Secundaria para Todos

El estado que ves acá es de demostración. Cuando completes tu diagnóstico va a reflejar tu dominio real.

La lección

Porcentajes: partes de cada cien, descuentos y aumentos

Cada vez que ves "30% OFF" en una vidriera, escuchás que la SUBE aumentó un 12%, dejás el 10% de propina o leés que "el 60% votó a favor", estás usando porcentajes. Son la forma más común de hablar de plata y de partes en la calle.

La idea

Un porcentaje es una manera cómoda de decir "cuánto de cada 100". Cuando ves $30\%$ , leelo como "treinta de cada cien". Por debajo es una fracción con el 100 siempre fijo abajo: $30\% = \frac{30}{100}$ . Como el denominador nunca cambia, en vez de escribir toda la fracción alcanza con el número y el símbolo $\%$ . En descuentos y aumentos permite calcular esa fracción sobre una cantidad concreta; en estadística y probabilidad también sirve para expresar frecuencias o probabilidades dentro de un análisis que requiere contexto, método y límites.

Qué vas a aprender

Qué es un porcentajeconcepto
Un porcentaje es una fracción de denominador 100. En símbolos: $x\% = \frac{x}{100}$ . Por eso $50\% = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$ (la mitad), $25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ (la cuarta parte) y $10\% = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ (la décima parte).
Dos casos que conviene tener a mano: $100\%$ es el total entero, y un porcentaje puede superar el $100\%$ ; por ejemplo, $150\%$ de una cantidad es una vez y media esa cantidad. Pensarlo como "de cada cien" evita confusiones: una tasa de aprobación del $8\%$ representa 8 aprobaciones por cada 100 casos comparables.
Pasar de porcentaje a decimal (y volver)método
Como $x\% = \frac{x}{100}$ , convertir un porcentaje en decimal es dividir por 100, lo que equivale a correr la coma dos lugares hacia la izquierda. Así $25\% = 0,25$ , $7\% = 0,07$ (ojo: un solo dígito se completa con un cero) y $150\% = 1,5$ .
Para volver de decimal a porcentaje se hace al revés: multiplicar por 100, o sea correr la coma dos lugares a la derecha. Entonces $0,3 = 30\%$ y $0,08 = 8\%$ . Tener el decimal a mano es clave, porque es la forma más rápida de operar con la calculadora o de cabeza.
Calcular el porcentaje de una cantidadmétodo
Para sacar el $x\%$ de una cantidad $N$ , se multiplica la fracción por esa cantidad: $A=\frac{x}{100}\cdot N$ . En la práctica conviene usar el porcentaje decimal $p=\frac{x}{100}$ , de modo que $A=pN$ . Por ejemplo, el $20\%$ de $350$ es $0,20\cdot350=70$ .
Dos atajos útiles: el $10\%$ de algo es dividirlo por 10 y el $50\%$ es la mitad. Con esos dos se arman muchos otros de cabeza: el $5\%$ es la mitad del $10\%$ , y el $30\%$ es tres veces el $10\%$ .
El problema inverso pregunta por el total. Si sabés que el $12\%$ de un número es $48$ , planteás $0,12N=48$ y dividís por el porcentaje decimal: $N=48\div0,12=400$ . En general, si $A=pN$ y $p\neq0$ , entonces $N=\frac{A}{p}$ . No se divide por el número $12$ , sino por $0,12$ .
Aplicar descuentos y aumentosmétodo
Un descuento del $x\%$ deja el factor $1-p$ , y un aumento agrega ese porcentaje mediante el factor $1+p$ , donde $p=\frac{x}{100}$ . Por ejemplo, un descuento del $30\%$ sobre $2000$ da $2000\cdot0,70=1400$ ; un aumento del $15\%$ sobre $800$ da $800\cdot1,15=920$ . El camino largo —calcular la parte y sumarla o restarla— produce lo mismo.
Para recuperar el valor inicial se deshace el factor, no se resta el porcentaje del valor final. Si después de aumentar un $20\%$ un precio queda en $54000$ , entonces $V_f=1,20V_0$ y $V_0=54000\div1,20=45000$ . Después de un descuento del $20\%$ , en cambio, $V_f=0,80V_0$ y el inicial se recupera dividiendo por $0,80$ . Este procedimiento exige un factor distinto de cero: tras un descuento del $100\%$ , todos los valores iniciales terminan en $0$ y el dato final no permite reconstruir uno único.
En cambios sucesivos, cada porcentaje se aplica sobre el valor vigente y los factores se multiplican en orden. Dos aumentos del $10\%$ producen $V_f=V_0\cdot1,10\cdot1,10=1,21V_0$ : el aumento total es $21\%$ , no $20\%$ . Un aumento y un descuento no se cancelan por tener números parecidos; se cancelan únicamente si el producto de sus factores es $1$ . Por ejemplo, aumentar $100\%$ y luego descontar $50\%$ sí vuelve al inicio: $2\cdot0,50=1$ .
Averiguar qué porcentaje es una parte de un totalmétodo
Cuando tenés una parte y un total distinto de cero, y querés saber qué porcentaje representa, dividís la parte por el total y multiplicás por 100: $\frac{\text{parte}}{\text{total}}\cdot100$ . Por ejemplo, si en un curso de $24$ alumnos hay $18$ aprobados, el porcentaje es $\frac{18}{24}\cdot100=75\%$ . La cuenta parte/total da $0,75$ y el $\cdot100$ lo expresa como porcentaje.
Al comparar dos porcentajes hay dos medidas diferentes. La diferencia en puntos porcentuales es una resta directa: pasar de $40\%$ a $50\%$ son $50-40=10$ puntos porcentuales. La variación porcentual relativa compara esa diferencia con el valor inicial: $\frac{50-40}{40}\cdot100=25\%$ . Esta variación relativa solo está definida si el valor inicial es distinto de cero; desde $0\%$ puede informarse la diferencia en puntos, pero no un porcentaje relativo finito. Decir "subió 10 puntos" y "subió un 25 por ciento respecto de la tasa inicial" describe el mismo cambio desde perspectivas distintas; decir que subió un $10\%$ sería incorrecto.

Ejemplos resueltos

Descuento en una compra. Unas zapatillas cuestan $\$40000$ y tienen un $15\%$ de descuento. Primero calculo el descuento: $15\%$ de $40000 = 0,15 \cdot 40000 = 6000$ . Después lo resto del precio: $40000 - 6000 = 34000$ . Precio final: $\$34000$ . Verificación con el camino corto: pago el $85\%$ , o sea $0,85 \cdot 40000 = 34000$ . Coincide.
Aumento del boleto. El boleto de colectivo costaba $\$500$ y aumentó un $12\%$ . El aumento es $12\%$ de $500 = 0,12 \cdot 500 = 60$ , así que el nuevo precio es $500 + 60 = 560$ . Por el camino corto (factor de aumento): $1,12 \cdot 500 = 560$ . El boleto pasa a costar $\$560$ .
Qué porcentaje aprobó. En una prueba, $20$ de $25$ alumnos aprobaron. Para saber el porcentaje divido parte sobre total y multiplico por 100: $\frac{20}{25} \cdot 100 = 0,8 \cdot 100 = 80\%$ . Aprobó el $80\%$ del curso.
Porcentaje inverso. El $12\%$ de un número es $48$ . Escribo el porcentaje como decimal y planteo $0,12N=48$ . Divido ambos lados por $0,12$ : $N=48\div0,12=400$ . Control: $0,12\cdot400=48$ .
Valor inicial y cambios sucesivos. Un precio termina en $7200$ después de dos aumentos sucesivos del $20\%$ . Cada aumento aporta un factor $1,20$ , así que $7200=V_0\cdot1,20\cdot1,20=1,44V_0$ . Recupero el inicial dividiendo: $V_0=7200\div1,44=5000$ .
Puntos porcentuales. Una tasa pasa de $40\%$ a $50\%$ . La diferencia es de $10$ puntos porcentuales. Respecto del valor inicial, el crecimiento relativo es $\frac{10}{40}\cdot100=25\%$ . Las dos respuestas no compiten: miden cosas distintas.

Errores comunes

Ante un 20% de descuento sobre $500, restar 20 y pagar $480.
El $20$ del $20\%$ no son pesos: es "20 de cada 100". Restarlo directo trata al porcentaje como si fuera un monto, y sobre un precio grande subestima muchísimo el descuento.
Cómo corregirlo: Calculá primero cuánto es ese porcentaje del precio y recién restá: $20\%$ de $500 = 0,20 \cdot 500 = 100$ , entonces $500 - 100 = 400$ . El descuento real es $\$100$ , no $\$20$ .
Escribir $25\% = 2,5$ o $5\% = 0,5$ al pasar a decimal.
Pasar de porcentaje a decimal es dividir por 100, o sea correr la coma DOS lugares a la izquierda, no uno. Con un solo lugar el número queda diez veces más grande de lo que debe.
Cómo corregirlo: Movés siempre dos lugares y, si falta un dígito, completás con cero: $25\% = 0,25$ y $5\% = 0,05$ . Chequeo rápido: $50\%$ tiene que dar $0,5$ (la mitad), no $5$ .
Al buscar qué porcentaje es 18 de 24, calcular $\frac{18}{24} = 0,75$ y contestar "0,75%".
La cuenta parte/total da la fracción en decimal ( $0,75$ ), que todavía no es el porcentaje. Falta el paso de multiplicar por 100. Además $0,75\%$ sería una porción diminuta, casi nada, lo que delata que algo no cierra.
Cómo corregirlo: Después de dividir, multiplicá por 100: $\frac{18}{24} \cdot 100 = 75\%$ . Regla mental: si la parte es más de la mitad del total, el porcentaje tiene que dar más de $50\%$ .
Creer que si un precio sube 10% y después baja 10%, queda igual que al principio.
El descuento se aplica sobre el precio YA aumentado, que es una base distinta (más grande) que la original. Por eso el $10\%$ que se saca es mayor que el $10\%$ que se había sumado, y el precio final queda por debajo del inicial.
Cómo corregirlo: Aplicá cada porcentaje sobre la cantidad vigente y multiplicá sus factores. Un precio de $\$10000$ que sube $10\%$ y baja $10\%$ queda en $10000\cdot1,1\cdot0,9=9900$ . Solo hay cancelación si el producto de factores vale $1$ , como al aumentar $100\%$ y luego descontar $50\%$ : $2\cdot0,50=1$ .
Para recuperar un precio anterior a un aumento del $20\%$ , le resta el $20\%$ al precio final.
El aumento se calculó sobre el valor inicial, mientras que esa resta usaría como base un valor final mayor. Son bases diferentes.
Cómo corregirlo: Deshacé el factor: si $V_f=1,20V_0$ , entonces $V_0=V_f\div1,20$ . Después de un descuento del $20\%$ , dividí por $0,80$ .
Dice que pasar del $40\%$ al $50\%$ es un aumento del $10\%$ .
La resta da $10$ puntos porcentuales. Como proporción del valor inicial, la suba es $10/40=0,25$ , es decir $25\%$ .
Cómo corregirlo: Nombrá la medida: restá tasas para puntos porcentuales; dividí la diferencia por la tasa inicial para variación relativa.

En resumen

Un porcentaje es una razón sobre cien. En el cálculo directo, $A=pN$ ; en el inverso, $N=A/p$ . Aumentos y descuentos se expresan con factores $1+p$ y $1-p$ : para recuperar el valor inicial se divide por el factor y, en cambios sucesivos, los factores se multiplican. Parte sobre total por $100$ da una tasa porcentual. Al comparar tasas, la resta mide puntos porcentuales y la diferencia dividida por la tasa inicial mide variación relativa.

Porcentajes