Números reales (R)

La idea

Qué vas a aprender

• Los huecos que dejan las fracciones: los números irracionalesconcepto

  Aunque entre dos racionales siempre haya otro, los racionales no cubren toda la recta: quedan puntos que no son ninguna fracción. El ejemplo clásico es $\sqrt{2}$, el número no negativo cuyo cuadrado da $2$. Ese número existe y tiene un lugar preciso en la recta, pero se puede demostrar que no hay ninguna fracción de enteros $\frac{a}{b}$ que valga exactamente $\sqrt{2}$. Su decimal $1,41421356\dots$ sigue para siempre y no repite ningún bloque.

  Geométricamente, $\sqrt2$ es la diagonal de un cuadrado de lado $1$. No existe una misma unidad de longitud que quepa un número entero de veces en el lado y otro número entero de veces en la diagonal; por eso ambas longitudes son inconmensurables. Esa imposibilidad de formar una razón de enteros es la misma irracionalidad expresada en una medición.

  Un número irracional no se puede escribir como fracción de enteros. Su desarrollo decimal es infinito y no periódico. Al conjunto de todos los irracionales se lo anota $\mathbb{I}$. Son ejemplos las raíces no exactas, como $\sqrt2$, $\sqrt3$ y $\sqrt5$, y $\pi=3,14159\dots$. También hay irracionales construidos como $0,101101110\dots$, donde la cantidad de unos crece y nunca se repite un bloque fijo.

• Reconocer si un número es racional o irracionalmétodo

  La forma más segura de clasificar un número es mirar su desarrollo decimal y hacerse dos preguntas: ¿corta en algún momento? ¿repite un bloque? Si el decimal es exacto (corta) o es periódico (repite un bloque para siempre), el número es racional. Solo si es infinito y no repite ningún bloque es irracional. Por ejemplo, $0,4$ es exacto (racional), $0,\overline{27}=0,272727\dots$ es periódico (racional), y $0,123456789\dots$ sin patrón sería irracional.

  El caso más frecuente en tercer año son las raíces. Una raíz cuadrada $\sqrt{n}$ es racional solamente cuando existe una raíz exacta, o sea cuando el radicando es un cuadrado perfecto. Así $\sqrt{49}=7$ es racional, pero $\sqrt{50}$ es irracional porque $50$ no es cuadrado perfecto ($7^2=49$ y $8^2=64$, no hay entero en el medio). El método práctico es buscar la raíz exacta: si la encontrás, es racional; si no existe, es irracional. Ojo que el radicando no tiene por qué ser entero: $\sqrt{0,25}=0,5$ porque $0,5\cdot0,5=0,25$, así que también es racional.

  Dos trampas para no caer: no alcanza con que un decimal sea infinito para llamarlo irracional (los periódicos también lo son y son racionales), y no toda raíz es irracional (las exactas dan racionales).

• El conjunto de los números reales $\mathbb{R}$: la familia completaconcepto

  El conjunto de los números reales, que se anota $\mathbb{R}$, es la unión de los racionales y los irracionales: $\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}$. Es decir, junta todos los números que fuiste conociendo (naturales, enteros, racionales) con los nuevos irracionales, en una sola gran familia.

  Como cada familia está adentro de la siguiente, se arma la cadena $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ (los naturales están en los enteros, los enteros en los racionales, y los racionales en los reales). Los irracionales también están adentro, $\mathbb{I}\subset\mathbb{R}$, pero quedan por fuera de $\mathbb{Q}$: son justamente los que no son fracción. La regla clave es que un número real es racional o irracional, nunca las dos cosas a la vez y nunca ninguna de las dos: no hay una tercera opción.

  El premio de agregar los irracionales es que la recta queda completa: cada punto de la recta es exactamente un número real, y cada número real es exactamente un punto de la recta, sin que quede ningún hueco. Por eso a la recta numérica se la llama también recta real.

• Ubicar un irracional en la recta encajonándolo entre enterosmétodo

  Para ubicar un irracional como $\sqrt{20}$ lo encajonamos entre números conocidos. Si $L<x<U$, $L$ es una cota inferior y $U$ una cota superior de $x$. Con raíces cuadradas no negativas usamos que elevar al cuadrado conserva el orden: como $16<20<25$, queda $4<\sqrt{20}<5$.

  Las cotas se refinan sucesivamente. Como $4,4^2=19,36<20<20,25=4,5^2$, resulta $4,4<\sqrt{20}<4,5$. Después, $4,47^2=19,9809<20<20,0704=4,48^2$, de modo que $4,47<\sqrt{20}<4,48$. Cada intervalo está contenido en el anterior y su amplitud es menor; podés repetir el procedimiento con centésimos, milésimos y órdenes siguientes. También podés probar el punto medio de las cotas y conservar la mitad que contiene al número.

  Las cotas comunican más que un decimal aislado: garantizan dónde está el valor exacto aunque no conozcamos todas sus cifras. Por ejemplo, $3,141<\pi<3,142$ permite ubicar a $\pi$ y asegura un intervalo de amplitud $0,001$.

• Aproximar un irracional con decimalesmétodo

  Como el decimal de un irracional es infinito y no periódico, una escritura decimal finita es una aproximación y se marca con $\approx$. Truncar es cortar; redondear es elegir el decimal más cercano según la cifra siguiente. De $\sqrt2=1,41421\dots$, truncando a centésimos queda $1,41$ y redondeando a milésimos queda $1,414$. El valor exacto sigue siendo $\sqrt2$: escribir $\pi=3,14$ confunde igualdad con aproximación.

  El error absoluto de aproximar un valor exacto $x$ por $a$ es $|x-a|$. Si se trunca a $n$ cifras decimales, su error absoluto es menor que una unidad del último orden conservado, $10^{-n}$. Si se redondea al decimal más cercano, es a lo sumo media unidad de ese orden, $\frac12\cdot10^{-n}$. Por ejemplo, redondear a centésimos garantiza un error no mayor que $0,005$. El error relativo, para $x\neq0$, es $\frac{|x-a|}{|x|}$ y puede expresarse como porcentaje; permite comparar el efecto del mismo error absoluto sobre cantidades de tamaños distintos.

  Las cotas también controlan el error sin conocer $x$ exactamente. Si $L<x<U$ y elegís el punto medio $m=\frac{L+U}{2}$, entonces $|x-m|<\frac{U-L}{2}$. Cuanto más estrecho es el intervalo, menor es el error garantizado. En cálculos encadenados conviene conservar $\sqrt2$, $\pi$ u otras formas exactas durante los pasos intermedios y redondear solo al final, con la precisión pedida, para no acumular recortes innecesarios.

Ejemplos resueltos

• Clasifiquemos cada número como racional o irracional: $0,75$, $2,\overline{6}$, $\sqrt{36}$, $\sqrt{7}$, $\pi$ y $1,010010001\dots$ Paso 1: $0,75$ es un decimal exacto (la cuenta corta), así que es racional; de hecho $0,75=\frac{3}{4}$. Paso 2: $2,\overline{6}=2,6666\dots$ es infinito pero periódico (se repite el $6$), entonces es racional; equivale a $\frac{8}{3}$. Paso 3: $\sqrt{36}$ tiene raíz exacta, porque $6\cdot6=36$, así que $\sqrt{36}=6$: racional. Paso 4: $\sqrt{7}$ no tiene raíz exacta ($2^2=4$ y $3^2=9$, no hay entero en el medio), $7$ no es cuadrado perfecto, entonces $\sqrt{7}$ es irracional. Paso 5: $\pi=3,14159\dots$ es infinito y no repite ningún bloque: irracional. Paso 6: $1,010010001\dots$ tiene cada vez más ceros, así que nunca se repite un bloque fijo; es infinito no periódico: irracional. Resultado: racionales $0,75$, $2,\overline{6}$ y $\sqrt{36}$; irracionales $\sqrt{7}$, $\pi$ y $1,010010001\dots$
• Ubiquemos $\sqrt{20}$ en la recta y redondeemos a centésimas. Paso 1: $16<20<25$, entonces $4<\sqrt{20}<5$. Paso 2: $4,4^2=19,36<20<20,25=4,5^2$, entonces $4,4<\sqrt{20}<4,5$. Paso 3: $4,47^2=19,9809<20<20,0704=4,48^2$, entonces $4,47<\sqrt{20}<4,48$. Ese intervalo solo no decide todavía a qué centésimo redondear. Paso 4: probamos el punto medio $4,475$. Como $4,475^2=20,025625>20$, resulta $\sqrt{20}<4,475$. Junto con la cota inferior, $4,47<\sqrt{20}<4,475$, queda garantizado que $\sqrt{20}\approx4,47$ a centésimas, con error menor que $0,005$.
• ¿Son racionales o irracionales $\sqrt{0,25}$ y $\sqrt{50}$? Que sean raíces no las hace irracionales automáticamente: hay que mirar el número de adentro. Paso 1: $\sqrt{0,25}$. Buscamos un número que al cuadrado dé $0,25$. Probamos $0,5$: $0,5\cdot0,5=0,25$. La raíz es exacta, así que $\sqrt{0,25}=0,5$, un número racional. Paso 2: $\sqrt{50}$. Buscamos raíz exacta: $7^2=49$ y $8^2=64$, entonces $\sqrt{50}$ cae entre $7$ y $8$ y no da un valor exacto. Como $50$ no es cuadrado perfecto, $\sqrt{50}$ es irracional ($\sqrt{50}\approx7,07$). Moraleja: la primera es racional y la segunda irracional, aunque las dos estén escritas con el signo de raíz.
• Control de error con cotas. Supongamos que $1,414<\sqrt2<1,415$ y usamos como aproximación el punto medio $1,4145$. La amplitud del intervalo es $0,001$, así que el error absoluto queda garantizado por debajo de la mitad: $|\sqrt2-1,4145|<0,0005$. No necesitamos conocer más cifras de $\sqrt2$ para justificar esa cota.

Errores comunes

• Da por hecho que cualquier raíz cuadrada, como $\sqrt{9}$ o $\sqrt{36}$, es irracional solo por tener el signo de raíz.

  Muchas raíces son exactas y dan un racional: $\sqrt{9}=3$, $\sqrt{36}=6$, incluso $\sqrt{0,25}=0,5$. Una raíz cuadrada es irracional únicamente cuando no existe raíz exacta, es decir cuando el radicando no es un cuadrado perfecto.

  Cómo corregirlo: Antes de decidir, buscá la raíz exacta: si encontrás un número que al cuadrado da el radicando, es racional; si no existe, como en $\sqrt{7}$ o $\sqrt{50}$, es irracional.

• Piensa que $0,\overline{45}$ (o cualquier decimal con infinitas cifras) es irracional porque 'no termina nunca'.

  Tener infinitas cifras no alcanza: lo que distingue a un irracional es que además no repite ningún bloque. $0,\overline{45}=0,454545\dots$ repite el bloque $45$, así que es periódico y por lo tanto racional (es $\frac{45}{99}=\frac{5}{11}$).

  Cómo corregirlo: Mirá dos cosas: si el decimal corta o si repite un bloque, es racional. Solo es irracional si es infinito Y no repite nada, como $\sqrt{2}=1,41421\dots$ o $\pi$.

• Escribe $\pi=3,14$ o $\sqrt{2}=1,41$ con signo igual, como si fueran el valor exacto.

  $3,14$ y $1,41$ son solo aproximaciones recortadas, y además son racionales (por ejemplo $3,14=\frac{314}{100}$), así que no pueden ser iguales a $\pi$ ni a $\sqrt{2}$, que son irracionales. El valor exacto tiene infinitas cifras que no se pueden escribir todas.

  Cómo corregirlo: Usá el símbolo de aproximado: $\pi\approx3,14$ y $\sqrt{2}\approx1,41$. Guardá $\pi$ y $\sqrt{2}$ para el valor exacto y dejá los decimales para cuando necesitás una cuenta aproximada.

• Cree que los reales $\mathbb{R}$ son 'los números nuevos', o sea solo los irracionales, o que los irracionales están dentro de $\mathbb{Q}$.

  $\mathbb{R}$ es la unión de todo: los racionales y los irracionales juntos, $\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}$. Los irracionales no están dentro de $\mathbb{Q}$: son precisamente los que quedaron afuera. Un número real es racional o irracional, nunca las dos cosas ni ninguna.

  Cómo corregirlo: Pensá en $\mathbb{R}$ como la recta completa: adentro conviven los racionales (fracciones, enteros, decimales exactos y periódicos) y los irracionales (los que tapan los huecos). $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{I}$ son dos partes separadas que, sumadas, dan $\mathbb{R}$.

• Concluye que $\sqrt{20}$ redondea a $4,47$ solo porque sabe que está entre $4,47$ y $4,48$.

  Ese intervalo contiene números que redondean a $4,47$ y otros que redondean a $4,48$. Falta saber de qué lado del punto medio $4,475$ está el valor.

  Cómo corregirlo: Refiná las cotas o compará con el punto medio: como $4,475^2>20$, se obtiene $\sqrt{20}<4,475$ y recién entonces se justifica $4,47$.

• Da muchos decimales de una calculadora como si eso garantizara por sí solo la precisión requerida.

  Una cantidad de cifras no informa si se truncó, redondeó ni qué distancia máxima puede haber al valor exacto.

  Cómo corregirlo: Indicá el método y una cota: al redondear a centésimos, el error absoluto es como máximo $0,005$; con $L<x<U$, también podés acotarlo mediante la amplitud.

En resumen