Proporcionalidad

La idea

Qué vas a aprender

• Proporcionalidad directa: el cociente que se mantiene fijoconcepto

  Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar una por un factor, la otra queda multiplicada por el mismo factor: con un precio unitario fijo, el doble de kilos cuesta el doble. Lo que se mantiene es el cociente entre las magnitudes, llamado constante de proporcionalidad $k$.

  En símbolos, para los pares con $x\neq0$, $\frac{y}{x}=k$; de forma equivalente, $y=kx$, fórmula que también incluye el par $(0,0)$. El valor de $k$ tiene unidades y un significado concreto. Si $2$ kg de yerba cuestan $\$3000$, $k=\frac{3000}{2}=1500$ pesos por kg y $6$ kg cuestan $6\cdot1500=9000$. La relación solo es proporcional mientras ese precio por unidad se mantenga.

  Una cantidad puede depender directamente de más de un factor. Si máquinas iguales producen a ritmo constante, las piezas son proporcionales tanto a la cantidad de máquinas como al tiempo: $p=k\cdot m\cdot h$, donde $k$ mide piezas por máquina-hora. Este modelo exige mantener iguales las máquinas, su ritmo y las demás condiciones.

• Regla de tres simple directamétodo

  Cuando conocés tres datos de una relación directa y te falta el cuarto, podés hallar la constante o armar una proporción manteniendo el mismo orden de magnitudes. Si $3$ kg cuestan $\$4500$ y buscás el precio de $5$ kg, $k=4500\div3=1500$ pesos por kg y $5\cdot1500=7500$. También vale $\frac{3}{5}=\frac{4500}{x}$; los productos cruzados dan $3x=5\cdot4500$ y $x=7500$. Primero se justifica el modelo directo; la regla de tres no lo crea.

• Proporcionalidad inversa: el producto que se mantiene fijoconcepto

  Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar una por un factor, la otra queda dividida por ese mismo factor. Lo que se mantiene fijo no es el cociente, sino el producto: $x\cdot y=k$, o $y=\frac{k}{x}$ para $x\neq0$.

  Pensalo con una cantidad de trabajo fija y personas de igual productividad. Si $4$ pintores terminan la misma pared en $6$ días, $k=4\cdot6=24$ jornadas de pintor. Bajo esas condiciones, con más pintores se necesitan menos días y el producto sigue dando $24$. Lo mismo ocurre entre velocidad y tiempo solo para una distancia fija, o entre canillas iguales y tiempo solo para llenar el mismo volumen.

  Que una magnitud aumente mientras la otra disminuye es apenas una pista: hay relaciones decrecientes que no son inversamente proporcionales. Para decidir hay que comprobar que el producto sea constante.

• Regla de tres simple inversamétodo

  En una relación inversa, el camino más directo es usar el producto constante. Si $4$ pintores de igual rendimiento tardan $6$ días en la misma pared y se pregunta por $3$ pintores, $k=4\cdot6=24$ y el tiempo es $24\div3=8$ días. El control es $4\cdot6=3\cdot8$.

  También puede escribirse una proporción con una razón invertida: $\frac{4}{3}=\frac{8}{6}$, y verificarla con productos cruzados. Multiplicar en cruz no está prohibido en una inversa; el error sería igualar las razones en el mismo sentido, como si el cociente fuera constante. Lo específico del modelo es $x_1y_1=x_2y_2$.

  La dirección del cambio sirve para anticipar si el resultado debería subir o bajar, pero no decide el modelo. Antes de calcular, verificá las condiciones del contexto y luego comprobá cociente constante para directa o producto constante para inversa.

• Cuándo NO hay proporcionalidadmétodo

  No todo par de magnitudes que crecen juntas es proporcional, y suponerlo es el error más caro del tema. Para estar seguro, hacé el test: si es directa, el cociente $\frac{y}{x}$ tiene que dar siempre lo mismo; si es inversa, el producto $x \cdot y$ tiene que dar siempre lo mismo. Si ni uno ni otro se mantiene, no es proporcional y la regla de tres no sirve.

  Caso típico: un remís con bajada de bandera. Si cobra un fijo de arranque más un valor por km, duplicar los km NO duplica el precio, porque el fijo se paga una sola vez. Otro caso: la edad y la estatura de una persona; a los $10$ años no medís la mitad que a los $20$. Antes de resolver, chequeá que la relación sea realmente proporcional: $\frac{y}{x}$ constante o $x \cdot y$ constante.

Ejemplos resueltos

• DIRECTA (regla de tres). En el kiosco, 4 alfajores cuestan $\$2600$. ¿Cuánto pagás por 7? Paso 1: reconocé el tipo. Más alfajores, más plata, y cada alfajor vale lo mismo $\to$ es directa. Paso 2: buscá la constante (el precio de uno): $k = \frac{2600}{4} = 650$ pesos por alfajor. Paso 3: usá la constante para los 7: $7 \cdot 650 = 4550$. Verificación con regla de tres: $\frac{4}{7} = \frac{2600}{x} \Rightarrow 4 \cdot x = 7 \cdot 2600 = 18200 \Rightarrow x = \frac{18200}{4} = 4550$. Respuesta: $\$4550$.
• INVERSA (regla de tres). Un tanque se llena con 6 canillas iguales en 20 minutos. Si abrís solo 4 canillas, ¿cuánto tarda? Paso 1: el volumen es el mismo y las canillas iguales trabajan al mismo ritmo, por eso canillas por tiempo se mantiene constante; que haya menos canillas permite anticipar que tardará más. Paso 2: $k = 6 \cdot 20 = 120$. Paso 3: con 4 canillas, $x = \frac{120}{4} = 30$ minutos. Verificación: $6 \cdot 20 = 4 \cdot 30 = 120$.
• NO PROPORCIONAL (discernir). Un remís cobra $\$800$ de bajada de bandera más $\$300$ por km. ¿El precio es directamente proporcional a los km? Calculo dos casos: para 2 km, $800 + 2 \cdot 300 = 1400$; para 4 km, $800 + 4 \cdot 300 = 2000$. Aplico el test del cociente: $\frac{1400}{2} = 700$ pero $\frac{2000}{4} = 500$. Como $700 \neq 500$, el cociente no se mantiene: NO es proporcional. Se nota también en que duplicar los km (de 2 a 4) no duplica el precio (1400 no pasa a 2800). El culpable es la bajada de bandera fija; solo la parte de $\$300$ por km, por sí sola, sería proporcional.
• DIRECTA COMPUESTA (máquinas y tiempo). Cuatro máquinas iguales producen 720 piezas en 3 horas. Primero hallamos la tasa conjunta: $720\div(4\cdot3)=60$ piezas por máquina-hora. Si trabajan 6 máquinas durante 5 horas al mismo ritmo, producen $60\cdot6\cdot5=1800$ piezas. Duplicar máquinas duplicaría la producción y duplicar horas también, siempre que las demás condiciones permanezcan fijas.

Errores comunes

• Plantea una relación inversa con las razones en el mismo sentido, como si fuera directa, y concluye que más pintores tardan más.

  En la inversa no es constante $y/x$, sino $x\cdot y$. El producto cruzado es una operación algebraica válida, pero debe partir de una proporción correctamente invertida.

  Cómo corregirlo: Usá $x_1y_1=x_2y_2$ o una proporción equivalente como $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_2}{y_1}$. Después controlá que al aumentar una magnitud la otra disminuya bajo las mismas condiciones.

• Aplica regla de tres a magnitudes que en realidad no son proporcionales (precio de un viaje con bajada de bandera, edad y estatura, etc.).

  Que dos cantidades crezcan juntas no las hace proporcionales. Si hay un valor fijo de arranque o el ritmo cambia, ni el cociente ni el producto se mantienen constantes, y la regla de tres da un número inventado.

  Cómo corregirlo: Chequeá primero con dos pares de datos: para directa, $\frac{y}{x}$ tiene que dar siempre lo mismo; para inversa, $x \cdot y$ tiene que dar siempre lo mismo. Recién si eso se cumple, aplicás la regla.

• En una relación inversa calcula la constante dividiendo ($k = \frac{y}{x}$) en lugar de multiplicar ($k = x \cdot y$).

  Confunde la regla de la directa con la de la inversa. En la inversa la constante es el producto de las dos magnitudes; dividir mezcla los dos modelos y arrastra el error a todo el problema.

  Cómo corregirlo: Fijá la idea clave: directa $\to$ cociente constante ($\frac{y}{x} = k$); inversa $\to$ producto constante ($x \cdot y = k$). En la inversa, multiplicá los dos valores conocidos que van juntos para obtener $k$.

• Razona con sumas: 'si 2 kg cuestan $3000, entonces 5 kg cuestan 3000 más un poco', o suma la diferencia de cantidad al precio.

  La proporcionalidad directa se rige por multiplicación, no por suma. Pasar de 2 a 5 kg no es sumar 3, es multiplicar por $\frac{5}{2}$; el precio hay que escalarlo por ese mismo factor, no sumarle un número suelto.

  Cómo corregirlo: Trabajá siempre con la constante o con la razón: hallá el precio de una unidad ($k = \frac{3000}{2} = 1500$) y multiplicá por la cantidad ($5 \cdot 1500 = 7500$). Si dudás, comprobá que $\frac{y}{x}$ dé el mismo $k$ en todos los pares.

En resumen