Secundaria para Todos

Todavía sin progreso tuyo. Los estados que ves son el punto de partida de cualquiera, no una medición tuya. En cuanto practiques, esto pasa a mostrar tu dominio real.

La lección

Probabilidad básica: medir con un número qué tan posible es algo

Cuando el pronóstico dice "70% de probabilidad de lluvia", cuando comprás un número de la quiniela o cuando mirás las chances de que tu equipo salga campeón, alguien le puso número a la incertidumbre. La probabilidad es la matemática de lo que todavía no pasó.

La idea

Todos los días convivimos con cosas que no sabemos si van a pasar: si va a llover, si sale cara o ceca, si te toca la bolilla premiada. La probabilidad le pone un número entre $0$ y $1$ a esa incertidumbre. Si los resultados posibles tienen la misma chance, se cuentan casos favorables y totales; si no hay equiprobabilidad, puede estimarse una probabilidad mediante repeticiones comparables. Una simulación permite estudiar muchas veces un modelo aleatorio previamente justificado. En experiencias de varias etapas hay que describir cada recorrido completo antes de contar, y una serie finita puede fluctuar.

Qué vas a aprender

El vocabulario del azar: experimento, espacio muestral y sucesoconcepto
Un experimento aleatorio es una acción cuyo resultado individual no podés anticipar con certeza: tirar un dado, arrojar una moneda, sacar una carta de un mazo mezclado. Para estudiarlo se especifican las condiciones, el resultado que se registrará y el suceso de interés; después se repite el procedimiento de la misma manera y se comparan las observaciones.
El espacio muestral es el conjunto de TODOS los resultados posibles y se suele anotar con $E$ . Para una moneda es $E=\{\text{cara},\text{ceca}\}$ ; para un dado, $E=\{1,2,3,4,5,6\}$ . En un experimento de dos etapas cada resultado describe el recorrido completo y el orden: en dos lanzamientos sucesivos de una moneda, tomando $C=\text{cara}$ y $X=\text{ceca}$ , $E=\{(C,C),(C,X),(X,C),(X,X)\}$ . Un listado, una tabla de doble entrada o un árbol ayuda a no omitir caminos.
Un suceso (o evento) es un resultado o un grupo de resultados que nos interesa. "Sacar un número par" en el dado es $\{2,4,6\}$ ; "obtener exactamente una cara en dos lanzamientos" es $\{(C,X),(X,C)\}$ . Primero se construye el espacio muestral y recién después se cuentan los resultados del suceso.
Regla de Laplace: casos favorables sobre casos posiblesmétodo
Cuando todos los resultados elementales tienen la misma chance —son equiprobables— la probabilidad de un suceso $A$ se calcula con la regla de Laplace: $P(A)=\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$ . Los casos favorables son los resultados completos que hacen que $A$ ocurra; los posibles son todos los del espacio muestral.
Al tirar un dado, los favorables a obtener un número par son $\{2,4,6\}$ y los posibles son 6, así que $P(\text{par})=3/6=1/2$ . En dos lanzamientos de una moneda equilibrada hay cuatro recorridos equiprobables: $(C,C),(C,X),(X,C),(X,X)$ . Exactamente una cara ocurre en dos, por lo que $P=2/4=1/2$ . Agrupar «una de cada» como si fuera un único resultado rompería la equiprobabilidad.
La regla solo funciona si los resultados elementales que se cuentan son equiprobables. En un dado equilibrado lo son; pero "que tu equipo gane, empate o pierda" no son tres casos con la misma chance. En ese caso hace falta un modelo justificado o evidencia experimental, no dividir por la cantidad de etiquetas.
La probabilidad vive entre 0 y 1 (y se escribe de tres formas)concepto
Toda probabilidad es un número entre 0 y 1: $0 \leq P(A) \leq 1$ . Nunca da negativa ni mayor que 1. Los dos extremos tienen nombre: un suceso imposible tiene probabilidad $0$ (sacar un 7 en un dado de 6 caras) y un suceso seguro tiene probabilidad $1$ (sacar un número menor que 7 en ese mismo dado). Cuanto más se acerca a 1, más probable es.
Como es un número entre 0 y 1, lo podés escribir de tres maneras equivalentes, y acá te apoyás en lo que ya sabés de fracciones y porcentajes: $\frac{1}{2} = 0,5 = 50\%$ . Otro ejemplo: $\frac{3}{4} = 0,75 = 75\%$ . Cuando el pronóstico dice " $70\%$ de probabilidad de lluvia", está diciendo $P = 0,7 = \frac{7}{10}$ . Saber saltar entre las tres formas te deja comparar probabilidades de un vistazo.
El suceso contrario: calcular por el lado fácilmétodo
El suceso contrario (o complementario) de $A$ es "que $A$ no ocurra", y se anota $\bar{A}$ . Como necesariamente pasa $A$ o pasa su contrario, sus probabilidades suman 1: $P(\bar{A})=1-P(A)$ .
Sirve cuando contar lo que querés es engorroso, pero contar lo contrario es fácil. En un dado, $P(\text{no sacar }6)=1-1/6=5/6$ . En dos lanzamientos independientes de un dado equilibrado, «al menos un 6» tiene como contrario «ningún 6». De los 36 pares ordenados equiprobables, 25 no contienen un 6, así que $P(\text{al menos un }6)=1-25/36=11/36$ . En procesos más largos, la regla del producto simplificará ese conteo en Probabilidad avanzada.
Cuando no hay equiprobabilidad: la frecuencia relativaconcepto
No siempre los resultados tienen la misma chance: un dado cargado, una chinche que puede caer de punta o de costado, un arquero que ataja o no un penal. La frecuencia experimental o relativa observada es $f_r=\frac{\text{veces que ocurrió el suceso}}{\text{cantidad total de repeticiones}}$ . Si un arquero atajó 18 de 60 penales bajo condiciones comparables, la frecuencia observada es $18/60=0{,}3=30\%$ ; es evidencia para estimar, no una garantía sobre el intento siguiente.
Entre tandas aparecen fluctuaciones. Al aumentar la cantidad de repeticiones independientes bajo condiciones estables, la frecuencia suele estabilizarse alrededor de una probabilidad, pero no tiene que acercarse en cada paso y más repeticiones no corrigen un procedimiento sesgado. Por eso se registran número de ensayos, condiciones y resultados, y se comparan varias tandas.
Una simulación imita el mecanismo aleatorio con monedas, dados o números generados por computadora. Primero se define cómo cada resultado simulado representa al experimento; después se repite el ensayo completo —incluidas todas sus etapas—, se registra el suceso y se calcula su frecuencia. Simular muchas veces reduce la fluctuación típica, pero no corrige un modelo que asigna probabilidades o dependencias equivocadas.

Ejemplos resueltos

Bolsa de bolitas. En una bolsa hay 5 bolitas rojas, 3 verdes y 2 azules, todas iguales al tacto. Sacamos una sin mirar. Tomando cada bolita física como resultado elemental, hay $5+3+2=10$ resultados equiprobables. Probabilidad de sacar roja: $P(\text{roja})=5/10=1/2=0{,}5=50\%$ . Probabilidad de sacar verde: $P(\text{verde})=3/10=0{,}3=30\%$ . Usando el contrario, $P(\text{no azul})=1-2/10=8/10=4/5=0{,}8=80\%$ . Contando directo, «no azul» reúne las 5 rojas y las 3 verdes: coincide.
Dos etapas. Se lanza dos veces una moneda equilibrada. El listado completo es $(C,C),(C,X),(X,C),(X,X)$ . Para obtener exactamente una cara sirven $(C,X)$ y $(X,C)$ : $P=2/4=1/2$ . Para obtener al menos una cara conviene el complemento: solo $(X,X)$ no tiene caras, de modo que $P=1-1/4=3/4$ . Escribir recorridos ordenados evita confundir cuatro resultados equiprobables con tres etiquetas agrupadas.
Simulación y frecuencia experimental. Para simular dos monedas se generan dos dígitos uniformes e independientes por ensayo: par representa cara e impar, ceca. En una corrida hipotética de 200 ensayos completos, «exactamente una cara» apareció 104 veces, con frecuencia $104/200=0{,}52$ . El valor teórico es $0{,}5$ : la diferencia es compatible con la fluctuación de una muestra finita. Otra corrida puede dar otro valor; hay que repetir bajo la misma regla y comprobar que el generador represente monedas equilibradas e independientes.

Errores comunes

Decir que, como "gana o pierde", la probabilidad de que gane su equipo es $\frac{1}{2}$ .
La regla de Laplace (favorables sobre posibles) solo vale cuando todos los resultados tienen la misma chance. Ganar y perder no son igual de probables: dependen de los equipos, la localía, las lesiones. Contar "2 resultados" y partirlos por igual inventa una simetría que no existe.
Cómo corregirlo: Antes de dividir, preguntate si los resultados elementales son equiprobables. Si no lo son, necesitás un modelo justificado o repeticiones comparables: registrá la frecuencia experimental y explicá las condiciones o la simulación usada.
Al tirar dos monedas, pensar que hay 3 resultados equiprobables (dos caras, dos cecas, una de cada) y decir que "una de cada" tiene probabilidad $\frac{1}{3}$ .
Al tirar dos monedas los resultados equiprobables son 4, porque las monedas se distinguen: $(\text{cara}, \text{cara})$ , $(\text{cara}, \text{ceca})$ , $(\text{ceca}, \text{cara})$ y $(\text{ceca}, \text{ceca})$ . "Una cara y una ceca" abarca DOS de esos cuatro casos, no uno.
Cómo corregirlo: Listá los recorridos ordenados, armá una tabla de doble entrada o dibujá un árbol antes de agrupar. Así ves que $P(\text{una de cada})=2/4=1/2$ , distinto de $1/3$ .
Dar como resultado una probabilidad mayor que 1, por ejemplo $P = \frac{8}{6}$ , o una negativa.
Una probabilidad siempre está entre 0 y 1, porque los casos favorables son parte de los posibles y nunca pueden ser más. Si te da más que 1, seguro confundiste el número de arriba con el de abajo, o contaste mal el total.
Cómo corregirlo: Revisá que los casos favorables sean un subconjunto de los posibles (favorables $\leq$ posibles). Control rápido: si el resultado no cae entre 0 y 1, está mal sí o sí; volvé a contar el espacio muestral.
Para "no sacar un 6" en un dado, hacer $1 - 1 = 0$ , restándole al 1 el caso favorable.
La fórmula del contrario es $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ : al 1 se le resta la PROBABILIDAD, no la cantidad de casos. Restar el conteo mezcla dos cosas distintas y da un disparate (acá, 0, como si fuera imposible no sacar un 6).
Cómo corregirlo: Calculá primero la probabilidad del suceso y recién restala de 1. Como $P(\text{sacar } 6) = \frac{1}{6}$ , el contrario es $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ . Chequeo: contando directo, los favorables a "no 6" son $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ , o sea $\frac{5}{6}$ .

En resumen

La probabilidad asigna a la incertidumbre un número entre 0 y 1. Con resultados elementales equiprobables se usa Laplace; en procesos de varias etapas se enumeran recorridos completos mediante listas, tablas o árboles antes de contar. La frecuencia experimental resume qué ocurrió en repeticiones comparables y una simulación permite estudiar un modelo muchas veces: ambas fluctúan y dependen de condiciones válidas. El complemento $P(\bar{A})=1-P(A)$ simplifica sucesos como «al menos uno».

Probabilidad básica