Secundaria para Todos

Todavía sin progreso tuyo. Los estados que ves son el punto de partida de cualquiera, no una medición tuya. En cuanto practiques, esto pasa a mostrar tu dominio real.

La lección

Trigonometría: razones, identidad pitagórica y ley del coseno

¿Cómo medís la altura del Obelisco sin treparlo con una cinta métrica? Parándote a cierta distancia y midiendo el ángulo con el que ves la punta. La trigonometría convierte ángulos en distancias: sirve para calcular alturas, inclinaciones de rampas y techos, y es la base de la navegación y el GPS.

La idea

La idea central es relacionar ángulos y longitudes. En un triángulo rectángulo, fijar un ángulo agudo determina las proporciones entre sus lados porque todos los triángulos con ese ángulo son semejantes: de ahí nacen seno, coseno y tangente. Pitágoras también deja una relación entre seno y coseno, la identidad $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ . Y cuando el triángulo no es rectángulo, la ley del coseno extiende esa misma conexión para calcular un lado a partir de otros dos y del ángulo comprendido.

Qué vas a aprender

Lados, ángulos y semejanza en el triángulo rectánguloconcepto
En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo de $90^\circ$ es la $\textbf{hipotenusa}$ y los otros dos son los $\textbf{catetos}$ . Respecto de un ángulo agudo $\alpha$ , el cateto que está enfrente es el $\textbf{opuesto}$ y el que lo forma junto con la hipotenusa es el $\textbf{adyacente}$ . Si cambiás el ángulo de referencia, opuesto y adyacente se intercambian.
Dos triángulos rectángulos que comparten un ángulo agudo son semejantes por el criterio ángulo-ángulo. Por eso sus lados correspondientes son proporcionales y el cociente entre dos de ellos no depende del tamaño del triángulo. Esa invariancia permite asociar a cada ángulo valores fijos como $\sin(30^\circ)=0{,}5$ .
Seno, coseno y tangente: las tres razonesconcepto
Fijado el ángulo agudo $\alpha$ , se definen $\sin \alpha=\dfrac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}$ , $\cos \alpha=\dfrac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}$ y $\tan \alpha=\dfrac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}$ . La regla SOH-CAH-TOA ayuda a recordar qué lados intervienen.
Como ambos catetos son menores que la hipotenusa, el seno y el coseno de un ángulo agudo están entre 0 y 1. Además, al dividir seno por coseno se cancela la hipotenusa y queda $\tan \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ .
Identidad pitagórica y ley del cosenoconcepto
Si dividís la igualdad de Pitágoras $op^2+ady^2=hip^2$ por $hip^2$ , obtenés $\left(\frac{op}{hip}\right)^2+\left(\frac{ady}{hip}\right)^2=1$ . Es decir, $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ . Esta identidad permite hallar una razón a partir de la otra: para un ángulo agudo, si $\sin\alpha=0{,}6$ , entonces $\cos\alpha=\sqrt{1-0{,}6^2}=0{,}8$ ; se toma la raíz positiva porque ambos cocientes son positivos.
La ley del coseno sirve en cualquier triángulo. Si dos lados $a$ y $b$ forman el ángulo $\gamma$ y el lado opuesto es $c$ , entonces $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$ . Con $a=8$ , $b=5$ y $\gamma=60^\circ$ , resulta $c^2=64+25-80\cdot0{,}5=49$ , por lo que $c=7$ . Si $\gamma=90^\circ$ , $\cos90^\circ=0$ y la fórmula se reduce a Pitágoras.
La misma ley permite hallar un ángulo cuando se conocen los tres lados. Se despeja $\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ y después se aplica la inversa: $\gamma=\arccos\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)$ . El lado $c$ debe ser el opuesto al ángulo buscado y la calculadora debe estar en modo grados. Como control, el ángulo mayor debe quedar frente al lado mayor.
Encontrar un lado que faltamétodo
El método tiene cuatro pasos: (1) marcá el ángulo conocido y el ángulo recto; (2) identificá qué lado conocés y cuál querés, siempre respecto de ese ángulo (opuesto, adyacente o hipotenusa); (3) elegí la razón que conecta justo esos dos lados; (4) despejá.
Por ejemplo, si conocés el ángulo y el cateto adyacente, y querés el cateto opuesto, la razón que los une es la tangente: de $\tan \alpha = \dfrac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}$ despejás opuesto $= \text{adyacente} \cdot \tan \alpha$ . Detalle que arruina la mitad de las cuentas si lo pasás por alto: la calculadora tiene que estar en $\textbf{modo grados}$ (debe decir DEG en la pantalla, no RAD). Recién ahí escribís $\tan(35^\circ)$ y multiplicás.
Encontrar un ángulo que faltamétodo
En un triángulo rectángulo, si conocés dos lados y buscás un ángulo, usás las $\textbf{funciones inversas}$ : $\sin^{-1}$ , $\cos^{-1}$ y $\tan^{-1}$ (en la calculadora aparecen apretando SHIFT antes de sin/cos/tan; también se escriben $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ ). Estas funciones hacen el camino de vuelta: les pasás una razón y devuelven el ángulo.
Por ejemplo, si calculaste que $\sin\alpha=0{,}6$ , entonces $\alpha=\sin^{-1}(0{,}6)\approx36{,}87^\circ$ . ¿Qué razón elegir? Si conocés los dos catetos, usás tangente; si conocés un cateto y la hipotenusa, usás seno o coseno según ese cateto sea el opuesto o el adyacente.
En un triángulo que no es rectángulo, conocer los tres lados permite hallar un ángulo con la ley del coseno despejada. Elegí como $c$ el lado opuesto al ángulo $\gamma$ buscado, calculá $\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ y aplicá $\arccos$ . El resultado debe quedar entre $0^\circ$ y $180^\circ$ , y conviene verificar si su tamaño concuerda con el orden de los lados.

Ejemplos resueltos

$\textbf{Las tres razones en un triángulo 3-4-5.}$ Tenemos un triángulo rectángulo con catetos de $3$ y $4$ , e hipotenusa de $5$ . (Se verifica con Pitágoras: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ .) Miramos el ángulo $\alpha$ que está $\textit{enfrente}$ del cateto de $3$ . Entonces: opuesto $= 3$ , adyacente $= 4$ , hipotenusa $= 5$ . Aplicamos las definiciones: $\sin \alpha = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$ ; $\quad \cos \alpha = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$ ; $\quad \tan \alpha = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$ . Control: $\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{0{,}6}{0{,}8} = 0{,}75$ , que coincide con $\tan \alpha$ . Y si quisiéramos el ángulo: $\alpha = \sin^{-1}(0{,}6) \approx 36{,}87^\circ$ .
$\textbf{Calcular una altura inaccesible.}$ Te parás a $20$ m de la base de un árbol y medís que su punta se ve con un ángulo de elevación de $35^\circ$ respecto del piso. Querés la altura $h$ . Desde el ángulo de $35^\circ$ : el cateto adyacente es la distancia horizontal ( $20$ m) y el cateto opuesto es la altura $h$ . La razón que une opuesto con adyacente es la tangente: $\tan(35^\circ) = \dfrac{h}{20} \;\Rightarrow\; h = 20 \cdot \tan(35^\circ)$ . Con la calculadora en grados, $\tan(35^\circ) \approx 0{,}7002$ , así que $h \approx 20 \cdot 0{,}7002 \approx 14$ m. El árbol mide unos $14$ metros (midiendo desde el nivel del piso).
$\textbf{Calcular el ángulo de una rampa.}$ Una rampa de accesibilidad sube $0{,}5$ m de altura a lo largo de un tramo horizontal de $6$ m. Queremos su ángulo de inclinación $\alpha$ . Conocemos los dos catetos: opuesto (lo que sube) $= 0{,}5$ y adyacente (lo que avanza) $= 6$ . Con dos catetos, usamos la tangente: $\tan \alpha = \dfrac{0{,}5}{6} \approx 0{,}0833$ . Para despejar el ángulo aplicamos la inversa: $\alpha = \tan^{-1}(0{,}0833) \approx 4{,}76^\circ$ . Es una pendiente suave, lo esperable en una rampa cómoda de transitar.
$\textbf{Usar la identidad pitagórica.}$ Si $\sin\alpha=0{,}6$ y $\alpha$ es agudo, entonces $0{,}6^2+\cos^2\alpha=1$ . Por lo tanto, $\cos^2\alpha=1-0{,}36=0{,}64$ y $\cos\alpha=\sqrt{0{,}64}=0{,}8$ . Elegimos la raíz positiva porque el coseno de un ángulo agudo es positivo.
$\textbf{Usar la ley del coseno.}$ Dos lados de un triángulo miden $8$ cm y $5$ cm, y forman un ángulo de $60^\circ$ . Para hallar el tercer lado $c$ : $c^2=8^2+5^2-2\cdot8\cdot5\cos60^\circ=64+25-80\cdot0{,}5=49$ . Entonces $c=\sqrt{49}=7$ cm.
$\textbf{Hallar un ángulo con la ley del coseno.}$ Un triángulo tiene lados $a=4$ cm, $b=6$ cm y $c=8$ cm; buscamos el ángulo $\gamma$ opuesto a $c$ . Despejamos: $\cos\gamma=\frac{4^2+6^2-8^2}{2\cdot4\cdot6}=\frac{16+36-64}{48}=-\frac{1}{4}$ . Con la calculadora en grados, $\gamma=\arccos(-0{,}25)\approx104{,}48^\circ$ . Es razonable que sea obtuso y el mayor: queda frente al lado más largo, que es $8$ cm.

Errores comunes

Calcula $\sin$ , $\cos$ o $\tan$ con la calculadora en modo radianes en vez de grados.
En modo RAD, la calculadora interpreta $35$ como $35$ radianes (más de $5$ vueltas), no como $35^\circ$ , y devuelve un número totalmente distinto y sin sentido para el problema. Es la causa número uno de resultados absurdos en trigonometría.
Cómo corregirlo: Antes de cualquier cuenta, fijate que en la pantalla diga DEG (grados). Prueba rápida de control: $\sin(30^\circ)$ tiene que dar exactamente $0{,}5$ . Si no da eso, estás en radianes: cambiá el modo.
Mezcla cuál cateto es el opuesto y cuál el adyacente, o usa coseno donde iba seno.
El opuesto y el adyacente no son etiquetas fijas del triángulo: dependen de qué ángulo estás mirando. Si te confundís, elegís la razón equivocada y todo el planteo queda mal desde el arranque.
Cómo corregirlo: Parate en el ángulo que te dan y preguntate: ¿este cateto lo estoy $\textit{tocando}$ (adyacente) o está $\textit{enfrente}$ (opuesto)? La hipotenusa es siempre la que enfrenta al ángulo recto. Recién con los lados bien nombrados elegís seno, coseno o tangente.
Acepta como válido un resultado tipo $\sin \alpha = 1{,}3$ para un ángulo agudo.
El seno y el coseno de un ángulo agudo son cateto sobre hipotenusa, y la hipotenusa siempre es el lado más largo. Así que el cociente nunca puede pasar de $1$ . Un valor mayor que $1$ es señal de que confundiste algún lado (típicamente pusiste la hipotenusa abajo en vez de arriba).
Cómo corregirlo: Usá esto como control automático: si te da un seno o coseno mayor que $1$ (o negativo, en el triángulo rectángulo), revisá el planteo. La tangente sí puede ser mayor que $1$ ; el seno y el coseno de un agudo, no.
Trata a $\sin$ como si fuera un número que multiplica, escribiendo cosas como $\sin(60^\circ) = 2 \cdot \sin(30^\circ)$ .
El seno es una función, no un factor: no se reparte ni se saca de multiplicación. Por ejemplo $\sin(60^\circ) \approx 0{,}866$ , mientras que $2 \cdot \sin(30^\circ) = 2 \cdot 0{,}5 = 1$ . No son iguales, así que la 'regla' es falsa.
Cómo corregirlo: Pensá $\sin(\alpha)$ como una caja que recibe un ángulo y devuelve un número; el ángulo entero entra adentro. Nunca dupliques el ángulo esperando duplicar el seno: calculá $\sin$ del ángulo que realmente tenés.
Usa $\sin\alpha+\cos\alpha=1$ o aplica Pitágoras a un triángulo que no es rectángulo aunque conoce el ángulo comprendido.
La identidad lleva cuadrados: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ . Y Pitágoras solo vale para un ángulo de $90^\circ$ ; en un triángulo oblicuángulo falta el término $-2ab\cos\gamma$ de la ley del coseno.
Cómo corregirlo: Escribí primero la fórmula completa. Para relacionar seno y coseno, elevá ambos valores al cuadrado. Si conocés dos lados y el ángulo comprendido, la ley del coseno halla el tercero; si conocés los tres lados, despejá el coseno y aplicá $\arccos$ para hallar el ángulo. Controlá que, cuando $\gamma=90^\circ$ , la ley se convierta en Pitágoras.

En resumen

La trigonometría relaciona ángulos y lados. En un triángulo rectángulo, la semejanza define $\sin=\frac{op}{hip}$ , $\cos=\frac{ady}{hip}$ y $\tan=\frac{op}{ady}$ ; con esas razones hallás lados y con sus inversas, ángulos. La identidad $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ permite obtener seno o coseno a partir del otro. En cualquier triángulo, la ley del coseno $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$ calcula un lado a partir de dos lados y el ángulo comprendido; despejada y seguida de $\arccos$ , calcula un ángulo a partir de los tres lados. Para $\gamma=90^\circ$ contiene a Pitágoras como caso particular.