y ubicalos en la recta: es mayor el que está más a la derecha, más cerca del cero. Acá $-\frac{1}{2} > -\frac{3}{4}$.

• Convierte $0,\overline3$ en $\frac3{10}$ porque toma una sola cifra y corta la repetición.

  $\frac3{10}=0,3$ es un decimal exacto y queda por debajo de $0,333\dots$. Cortar cambia el número.

  Cómo corregirlo: Usá desplazamiento y resta: si $x=0,\overline3$, entonces $10x=3,\overline3$; al restar, $9x=3$ y $x=\frac13$.

En resumen