Ecuaciones de primer grado

La idea

Qué vas a aprender

• Qué es una ecuación y qué es su soluciónconcepto

  Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la que aparece un número desconocido, llamado incógnita (casi siempre la anotamos $x$). El signo $=$ divide la ecuación en dos partes: lo que está a la izquierda es el primer miembro y lo que está a la derecha, el segundo miembro. Por ejemplo, en $2x + 3 = 11$ el primer miembro es $2x + 3$ y el segundo es $11$.

  Antes de resolver hay que declarar el conjunto de trabajo o universo $U$: los valores entre los que buscamos. En esta lección, si no se indica otra cosa, trabajamos en $U=\mathbb{Q}$, los números racionales; un problema de conteo puede restringirlo a enteros no negativos. El conjunto solución es $S=\{x\in U:\text{ la igualdad se verifica}\}$. En $2x+3=11$, $S=\{4\}$ porque al reemplazar $x=4$ la igualdad es cierta. Una expresión suelta como $2x+3$ no afirma nada, y una igualdad como $2+3=5$ no tiene incógnita.

  Cuando los dos miembros son expresiones lineales, al distribuir y reducir términos semejantes se llega a una forma $Ax=B$. Hay tres desenlaces. Si $A\neq0$, aparece un único candidato $r=\frac{B}{A}$: si $r\in U$, entonces $S=\{r\}$; si $r\notin U$, entonces $S=\varnothing$. Si $A=0$ y $B=0$, queda una igualdad siempre verdadera: es una identidad y $S=U$. Si $A=0$ y $B\neq0$, queda una igualdad imposible: es una contradicción y $S=\varnothing$. Por ejemplo, $2(x+1)=2x+2$ se reduce a $0=0$ y la cumplen todos los racionales; $2(x+1)=2x+5$ se reduce a $2=5$ y no la cumple ninguno. El caso $A\neq0$ es una ecuación de primer grado no degenerada: produce un único candidato, cuya pertenencia a $U$ determina el conjunto solución.

• El principio de la balanza: qué se puede hacer sin cambiar la soluciónmétodo

  Como la ecuación es una igualdad equilibrada, hay dos movimientos que podés hacer sin desnivelarla, y por lo tanto sin cambiar su conjunto solución dentro del mismo universo $U$:

  • Sumar o restar una misma expresión en los dos miembros.
  • Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo número distinto de cero.

  Cada paso produce una ecuación equivalente: tiene exactamente las mismas soluciones. Siempre se opera a los dos lados; si le hacés algo a un solo miembro, la igualdad se rompe. Por ejemplo, en $x - 5 = 12$ sumo $5$ de los dos lados y queda $x = 17$. En $3x = 21$ divido por $3$ los dos miembros y queda $x = 7$. Nunca se divide por cero ni por una cantidad que podría valer cero sin estudiar ese caso, porque se podrían perder soluciones.

  De tanto usar este principio sale un atajo que conviene tener claro: pasar un término de un miembro al otro cambiándole la operación. Lo que está sumando pasa restando (y al revés), y lo que está multiplicando por un número no nulo pasa dividiendo (y al revés). Por eso $x - 5 = 12$ se puede escribir directo $x = 12 + 5 = 17$. Ojo: el atajo es solo una forma rápida de hacer lo mismo de los dos lados, no una regla mágica aparte.

• Despejar la incógnita: juntarla de un lado y los números del otrométodo

  El plan es llevar todos los términos con $x$ a un miembro y todos los números al otro, hasta obtener una forma $Ax=B$. Veámoslo con $5x - 4 = 2x + 8$. Resto $2x$ en los dos lados: $3x - 4 = 8$. Sumo $4$: $3x = 12$. Como $A=3\neq0$, divido por $3$ y obtengo el candidato $x=4$; como $4\in U$, queda $S=\{4\}$. La comprobación en la ecuación original da $16=16$.

  Antes del paso final hay que mirar el coeficiente $A$. Si es distinto de cero, se puede dividir y aparece el único candidato $r=B/A$: si $r\in U$, queda $S=\{r\}$; si $r\notin U$, queda $S=\varnothing$. Si la $x$ se cancela, no se inventa una división por cero: se clasifica el resultado. En $2(x+1)=2x+2$, distribuir y restar $2x$ deja $2=2$ (o $0=0$): es una identidad y todos los valores de $U$ son solución. En $3(x-1)=3x+4$, cancelar $3x$ deja $-3=4$: es una contradicción y el conjunto solución es vacío.

  Cuando queda $3x=12$, el $3$ multiplica a la $x$, así que se divide por $3$, nunca se resta. Cerrá con la respuesta como conjunto —$S=\{4\}$, $S=U$ o $S=\varnothing$— y comprobá en la ecuación original cuando haya valores concretos.

• Antes de despejar: sacar los paréntesis y los denominadoresmétodo

  Muchas ecuaciones vienen 'vestidas' con paréntesis o con fracciones. Antes de juntar términos conviene sacarles esa ropa para dejar una ecuación limpia.

  Con paréntesis, usás la propiedad distributiva: multiplicás el número de afuera por cada término de adentro, cuidando los signos. Por ejemplo, $2(x - 3) = x + 1$ se convierte en $2x - 6 = x + 1$, y de ahí seguís normal hasta $x = 7$. El cuidado clave es con un menos delante del paréntesis: $-(x - 4)$ es $-x + 4$, porque el signo cambia a todos los términos de adentro, no a uno solo.

  Con denominadores, el truco es multiplicar los dos miembros por el denominador común, para que las fracciones desaparezcan (es válido porque multiplicar de los dos lados no cambia la solución). En $\frac{x}{2} - 1 = \frac{x}{3} + \frac{1}{2}$ el común de $2$, $3$ y $2$ es $6$; multiplico cada término por $6$ y queda $3x - 6 = 2x + 3$, una ecuación sin fracciones que ya sabés resolver. Lo que no se puede es multiplicar solo los términos que tienen fracción: hay que multiplicar absolutamente todos, incluidos los enteros como el $-1$.

• De un problema en palabras a una ecuaciónmétodo

  La potencia de las ecuaciones se ve cuando traducís un problema a lenguaje algebraico. La receta: definís la incógnita y su conjunto de valores posibles, escribís las demás cantidades en función de ella y armás la igualdad que dice el problema.

  Por ejemplo: 'Martín y Lucía juntaron plata para un regalo; Lucía puso $\$2000$ más que Martín y entre los dos reunieron $\$14000$'. Llamo $x$ a lo que puso Martín, medido en pesos, con $x\geq0$; entonces Lucía puso $x+2000$. La condición se escribe $x+(x+2000)=14000$. Resolverla da $x=6000$, un valor admisible en el conjunto del contexto.

  Definí siempre qué representa la $x$ y dónde puede vivir, porque una solución algebraica puede quedar afuera del universo del problema. Al final comprobá la igualdad y el contexto: Martín puso $\$6000$, Lucía $\$8000$, la diferencia es $\$2000$ y juntos suman $\$14000$.

Ejemplos resueltos

• **Tres posibles conjuntos solución en $U=\mathbb{Q}$.** (a) $7x+5=3x-7$ se reduce a $4x=-12$; como el coeficiente es no nulo, $x=-3$ y $S=\{-3\}$. (b) $2(x+1)=2x+2$ se reduce a $2=2$: es una identidad y $S=\mathbb{Q}$. (c) $3(x-1)=3x+4$ se reduce a $-3=4$: es una contradicción y $S=\varnothing$. En los últimos dos casos la $x$ se cancela, pero las conclusiones son opuestas: una igualdad siempre verdadera admite todo el universo; una igualdad falsa no admite ningún valor.
• Resolvamos $2(x + 3) = 5x - 3$, que trae un paréntesis. Paso 1: saco el paréntesis con la distributiva. $2\cdot x + 2\cdot 3 = 2x + 6$, entonces queda $2x + 6 = 5x - 3$. Paso 2: junto las $x$. Conviene dejarlas donde queden positivas, así que resto $2x$ en los dos lados: $6 = 3x - 3$. Paso 3: junto los números. Sumo $3$ en los dos lados: $9 = 3x$. Paso 4: despejo dividiendo por $3$: $x = \frac{9}{3} = 3$. Comprobación: $2(3 + 3) = 2\cdot 6 = 12$ y $5\cdot 3 - 3 = 15 - 3 = 12$. Coinciden: $x = 3$.
• Resolvamos $\frac{x}{2} - 1 = \frac{x}{3} + \frac{1}{2}$, que trae denominadores. Paso 1: busco el denominador común de $2$, $3$ y $2$, que es $6$, y multiplico cada término de los dos miembros por $6$: $6\cdot\frac{x}{2} - 6\cdot 1 = 6\cdot\frac{x}{3} + 6\cdot\frac{1}{2}$. Paso 2: hago las cuentas y desaparecen las fracciones: $3x - 6 = 2x + 3$. Paso 3: junto las $x$ restando $2x$ en los dos lados, $x - 6 = 3$; y junto los números sumando $6$, $x = 9$. Comprobación: primer miembro $\frac{9}{2} - 1 = 4,5 - 1 = 3,5$; segundo miembro $\frac{9}{3} + \frac{1}{2} = 3 + 0,5 = 3,5$. Iguales: $x = 9$.
• Un problema. Martín y Lucía juntaron plata para un regalo. Lucía puso $\$2000$ más que Martín y entre los dos reunieron $\$14000$. ¿Cuánto puso cada uno? Paso 1: traduzco. Llamo $x$ a lo que puso Martín. Entonces Lucía puso $x + 2000$. Paso 2: armo la ecuación con la condición 'entre los dos, $14000$': $x + (x + 2000) = 14000$. Paso 3: junto los términos semejantes del primer miembro: $2x + 2000 = 14000$. Paso 4: resto $2000$ en los dos lados, $2x = 12000$, y divido por $2$: $x = 6000$. Paso 5: respondo la pregunta. Martín puso $\$6000$ y Lucía, $x + 2000 = \$8000$. Comprobación en el contexto: $6000 + 8000 = 14000$ (juntaron lo correcto) y $8000 - 6000 = 2000$ (Lucía puso $\$2000$ más). Todo cierra.

Errores comunes

• Pasa un término al otro miembro sin cambiarle la operación; por ejemplo, de $x - 5 = 12$ salta a $x = 12 - 5$.

  Pasar de miembro es un atajo de 'hacer lo mismo de los dos lados'. Si el $5$ está restando, para sacarlo hay que sumar $5$ en ambos miembros, así que del otro lado aparece sumando: $x = 12 + 5 = 17$. Dejarlo restando desnivela la balanza y da un resultado falso.

  Cómo corregirlo: Regla del atajo: lo que está sumando pasa restando y viceversa; lo que está multiplicando pasa dividiendo y viceversa. Si dudás, no pases nada 'de miembro': sumá o dividí explícitamente en los dos lados.

• Para despejar en $5x = 20$ le resta $5$ a la $x$ y escribe $x = 20 - 5 = 15$.

  En $5x$ el $5$ no está sumado a la $x$: la está multiplicando. Lo contrario de multiplicar es dividir, no restar. La solución correcta es $x = \frac{20}{5} = 4$, no $15$.

  Cómo corregirlo: Preguntate qué le está haciendo el número a la $x$. Si la multiplica, dividís los dos miembros por ese número; si la suma o resta, sumás o restás. En $5x = 20$ divido por $5$ y queda $x = 4$.

• Al sacar un paréntesis con un menos adelante cambia el signo de un solo término; por ejemplo, escribe $-(x - 4) = -x - 4$.

  El menos delante del paréntesis multiplica a todos los términos de adentro, no a uno solo. Entonces $-(x - 4) = -x + 4$: el $-4$ pasa a $+4$. Cambiar solo el primero arrastra el error a toda la ecuación.

  Cómo corregirlo: Tratá el menos como un $-1$ que multiplica cada término del paréntesis: $-1\cdot x = -x$ y $-1\cdot(-4) = +4$. Revisá que hayas cambiado el signo de todos los términos de adentro.

• Al sacar denominadores multiplica por el común solo los términos que son fracción y deja intactos los enteros; de $\frac{x}{2} - 1 = \frac{x}{3}$ pasa a $3x - 1 = 2x$.

  Multiplicar 'los dos miembros' significa multiplicar cada término, también los enteros. El $-1$ también hay que multiplicarlo por $6$ y da $-6$. Si lo dejás igual, los dos platos ya no pesan lo mismo y la solución cambia.

  Cómo corregirlo: Multiplicá término por término, sin saltearte ninguno: $6\cdot\frac{x}{2} = 3x$, $6\cdot 1 = 6$, $6\cdot\frac{x}{3} = 2x$. La ecuación correcta es $3x - 6 = 2x$.

• Cuando le da $x = -3$ o $x = \frac{7}{2}$, piensa que se equivocó y 'arregla' la cuenta para que quede un entero positivo.

  La solución de una ecuación es simplemente el número que verifica la igualdad, y ese número puede ser negativo, fraccionario o decimal: todos son racionales perfectamente válidos. Forzarlo a entero positivo cambia la respuesta correcta por una incorrecta.

  Cómo corregirlo: No juzgues la solución por su 'cara'. Comprobala reemplazando en la ecuación original: si los dos miembros dan lo mismo, está bien aunque sea $-3$ o $\frac{7}{2}$. Solo en los problemas con contexto (cantidad de personas, por ejemplo) revisás además que tenga sentido en la situación.

En resumen